Japan Junior Mathematical Olympiad 2017 — Honsen (Final)

People on circular chairs each move at most 1 step; maximize total steps

Let $n$ be a positive integer. $n$ chairs are placed at equal intervals around a circular table, with one person sitting in each chair. Each person may move to an adjacent chair (moving $0$ or $1$ chair in either direction along the circle), so that after all movements every chair is occupied by exactly one person. Note that a person who stays in their original chair counts as having moved $0$ steps, and the length of each move is at most $1$. Let $S$ denote the total number of steps (sum of individual moves) walked by all $n$ people. Find the maximum possible value of $S$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le persone in sedie circolari si muovono ogni passo non più di un passo; massimizzare il numero totale di passi

$n$ sia un numero intero positivo. Le sedie $n$ sono posizionate a intervalli uguali intorno a un tavolo circolare, con una persona seduta in ciascuna sedia. Ciascuna persona può spostarsi su una sedia adiacente (movendosi $0$ o $1$ in entrambe le direzioni lungo il cerchio), in modo che dopo tutti i movimenti ogni sedia sia occupata da esattamente una persona. Si noti che una persona che rimane nella sua sedia originale conta come aver spostato i passi $0$ e la lunghezza di ogni movimento è al massimo $1$. $S$ indichi il numero totale di passi (suma delle singole mosse) percorsi da tutte le persone $n$. Trova il valore massimo possibile di $S$.

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Integers on blackboard closed under pairwise sums; find max value expressible as sum of two

Several distinct non-negative integers are written on a blackboard, and the sum of any two distinct numbers on the blackboard also appears on the blackboard. Among all numbers on the blackboard, let $n$ be the largest value that can be expressed as the sum of two distinct numbers on the blackboard. Find the maximum possible value of $n$, given that $n$ is a non-negative integer that cannot be expressed in the form $2^k$ for any non-negative integer $k$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Integrazioni su tavolo nero chiuse in coppie; trovare valore massimo espressibile come somma di due

Diversi numeri interi distinti non negativi sono scritti su una lavagna, e la somma di due numeri distinti sulla lavagna appare anche sulla lavagna. Tra tutti i numeri della lavagna, $n$ è il valore più grande che può essere espresso come la somma di due numeri distinti sulla lavagna. Trova il valore massimo possibile di $n$, dato che $n$ è un intero non negativo che non può essere espresso nella forma $2^k$ per qualsiasi intero non negativo $k$.

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Real numbers on vertices of regular (2n+1)-gon; adjacent sums non-negative; prove nS+(n+1)T≥0

Let $n$ be a positive integer. Real numbers are assigned to each vertex of a regular $(2n+1)$-gon such that the sum of the numbers assigned to any two adjacent vertices is non-negative. Let $S$ be the sum of all positive values among the $2n+1$ assigned numbers, and let $T$ be the sum of all negative values. Prove that $nS+(n+1)T\ge 0.$ Note: when no positive value exists among the assigned numbers, set $S=0$; when no negative value exists, set $T=0$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nomeri reali sulle vertici di (2n+1)-gon regolare; somme adiacenti non negative; prova nS+(n+1)T≥0

$n$ sia un numero intero positivo. I numeri reali sono assegnati a ciascun vertice di un gono regolare $(2n+1)$ in modo tale che la somma dei numeri assegnati a due vertici adiacenti non sia negativa. $S$ sia la somma di tutti i valori positivi tra i numeri assegnati $2n+1$, e $T$ sia la somma di tutti i valori negativi. Prove che $nS+(n+1)T\ge 0.$ Nota: quando non esiste un valore positivo tra i numeri assegnati, imposta $S=0$; quando non esiste un valore negativo, imposta $T=0$.

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Two non-intersecting curves in xy-plane; 5 points chosen; minimize maximum axis-aligned rectangle area

In the $xy$-plane, there are two curves $y=f(x)$ and $y=g(x)$ that do not intersect each other, and for any point on either curve the $y$-coordinate is at least $1$. Among any $5$ points selected on these two curves (with at least $2$ points on each curve), consider all axis-aligned rectangles whose sides are parallel to the coordinate axes and whose opposite corners are two of the chosen points lying on different curves; each such rectangle has area at least $1$. Let $M$ be the maximum area of such rectangles over all choices of the $5$ points. Find the minimum possible value of $M$.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Casework, Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Stima, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Due curve non intersezionate in piano xy; 5 punti scelti; ridurre al minimo la superficie rettaangulare massima allineata all’asse

Nel piano $xy$ ci sono due curve $y=f(x)$ e $y=g(x)$ che non si incrociano, e per qualsiasi punto di una curva la coordinata $y$ è almeno $1$. Tra i punti $5$ selezionati su queste due curve (con almeno $2$ punti su ciascuna curva), si considerano tutti i rettangoli allineati all’asse i cui lati sono paralleli agli assi delle coordinate e i cui angoli opposti sono due dei punti scelti che si trovano su curve diverse; ciascun rettangolo ha superficie almeno $1$. Il $M$ è la superficie massima di tali rettangoli su tutte le scelte dei punti $5$. Trova il valore minimo possibile di $M$.

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Acute triangle with orthocenter; four circumcircle-altitude intersections are concyclic

Let $ABC$ be an acute triangle with orthocenter $H$. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the altitudes from vertices $A$, $B$, $C$ respectively. Let $P$ be the second intersection of the circumcircle of triangle $ACD$ with segment $CF$ (other than $C$), and let $Q$ be the second intersection of the circumcircle of triangle $ABD$ with segment $CF$ (other than the vertex on $CF$). Furthermore, let $S$ be the second intersection of the circumcircle of triangle $ABH$ with segment $DE$, and let $T$ be the second intersection of the circumcircle of triangle $ACH$ with segment $DE$. Prove that the four points $P$, $Q$, $S$, $T$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con centro ortografico; quattro intersezioni di circoncircolo-altitudine sono concicliche

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il centro orto $H$. I piedi $D$, $E$ e $F$ siano rispettivamente i piedi delle altitudini dai vertici $A$, $B$ e $C$. Il $P$ è la seconda intersezione del circoncircolo del triangolo $ACD$ con il segmento $CF$ (diverso da $C$), e il $Q$ è la seconda intersezione del circoncircolo del triangolo $ABD$ con il segmento $CF$ (diverso dal vertice di $CF$). Inoltre, $S$ sia la seconda intersezione del circoncircolo del triangolo $ABH$ con il segmento $DE$, e $T$ sia la seconda intersezione del circoncircolo del triangolo $ACH$ con il segmento $DE$. Dimostrare che i quattro punti $P$, $Q$, $S$ e $T$ sono conciclici.

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