Japan Junior Mathematical Olympiad 2017 — Yosen (Preliminary)

Largest integer of distinct nonzero digits, every adjacent pair a multiple of 7

Consider positive integers all of whose digits are distinct and nonzero, such that whichever pair of adjacent digits is taken out, the resulting two-digit number is a multiple of $7$. (For example, from $123$ one can take out the adjacent pairs $12$ and $23$, giving $2$ such two-digit numbers.) Among all such integers, find the largest one.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 98421 Fonte: apri PDF

Più grande numero intero di cifre distinte non zero, ogni coppia adiacente un multiple di 7

Considerate i numeri interi positivi i cui numeri sono tutti distinti e non zero, in modo che qualunque coppia di numeri adiacenti venga estratta, il numero di due cifre risultante è un multiple di $7$. (Per esempio, da $123$ si possono togliere le coppie adiacenti $12$ e $23$, dando $2$ tali numeri a due cifre.) Tra tutti questi enti, trovare il più grande.

Risposta: 98421 src_jjmo15yq_yosen__Q01

Largest integer not exceeding sqrt(123456789)

Find the largest integer that is at most $\sqrt{123456789}$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11111 Fonte: apri PDF

*L’intero più grande non superiore a 123456789) *

Trova il numero intero più grande che è al massimo $\sqrt{123456789}$.

Risposta: 11111 src_jjmo15yq_yosen__Q02

Fill boxes with 1-6 to make fraction closest to 1

Place the integers $1,2,3,4,5,6$, one each, into the boxes $\square$ in the expression below and compute the resulting value. Among all values obtainable, give the one closest to $1$. Here $2^{\square }$ denotes $2$ raised to the power written in the box. $\frac{2^{\square }+2^{\square }+2^{\square }}{2^{\square }+2^{\square }+2^{\square }}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 4/5 Fonte: apri PDF

Inserire le scatole con 1-6 per rendere la frazione più vicina a 1

Mettete i numeri interi $1,2,3,4,5,6$, uno per uno, nelle caselle $\square$ dell’espressione seguente e calcolate il valore risultante. Tra tutti i valori disponibili, indicare quello più vicino a $1$. Qui $2^{\square }$ indica $2$ sollevato alla potenza scritta nella casella. $\frac{2^{\square }+2^{\square }+2^{\square }}{2^{\square }+2^{\square }+2^{\square }}$

Risposta: 4/5 src_jjmo15yq_yosen__Q03

Line through P on AB bisecting both a square’s and a triangle’s area; find AP

Let $ABCD$ be a square of side length $2$, and let point $E$ be the point symmetric to $B$ with respect to $C$ (so that $C$ is the midpoint of segment $BE$). A line $l$ intersects side $AB$ at point $P$. When the line $l$ bisects the area of square $ABCD$ and also bisects the area of triangle $CDE$, find the length of segment $AP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $3-\sqrt{5}$ Fonte: apri PDF

Linea attraverso P su AB che divide sia l’area di un quadrato che di un triangolo; trovare AP

Let $ABCD$ essere un quadrato di lunghezza laterale $2$, e let $E$ essere il punto simmetrico a $B$ rispetto a $C$ (in modo che $C$ sia il punto medio del segmento $BE$). Una linea $l$ interseca il lato $AB$ al punto $P$. Quando la linea $l$ suddivide l’area del quadrato $ABCD$ e suddivide anche l’area del triangolo $CDE$, si trova la lunghezza del segmento $AP$.

Risposta: 3-\sqrt{5} src_jjmo15yq_yosen__Q04

Ways to fill 3x3 grid with 1-9 with row increasing right and left-column decreasing down

Consider ways to write one each of the distinct integers from $1$ to $9$ into the cells of a $3\times 3$ grid so that the following conditions are satisfied. How many such ways are there? \begin{itemize} \item In each row, among the three integers written, the integer in the rightmost cell is the largest and the integer in the leftmost cell is the smallest. \item In the leftmost column, among the three integers written, the integer in the topmost cell is the largest and the integer in the bottommost cell is the smallest. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 280 Fonte: apri PDF

Medi per riempire la griglia 3x3 con 1-9 con la riga in aumento a destra e la colonna sinistra in calo

