Japan Junior Mathematical Olympiad 2018 — Yosen (Preliminary)

Area of equilateral triangle divided by three lines parallel to its sides

An equilateral triangle $ABC$ is divided by drawing one line segment parallel to each of the three sides, as shown in the figure. The numbers in the figure represent the areas of the three inner equilateral triangles formed. Find the area of the equilateral triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 121 Fonte: apri PDF

Area di triangolo equilaterale divisa da tre linee parallele ai suoi lati

Un triangolo equilaterale $ABC$ è diviso tracciando un segmento di linea parallelo a ciascuno dei tre lati, come mostrato nella figura. I numeri della figura rappresentano le aree dei tre triangoli equilaterali interni formati. Trova l’area del triangolo equilaterale $ABC$.

Risposta: 121 src_jjmo16yq_yosen__Q01

Count positive integers n such that 109 mod n is between 0 and 30

How many positive integers $n$ are there such that the remainder when $109$ is divided by $n$ is at least $0$ and at most $30$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 80 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n in modo tale che 109 mod n sia compreso tra 0 e 30

Quanti integri positivi $n$ esistono tali che il rimanente quando $109$ è diviso da $n$ sia almeno $0$ e al massimo $30$?

Risposta: 80 src_jjmo16yq_yosen__Q02

Count ways Taro attends exactly 6 of 10 meetings with no-attend constraint after 3 absences

Taro has $10$ club meetings. He will attend exactly $6$ of them. However, if he is absent for $3$ consecutive meetings, he is not allowed to attend the meeting immediately following those $3$ consecutive absences (he must also miss that one). How many ways can he choose which meetings to attend?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 161 Fonte: apri PDF

Contare i modi in cui Taro partecipa esattamente a 6 riunioni su 10 senza vincolo di partecipazione dopo 3 assenze

Taro ha riunioni di club. Egli assisterà esattamente $6$ di loro. Tuttavia, se è assente per $3$ riunioni consecutive, non è autorizzato ad assistere alla riunione immediatamente dopo tali $3$ assenze consecutive (deve anche mancare quella). In quanti modi può scegliere quali incontri frequentare?

Risposta: 161 src_jjmo16yq_yosen__Q03

Count divisors of 5040 that themselves have exactly 6 divisors

How many positive divisors of $5040$ have exactly $6$ divisors?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Contare i divisori di 5040 che essi stessi hanno esattamente 6 divisori

Quanti divisori positivi di $5040$ hanno esattamente $6$ divisori?

Risposta: 10 src_jjmo16yq_yosen__Q04

Area of rectangle PQRS inscribed in rectangle ABCD with FQ:QR=2:3

On the sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ of rectangle $ABCD$ there are points $P$, $Q$, $R$, $S$ respectively such that the quadrilateral $PQRS$ is a rectangle. It is given that $AB=22$, $BC=23$, and $BQ:QC=2:3$ (where $XY$ denotes the length of segment $XY$). Find the area of rectangle $PQRS$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 246 Fonte: apri PDF

Area di PQRS rettangolare incisa in rettangolo ABCD con FQ:QR=2:3

Nei lati $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ del rettangolo $ABCD$ ci sono i punti $P$, $Q$, $R$ e $S$ rispettivamente in modo tale che il quadrilaterale $PQRS$ sia rettangolo. È dato che $AB=22$, $BC=23$ e $BQ:QC=2:3$ (dove $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$). Trova l’area del rettangolo $PQRS$.

Risposta: 246 src_jjmo16yq_yosen__Q05

Count tilings of cross-shaped grid region with 12 L-shaped trominoes up to symmetry

On a grid plane, place $12$ tiles of the L-shaped tromino type shown (each covering $4$ unit squares in an L-shape) without overlap so that they exactly cover the cross-shaped region shown in the figure. How many ways are there? (Tiles may be rotated or flipped. Two tilings are considered the same if one can be obtained from the other by rotation or reflection of the entire board.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19 Fonte: apri PDF

Conteggio di piastrelle della regione della griglia a forma incrociata con 12 trombini a forma di L fino alla simmetria

In un piano di griglia, collocare le piastrelle $12$ del tipo di tromino a forma di L mostrato (che coprono ciascuna delle unità quadrate $4$ in forma di L) senza sovrapposizione in modo che coprono esattamente la regione a forma incrociata mostrata nella figura. Quanti modi ci sono? (Le piastrelle possono essere ruotate o invertite. Due piastrelle sono considerate uguali se una può essere ottenuta dall’altra mediante rotazione o riflessione dell’intero pannello.)

