Japan Junior Mathematical Olympiad 2016 — Yosen (Preliminary)

Count integer triples with ab and bc both even

Find how many triples $(a,b,c)$ of integers with $1\le a,b,c\le 5$ are such that both $a\times b$ and $b\times c$ are even.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 62 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Contare i tripli interi con ab e bc entrambi pari

Trova quante triples $(a,b,c)$ di numeri interi con $1\le a,b,c\le 5$ sono tali che sia $a\times b$ che $b\times c$ siano pari.

Risposta: 62 src_jjmo14yq_yosen__Q01

Max length of segment PQ for points seeing AB at 60 and 120 degrees

In the plane there is a segment $AB$ of length $10$. Two points $P,Q$ move in the plane subject to $\angle APB=60^{\circ }$ and $\angle AQB=120^{\circ }$. Find the maximum possible value of the length of segment $PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ Fonte: apri PDF

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Lunghezza massima del segmento PQ per i punti che vedono AB a 60 e 120 gradi

Nel piano c’è un segmento $AB$ di lunghezza $10$. Due punti $P,Q$ si muovono nel piano soggetto a $\angle APB=60^{\circ }$ e $\angle AQB=120^{\circ }$. Trova il valore massimo possibile della lunghezza del segmento $PQ$.

Risposta: \dfrac{20\sqrt{3}}{3} src_jjmo14yq_yosen__Q02

Ways to paint 6x6 grid coverable by an opaque-painted transparent board

There is a $6\times 6$ grid of cells, and some of these $36$ cells are painted black. A transparent board of the same size as the grid is prepared, and one obtains a copy of the painted grid onto this board. By placing this same-sized board on top of the grid in a suitable position (and orientation), it was possible to cover the whole figure so that the black-painted portions of board and grid coincide and the entire painted part is again covered in black. For how many ways of painting the original grid is this possible? Here, paintings that coincide under rotation or reflection are also counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 32768 Fonte: apri PDF

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Medi di verniciare una griglia 6x6 coperte da una lavagna trasparente dipinta opaca

C’è una griglia di cellule $6\times 6$, e alcune di queste cellule $36$ sono dipinte in nero. Si prepara una lavagna trasparente della stessa dimensione della griglia e si ottiene una copia della griglia dipinta su questa lavagna. Mettendo questa lavagna della stessa dimensione in una posizione (e orientamento) adatta alla griglia, è stato possibile coprire l’intera figura in modo che le parti dipinte in nero della lavagna e della griglia coincidano e l’intera parte dipinta sia nuovamente coperta di nero. Per quanti modi di dipingere la griglia originale è possibile? Qui, i dipinti che coincidono sotto rotazione o riflessione sono anche considerati come distinti.

Risposta: 32768 src_jjmo14yq_yosen__Q03

Max people getting at least one more apple than orange

There are $2016$ apples and $2016$ oranges, and these are distributed among $2016$ people under the following conditions: \begin{itemize} \item Every piece of fruit must be distributed. \item No person receives $0$ pieces of fruit. \item No person may receive more than $4$ pieces of fruit in total (counting both kinds). \end{itemize} Under these conditions, what is the maximum possible number of people who receive at least $1$ more apple than orange?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1612 Fonte: apri PDF

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La maggior parte delle persone ottiene almeno una mela in più dell’arancia

Ci sono mele $2016$ e arance $2016$ e queste sono distribuite tra le persone $2016$ alle seguenti condizioni: \begin{itemize} \item Ogni frutto deve essere distribuito. Nessuna persona riceve $0$ frutta. Nessuna persona può ricevere in totale più di $4$ pezzi di frutta (comprendendo entrambe le specie). In queste condizioni, qual è il numero massimo possibile di persone che ricevono almeno $1$ più mele che arancione?