Considerare i modi per scrivere uno dei numeri interi distinti da $1$ a $9$ nelle celle di una griglia $3\times 3$ in modo da soddisfare le seguenti condizioni. Quanti sono questi modi? \begin{itemize} \item In ogni riga, tra i tre numeri interi scritti, il numero intero nella cella più destra è il più grande e il numero intero nella cella più sinistra è il più piccolo. \item Nella colonna più sinistra, tra i tre numeri interi scritti, il numero intero nella cella più alta è il più grande e il numero intero nella cella più bassa è il più piccolo. # Finire #

Risposta: 280 src_jjmo15yq_yosen__Q05

Two circles tangent to two lines; find TU given PT=1 and a midpoint condition

In the plane there are two lines $l$ and $m$ that intersect at point $S$. There is a point $P$ on line $m$ distinct from $S$. Two distinct circles $\alpha$ and $\beta$ are each tangent to line $m$ at point $P$, and are tangent to line $l$ at points $T$ and $U$ respectively. Let $Q$ be the intersection of line $PU$ with $\alpha$ other than $P$. When segment $PT$ passes through the midpoint of segment $SQ$ and the length of segment $PT$ is $1$, find the length of segment $TU$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti a due linee; trovare TU data PT=1 e una condizione di punto medio

Nel piano ci sono due linee $l$ e $m$ che si incrociano al punto $S$. C’è un punto $P$ sulla linea $m$ distinto da $S$. Due cerchi distinti $\alpha$ e $\beta$ sono ciascuna tangente alla linea $m$ al punto $P$, e sono tangenti alla linea $l$ rispettivamente ai punti $T$ e $U$. Il $Q$ deve essere l’intersezione della linea $PU$ con $\alpha$ diversa da $P$. Quando il segmento $PT$ passa attraverso il punto medio del segmento $SQ$ e la lunghezza del segmento $PT$ è $1$, trovare la lunghezza del segmento $TU$.

Risposta: \sqrt{3} src_jjmo15yq_yosen__Q06

Find 3-digit n with n = 2P(n) + 27, P = product of digits

For a positive integer $k$, let $P(k)$ denote the product of its digits. Find all $3$-digit positive integers $n$ satisfying $n=2P(n)+27$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 279, 587 Fonte: apri PDF

Ricerca n a 3 cifre con n = 2P(n) + 27, P = prodotto di cifre

Per un intero positivo $k$, $P(k)$ indica il prodotto delle sue cifre. Trova tutti gli integri positivi $3$ a cifre $n$ soddisfacenti $n=2P(n)+27$.

Risposta: 279, 587 src_jjmo15yq_yosen__Q07

Angle BXC inside equilateral triangle given angle conditions at midpoint of AX

Let $X$ be a point inside equilateral triangle $ABC$. Let $M$ be the midpoint of segment $AX$. Suppose $\angle MBC=54^{\circ }$ and $\angle MCB=36^{\circ }$. Find the measure of $\angle BXC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $150^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Angolo BXC all’interno di un triangolo equilaterale dato le condizioni di angolo al punto medio di AX

$X$ sia un punto all’interno del triangolo equilaterale $ABC$. Il segmento $AX$ deve essere il punto medio di $M$. Supponiamo $\angle MBC=54^{\circ }$ e $\angle MCB=36^{\circ }$. Trova la misura di $\angle BXC$.

Risposta: 150^\circ src_jjmo15yq_yosen__Q08

Count ways to choose max lattice points with no equal coordinate differences

Let $n$ be a positive integer. Suppose $n$ points are chosen from the $xy$-plane and satisfy the following conditions. \begin{itemize} \item Each point has both its $x$- and $y$-coordinates integers between $0$ and $2017$ inclusive. \item For any two distinct chosen points $(a,b)$ and $(c,d)$, regardless of how the two points are chosen, $|a-c|\ne |b-d|$ holds. \end{itemize} Let $N$ be the largest value of $n$ for which such a situation can occur. In how many ways can one choose $N$ points from the $xy$-plane satisfying the conditions?

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: $2^{2018}$ Fonte: apri PDF

Contare i modi per scegliere i punti massimi della griglia senza differenze di coordinate uguali

$n$ sia un numero intero positivo. Supponiamo che i punti $n$ siano scelti dal piano $xy$ e soddisfino le seguenti condizioni. \begin{itemize} \item Ogni punto ha sia le sue $x$- che $y$-coordinate interi tra $0$ e $2017$ incluse. \item Per due punti distinti scelti $(a,b)$ e $(c,d)$, indipendentemente dal modo in cui i due punti sono scelti, $|a-c|\ne |b-d|$ vale. \end{itemize} $N$ sia il valore più grande di $n$ per il quale si può verificare tale situazione. In quanti modi si possono scegliere i punti $N$ dal piano $xy$ che soddisfano le condizioni?

