Japan Junior Mathematical Olympiad 2018 — Honsen (Final)

Game on regular k-gon with integers; find all k where B always wins

Let $k$ be an integer with $k\ge 3$. Using a regular $k$-gon, players $A$ and $B$ play the following game. The following is repeated:

$A$ writes one integer from $1$ to $100$ on a blank face of the regular $k$-gon (one not yet used); $B$ writes, on that same face, whether that integer is a perfect square or not.

Scoring is based on the faces of the regular $k$-gon: if there exist three vertices of the $k$-gon that form an isosceles triangle such that all three corresponding faces have the same value written by $B$, then $B$ wins; otherwise $A$ wins. Find all values of $k$ such that, regardless of $A$‘s choices, $B$ can always guarantee a win.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Colorazione, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioca su k-gon regolare con numeri interi; trova tutti i k dove B vince sempre

$k$ sia un numero intero con $k\ge 3$. Usando un normale $k$-gon, i giocatori $A$ e $B$ giocano il seguente gioco. Si ripete quanto segue:

$A$ scrive un intero da $1$ a $100$ su una faccia bianca del normale $k$-gon (una non ancora utilizzata); $B$ scrive, sulla stessa faccia, se quel intero è un quadrato perfetto o meno.

Il punteggio è basato sulle facce del normale $k$-gon: se esistono tre vertici del $k$-gon che formano un triangolo di uguale occhio in modo che tutte e tre le facce corrispondenti abbiano lo stesso valore scritto da $B$, allora $B$ vince; altrimenti $A$ vince. Trova tutti i valori di $k$ in modo che, indipendentemente dalle scelte di $A$, $B$ possa sempre garantire una vittoria.

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5 people, all pairwise age-sums distinct; find minimum age difference between oldest and youngest

There are $5$ people. The ages of each pair of $2$ people were computed; all $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ pairwise sums turned out to be distinct positive integers. Find the minimum possible value of the difference in age between the oldest person and the youngest person.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

5 persone, tutte somme di età in coppia distinte; trovare la differenza minima di età tra il più anziano e il più giovane

Ci sono persone $5$. Le età di ciascuna coppia di persone $2$ sono state calcolate; tutte le somme in coppia $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ si sono rivelate essere numeri interi positivi distinti. Trova il valore minimo possibile della differenza di età tra la persona più anziana e la persona più giovane.

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Triangle with concyclic quadrilateral; prove four associated points are concyclic

Let $△ABC$ be a triangle with $AB\ne AC$. Let $D$ and $E$ be points on sides $AB$ and $AC$ respectively (not including the endpoints) such that the four points $B$, $C$, $D$, $E$ lie on a common circle. Let $F$ be the intersection of line $DE$ and line $BC$. Let $G$ be the intersection of line $AF$ with the circumcircle of $△ABC$ other than $A$. Let $H$ be a point on segment $DE$, and let $I$ be the intersection of line $AH$ with the circumcircle of $△ABC$ other than $A$. Prove that the four points $F$, $G$, $H$, $I$ are concyclic. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con quadrilaterali conciclici; dimostrare che quattro punti associati sono conciclici

Che $△ABC$ sia un triangolo con $AB\ne AC$. I punti $D$ e $E$ siano punti rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$ (esclusi i punti finali) in modo tale che i quattro punti $B$, $C$, $D$ e $E$ si trovino su un cerchio comune. La linea $F$ deve essere l’intersezione della linea $DE$ e della linea $BC$. Il $G$ deve essere l’intersezione della linea $AF$ con il circoncircolo di $△ABC$ diverso da $A$. $H$ sia un punto del segmento $DE$ e $I$ sia l’intersezione della linea $AH$ con il circoncircolo di $△ABC$ diverso da $A$. Provare che i quattro punti $F$, $G$, $H$, $I$ sono conciclici. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Blackboard operation with divisors; prove the initial number reappears

Let $k$ be an integer with $k\ge 2$, and let $A=2^k-1$. First, write a positive integer $I$ on a blackboard satisfying $I\le \frac{A}{2}$. Then repeat the following operation $k-1$ times:

Operation: If the integer currently written on the blackboard is $n$, erase it and write the largest odd divisor of $A-n$.

Prove that, including the initial number, $I$ appears on the blackboard at least twice.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Invarianti, Ricorsione, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

operazione della scheda nera con divisori; dimostra che il numero iniziale riappare

$k$ sia un numero intero con $k\ge 2$, e $A=2^k-1$. In primo luogo, scrivere un intero positivo $I$ su una lavagna soddisfacente $I\le \frac{A}{2}$. Ripeti quindi la seguente operazione $k-1$ volte:

**Operazione: ** Se il numero intero attualmente scritto sulla scheda è $n$, cancellatelo e scrivete il più grande divisore odd di $A-n$.

Prova che, compreso il numero iniziale, $I$ appare sulla lavagna almeno due volte.

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Incircle tangent points and midpoints define lines; prove concurrence of AX, BY, CZ

Let $\omega$ be the incircle of $△ABC$, and let $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ be the points where $\omega$ is tangent to sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Let $B_1$ and $C_1$ be points on sides $CA$ and $AB$ (or their extensions) such that lines $B^{\prime }{C}_1$, $C^{\prime }{A}_1$, $A^{\prime }{B}_1$ satisfy certain parallelism conditions. More precisely: let $6$ points $B_1$, $C_1$, $A_1$ be defined on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively so that all of lines $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ are parallel to $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Line $B^{\prime }{C}^{\prime }$ meets line $AB$ at $X$; line $C^{\prime }{A}^{\prime }$ meets line $BC$ at $Y$; line $A^{\prime }{B}^{\prime }$ meets line $CA$ at $Z$. Prove that the three lines $AX$, $BY$, $CZ$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In circolo i punti tangenti e i punti di mezzo definiscono le linee; dimostrare la concordanza di AX, BY, CZ

Il $\omega$ è l’incircolo di $△ABC$ e $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ sono i punti in cui $\omega$ è tangente ai lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente. Le linee $B_1$ e $C_1$ siano punti ai lati $CA$ e $AB$ (o le loro estensioni) in modo tale che le linee $B^{\prime }{C}_1$, $C^{\prime }{A}_1$, $A^{\prime }{B}_1$ soddisfino determinate condizioni di parallele. Più precisamente: i punti $6$ $B_1$, $C_1$, $A_1$ siano definiti sui lati $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente in modo che tutte le linee $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ siano parallele rispettivamente a $BC$, $CA$ e $AB$. Linea $B^{\prime }{C}^{\prime }$ incontra la linea $AB$ a $X$; linea $C^{\prime }{A}^{\prime }$ incontra la linea $BC$ a $Y$; linea $A^{\prime }{B}^{\prime }$ incontra la linea $CA$ a $Z$. Prove che le tre linee $AX$, $BY$ e $CZ$ sono simultanee.

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