Risposta: 1612 src_jjmo14yq_yosen__Q04

Find DF with cevians trisecting angle A into three 45-degree parts

On side $BC$ of triangle $ABC$ there are points $D,E$, with $B,D,E,C$ lying in this order, such that $\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC=45^{\circ }$. Let $F$ be the intersection point of the circumcircle of triangle $ABE$ with line $AC$, other than $A$. Given $AC=3$ and $AD=1$, find the length of segment $DF$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{5}{4}$ Fonte: apri PDF

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Ricerca DF con ceviani che triseggono angolo A in tre parti a 45 gradi

Sul lato $BC$ del triangolo $ABC$ ci sono punti $D,E$, con $B,D,E,C$ in questo ordine, in modo che $\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC=45^{\circ }$. $F$ sia il punto di intersezione del circoncircolo del triangolo $ABE$ con la linea $AC$, diverso da $A$. Date $AC=3$ e $AD=1$, si trova la lunghezza del segmento $DF$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{5}{4} src_jjmo14yq_yosen__Q05

Maximize m for positive integers with m(m+57)=n(n+57)

Positive integers $m,n$ satisfy $m(m+57)=n(n+57).$ Among such pairs, find the maximum possible value of $m$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 783 Fonte: apri PDF

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Maximizzare m per i numeri interi positivi con m(m+57)=n(n+57)

I numeri interi positivi $m,n$ soddisfano $m(m+57)=n(n+57).$ Tra tali coppie, trovare il valore massimo possibile di $m$.

Risposta: 783 src_jjmo14yq_yosen__Q06

Find ratio BA:BC given midpoint of BD and equal angles

In triangle $ABC$ with $AC=28$, let $M$ be the midpoint of segment $BD$, where $D$ is a point such that the figure is determined as drawn. It is given that $\angle AMB=\angle CMB$, $AM=20$, and $CM=16$. Find the ratio $BA:BC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{5}:2$ Fonte: apri PDF

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Relazione di ricerca BA:BC data il punto medio della BD e angoli uguali

Nel triangolo $ABC$ con $AC=28$, $M$ sia il punto medio del segmento $BD$, dove $D$ è un punto tale che la figura sia determinata come disegnata. È dato che $\angle AMB=\angle CMB$, $AM=20$ e $CM=16$. Trova il rapporto $BA:BC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \sqrt{5} : 2 src_jjmo14yq_yosen__Q07

Largest multiple of 37 with all distinct digits

Among the multiples of $37$ whose digits are all distinct, find the largest one.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9876435012 Fonte: apri PDF

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Il più grande multiple di 37 con tutti i numeri distinti

Tra i multipli di $37$ le cui cifre sono tutte distinte, trova il più grande.

Risposta: 9876435012 src_jjmo14yq_yosen__Q08

Count red/blue colourings of 15-rectangle pyramid with downward propagation

Fifteen rectangles are arranged as shown in the figure (a pyramid with a bottom row of $5$ rectangles, then rows of $4$, $3$, $2$, $1$ above). Each of these rectangles is to be coloured either red or blue, subject to the following condition: whenever a rectangle that is not in the bottom row is coloured red, then the two rectangles immediately below it must also be coloured red. In how many ways can this colouring be done?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 365 Fonte: apri PDF

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Contare i coloranti rosso/blu della piramide a 15 rettangoli con propagazione verso il basso

Sono disposti quindici rettangoli come mostrato nella figura (una piramide con una riga inferiore di rettangoli $5$, quindi righe di $4$, $3$, $2$, $1$ sopra). Ciascuno di questi rettangoli deve essere colorato rosso o blu, a condizione che: ogni volta che un rettangolo che non si trova nella riga inferiore è di colore rosso, i due rettangoli immediatamente sotto di esso devono essere di colore rosso. In quanti modi si può fare questo colorazione?

