Japan Junior Mathematical Olympiad 2016 — Honsen (Final)

Altitude feet, two circumcircles, midpoint of chord

Let $ABC$ be an acute triangle. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the altitudes from $A$, $B$, $C$ to sides $BC$, $CA$, $AB$, respectively. Let $G$ be the intersection of line $AD$ with line $EF$. Among the intersections of the circumcircle of triangle $DFG$ with side $AB$, let $P$ be the one that is not $F$. Among the intersections of the circumcircle of triangle $DEG$ with side $AC$, let $Q$ be the one that is not $E$. Prove that line $DG$ bisects segment $PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altezza di piedi, due circoncircoli, punto medio dell’accordo

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto. I gradi $D$, $E$, $F$ siano i piedi delle altitudini da $A$, $B$, $C$ ai lati $BC$, $CA$ e $AB$, rispettivamente. Il $G$ deve essere l’intersezione della linea $AD$ con la linea $EF$. Tra le intersezioni del circoncircolo del triangolo $DFG$ con il lato $AB$, $P$ deve essere quella che non è $F$. Tra le intersezioni del circoncircolo del triangolo $DEG$ con il lato $AC$, $Q$ sia quella che non è $E$. Prova che la riga $DG$ divide il segmento $PQ$.

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n×n Latin-row grid, maximize adjacent equal-number pairs

Let $n\ge 2$ be an integer. Consider an $n\times n$ grid of cells, where each cell contains an integer from $1$ to $n$. Each integer from $1$ to $n$ appears exactly once in every row. (The columns may contain repetitions.) Two cells are called a “neighboring pair” if they share a side (not merely a vertex). Find the maximum possible number of neighboring pairs of cells that contain the same integer.

(Note: two cells sharing only a vertex are not considered neighbors.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

n×n griglia latina di fila, massimizzare le coppie di numeri uguali adiacenti

$n\ge 2$ sia un numero intero. Considera una griglia di celle $n\times n$, in cui ogni cella contiene un numero intero da $1$ a $n$. Ogni numero intero da $1$ a $n$ appare esattamente una volta in ogni riga. Due cellule sono chiamate “coppie vicine” se condividono un lato (non solo un vertex). Trova il numero massimo possibile di coppie di cellule vicine che contengono lo stesso numero intero.

(Nota: due cellule che condividono solo una vertica non sono considerate vicine.)

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Minimize product of two quadratics with ab+bc+cd=1

Let $a,b,c,d$ be real numbers satisfying $ab+bc+cd=1$. Find the minimum value of $(a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare il prodotto di due quadratici con ab+bc+cd=1

$a,b,c,d$ siano numeri reali che soddisfino $ab+bc+cd=1$. Trova il valore minimo di $(a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$

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Circumcenter, orthocenter, parallel to BC, equal angles

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$ and orthocenter $H$. Let the line through $O$ parallel to $BC$ meet lines $AB$ and $AC$ at $P$ and $Q$, respectively. Let $M$ be the midpoint of $AH$. Prove that $\angle BMP=\angle CMQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcenter, orthocenter, parallelo a BC, angolazioni uguali

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il circoncentro $O$ e l’ortocentro $H$. Lascia che la linea che attraversa $O$ parallela a $BC$ si riunisca rispettivamente alle linee $AB$ e $AC$ a $P$ e $Q$. Il $M$ deve essere il punto medio di $AH$. Prova che $\angle BMP=\angle CMQ$.

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Airlines X and Y on n cities, travel m flights avoiding Y-after-X

Let $m$ and $n$ be positive integers satisfying $\frac{m(m+1)}{2}<n$. In a certain country there are $n$ cities and two airlines $X$ and $Y$. Each airline operates some direct (non-stop) flights between pairs of cities. The following is known: \begin{itemize} \item For every city $C$, it is impossible to return to $C$ by taking only direct flights of the same airline, starting and ending at $C$ (i.e., no airline has a cycle through $C$ using only its own flights). \item For every two distinct cities, one can travel from either city to the other using only direct flights of one airline (not necessarily the same airline for both directions). \end{itemize} Note: if there is a direct flight from city $C$ to city $D$, there is not necessarily a direct flight from $D$ to $C$.

Prove that there exists a city from which one can depart and take exactly $m$ direct flights in succession so that the following condition is satisfied:

\textit{Condition: an $X$-flight is never immediately followed by a $Y$-flight.}

Topic: Combinatoria, topic_combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Induzione, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Le compagnie aeree X e Y in n città, viaggiano in m voli evitando Y-after-X

$m$ e $n$ siano integri positivi che soddisfino $\frac{m(m+1)}{2}<n$. In un determinato paese ci sono città $n$ e due compagnie aeree $X$ e $Y$. Ogni compagnia aerea opera alcuni voli diretti (non-stop) tra coppie di città. Per ogni città $C$, è impossibile tornare a $C$ effettuando solo voli diretti della stessa compagnia aerea, partendo e terminando a $C$ (cioè nessuna compagnia aerea ha un ciclo attraverso $C$ utilizzando solo i propri voli). Per ogni due città distinte, si può viaggiare da una città all’altra utilizzando solo voli diretti di una compagnia aerea (non necessariamente la stessa compagnia aerea per entrambe le direzioni). Nota: se esiste un volo diretto da città $C$ a città $D$, non esiste necessariamente un volo diretto da $D$ a $C$.

dimostrare che esiste una città da cui è possibile partire e effettuare esattamente $m$ voli diretti in successione, in modo che sia soddisfatta la seguente condizione:

\textit{Condizione: un volo $X$ non viene mai immediatamente seguito da un volo $Y$.}

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