Risposta: 2^{2018} src_jjmo15yq_yosen__Q09

Ways to fill 2x7 grid with 1-14, rows increasing, column gaps non-decreasing

Write one each of the distinct integers from $1$ to $14$ into the cells of a $2\times 7$ grid as shown below. How many ways of writing satisfy the following conditions? \begin{itemize} \item In each row, the seven integers written are arranged in increasing order from left to right. \item For every integer $k$ from $1$ to $6$, the difference of the two numbers written in the $(k+1)$-th column from the left is greater than or equal to the difference of the two numbers written in the $k$-th column. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 350 Fonte: apri PDF

Medi per riempire la griglia 2x7 con 1-14, righe in aumento, lacune nelle colonne non in diminuzione

Scrivere uno di ciascuno dei numeri interi distinti da $1$ a $14$ nelle celle di una griglia $2\times 7$ come mostrato di seguito. Quanti metodi di scrittura soddisfano le seguenti condizioni? \begin{itemize} \item In ogni riga, i sette numeri interi scritti sono disposti in ordine crescente da sinistra a destra. \item Per ogni numero intero $k$ da $1$ a $6$, la differenza tra i due numeri scritti nella colonna $(k+1)$ da sinistra è maggiore o uguale alla differenza tra i due numeri scritti nella colonna $k$. # Finire #

Risposta: 350 src_jjmo15yq_yosen__Q10

Count integer 4-tuples satisfying (a^2+b^2)(c^2+d^2)=4abcd+106

How many tuples of integers $(a,b,c,d)$ satisfy the equation $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4abcd+106?$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 128 Fonte: apri PDF

Conteggiamo un numero intero 4 volte soddisfacente (a^2+b^2) ((c^2+d^2)=4abcd+106

Quanti tuppi di numeri interi $(a,b,c,d)$ soddisfano l’equazione $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4abcd+106?$

Risposta: 128 src_jjmo15yq_yosen__Q11

Min a in 256-player single-elimination tournament won by player 1

A total of $2^8=256$ players took part in a single-elimination tennis tournament. In this tournament the champion is decided as follows. \begin{itemize} \item First, all players line up in a single row. \item Repeat the following until only one player remains in the row: take the players in the row in order, two at a time from one end, forming pairs, and have the two players in each pair play a match. The winner of each match stays in the row, while the loser leaves the row. Assume no draws occur. \item When only one player remains in the row, that player is the champion. \end{itemize} Each player is assigned a distinct integer from $1$ to $256$, and the champion of this tournament had number $1$. For a certain integer $a$, the following held: in every match played during the tournament, letting $w$ be the number of the winning player and $l$ the number of the losing player, $l-w\le a$ holds. Find the smallest value of $a$ that can be considered as such.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 44 Fonte: apri PDF

Min a in un torneo di eliminazione singola di 256 giocatori vinto da un giocatore 1

Un totale di giocatori $2^8=256$ hanno partecipato a un torneo di tennis di singola eliminazione. In questo torneo il campione è deciso come segue. In primo luogo, tutti i giocatori si allineano in una sola riga. \item Ripetere il seguente fino a quando non rimane solo un giocatore nella fila: prendere i giocatori della fila in ordine, due alla volta da una estremità, formando coppie e avere i due giocatori di ciascuna coppia giocare una partita. Il vincitore di ogni partita rimane in fila, mentre il perdente lascia la fila. Supponiamo che non si verifichino. Quando rimane solo un giocatore in fila, quel giocatore è il campione. A ogni giocatore viene assegnato un numero intero distinto da $1$ a $256$, e il campione di questo torneo aveva il numero $1$. Per un determinato numero intero $a$, è tenuto il seguente: in ogni partita giocata durante il torneo, lasciando $w$ il numero del giocatore vincente e $l$ il numero del giocatore perdente, $l-w\le a$ è tenuto. Trova il valore più piccolo di $a$ che può essere considerato tale.

Risposta: 44 src_jjmo15yq_yosen__Q12