Risposta: 365 src_jjmo14yq_yosen__Q09

Area of non-convex quadrilateral with reflex angle at D

There is a non-convex quadrilateral $ABCD$ whose interior angle at vertex $D$ is greater than $180^{\circ }$, with $AB:CD=\sqrt{2}:1$, $AD=2$, and $BC=1$. Let $E$ be the intersection of line $BC$ with line $AD$, and let $F$ be the intersection of line $AB$ with line $CD$. Suppose $\angle CED=\angle AFD=45^{\circ }$. Find the area of quadrilateral $ABCD$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3-\sqrt{2}}{2}$ Fonte: apri PDF

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Area di quadrilaterale non convexa con angolo riflesso a D

C’è un quadrilaterale non converso $ABCD$ il cui angolo interno alla verticale $D$ è maggiore di $180^{\circ }$, con $AB:CD=\sqrt{2}:1$, $AD=2$ e $BC=1$. $E$ sia l’intersezione della linea $BC$ con la linea $AD$, e $F$ sia l’intersezione della linea $AB$ con la linea $CD$. Supponiamo $\angle CED=\angle AFD=45^{\circ }$. Trova l’area del quadrilaterale $ABCD$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{3-\sqrt{2}}{2} src_jjmo14yq_yosen__Q10

Min self-crossings of one-stroke path over 2016-row triangle figure

Consider the figure obtained by stacking $2016$ rows in which the $k$-th row contains $k$ downward-pointing small equilateral triangles arranged in a line. Starting from the midpoint of the topmost side and drawing in one continuous stroke (without lifting the pen) so that every side of every downward-pointing small triangle is passed over exactly once, the path crosses over itself $T$ times in the course of the drawing. Find the minimum possible value of $T$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Grafi, Estremalità, Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 7559 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Min autoincroci del percorso a un tempo su una figura triangolare di 2016 riga

Si consideri la figura ottenuta accumulando le righe $2016$ in cui la riga $k$-th contiene $k$ piccoli triangoli equilaterali che puntano verso il basso disposti in una linea. Partendo dal punto medio del lato più alto e disegnando in un colpo continuo (senza sollevare la penna) in modo che ogni lato di ogni piccolo triangolo che punta verso il basso venga superato esattamente una volta, il percorso si attraversa $T$ volte nel corso del disegno. Trova il valore minimo possibile di $T$.

Risposta: 7559 src_jjmo14yq_yosen__Q11

Max number N of arrow-placement configurations agreeing on targets

On the $xy$-coordinate plane, from every lattice point $(x,y)$ an arrow is drawn pointing to either $(x+1,y)$ or $(x,y+1)$. Now consider placing $2016$ people, one each, on $2016$ distinct lattice points satisfying $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 62$. For a fixed way of drawing the arrows, suppose $N$ different placements were tried, and the following condition held: for every person, the lattice point that the arrow from that person’s point leads to is, across all $N$ placements, either occupied by the same person in all $N$ of them, or not occupied by anyone in all $N$ of them. Find the maximum possible value of $N$. Here a lattice point is a point whose $x$-coordinate and $y$-coordinate are both integers.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $32!16!8!4!2!1!$ Fonte: apri PDF

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Numero massimo N di configurazioni di posizionamento delle frecce che concordano sugli obiettivi

Sul piano delle coordinate $xy$, da ogni punto della griglia $(x,y)$ viene tracciata una freccia che punta verso $(x+1,y)$ o $(x,y+1)$. Ora si consideri di posizionare $2016$ persone, una a ciascuno, su $2016$ punti di reticola distinte che soddisfano $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 62$. Per un modo fisso di disegnare le frecce, supponiamo che siano state provate diverse posizioni $N$, e che sia stata soddisfatta la seguente condizione: per ogni persona, il punto della griglia che la freccia porta dal punto di quella persona è, attraverso tutte le posizioni $N$, o occupata dalla stessa persona in tutte le $N$ di esse, o non occupata da nessuno in tutte le $N$ di esse. Trova il valore massimo possibile di $N$. Qui un punto reticolo è un punto il cui coordinato $x$ e $y$ sono entrambi numeri interi.

Risposta: 32!,16!,8!,4!,2!,1! src_jjmo14yq_yosen__Q12