Risposta: 19 src_jjmo16yq_yosen__Q06

Sum of lucky degrees of all 3-digit integers, where lucky degree counts one-digit changes giving multiples of 7

For a $3$-digit positive integer $n$, define its \emph{lucky degree} as the number of $3$-digit multiples of $7$ that can be obtained from $n$ by changing exactly one of its digits (the hundreds digit may not be changed to $0$). For example, for $n=777$, the multiples of $7$ reachable by a single digit change are $770$ and $707$, so the lucky degree of $777$ is $2$. Find the sum of the lucky degrees of all integers from $100$ to $999$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3328 Fonte: apri PDF

Summa dei gradi fortunati di tutti i numeri interi a 3 cifre, dove il grado fortunato conta cambiamenti a una cifra dando moltipli di 7

Per un intero positivo di $3$-cifre $n$, definire il suo \emph{lucky degree} come il numero di $3$-cifre multipli di $7$ che può essere ottenuto da $n$ modificando esattamente una delle sue cifre (la cifra di centinaia non può essere cambiata a $0$). Per esempio, per $n=777$, i multipli di $7$ raggiungibili con una modifica a singola cifra sono $770$ e $707$, quindi il grado fortunato di $777$ è $2$. Trova la somma dei gradi fortunati di tutti gli enti da $100$ a $999$.

Risposta: 3328 src_jjmo16yq_yosen__Q07

Find all integer values of a for polynomial ax^2-bx+c satisfying P(16)=P(30)=59, P(n)=2018

Let $a$, $b$, $c$ be integers. Suppose the polynomial $P(x)=a{x}^2-bx+c$ satisfies $P(16)=59$, $P(30)=59$, and $P(n)=2018$ for some integer $n\ge 17$. Find all possible values of $a$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: -70, 341 Fonte: apri PDF

Ritrovare tutti i valori interi di a per polinomio ax^2-bx+c soddisfacente P(16)=P(30)=59, P(n)=2018

Se il numero $a$, $b$, $c$ sono numeri interi. Supponiamo che il polinomio $P(x)=a{x}^2-bx+c$ soddisfi $P(16)=59$, $P(30)=59$ e $P(n)=2018$ per un numero intero $n\ge 17$. Trova tutti i valori possibili di $a$.

Risposta: -70, 341 src_jjmo16yq_yosen__Q08

Count colorings of 8 unit cubes (red/yellow faces) satisfying two 2x2x2 assembly conditions

There are $8$ unit cubes. Each face of each cube is painted either red or yellow. Count the number of ways to paint all faces (i.e., assign a color to each face of each of the $8$ cubes) so that both of the following conditions can be satisfied simultaneously:\n\n(i) The $8$ cubes can be assembled into a $2\times 2\times 2$ cube such that the resulting large cube has exactly $5$ red faces and $1$ yellow face on its surface.\n\n(ii) The $8$ cubes can be assembled (possibly in a different arrangement) into a $2\times 2\times 2$ cube such that the resulting large cube has exactly $1$ red face and $5$ yellow faces on its surface.\n\nTwo paintings are considered the same if one can be obtained from the other by rotating one of the unit cubes. Two assembly arrangements that differ only by rotation or reflection of the whole $2\times 2\times 2$ cube are considered the same.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione, Simmetria Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 55 Fonte: apri PDF

Contare colori di 8 cubetti unitari (faccia rosse/gialle) che soddisfano due condizioni di assemblaggio 2x2x2

Ci sono $8$ cubetti unitari. Ogni volto di ogni cubo è dipinto rosso o giallo. Contare il numero di modi per dipingere tutte le facce (cioè assegnare un colore a ciascuna faccia di ciascuno dei cubi $8$) in modo che sia possibile soddisfare simultaneamente entrambe le seguenti condizioni:\n\n(i) I cubi $8$ possono essere assemblati in un cubo $2\times 2\times 2$ in modo tale che il grande cubo risultante abbia esattamente $5$ facce rosse e $1$ facce gialla sulla sua superficie.\n\nii) I cubi $8$ possono essere assemblati (possibilmente in un’arrangiamento diverso) in un cubo $2\times 2\times 2$ in modo tale che il grande cubo risultante abbia esattamente $1$ facce rosse e $5$ facce gialle sulla sua superficie.\n\nDue dipinti sono considerati uguali se uno può essere ottenuto da un’altra unità di rotazione dei cubi. Due arrangiamenti di montaggio che differiscono solo per rotazione o riflessione dell’intero cubo $2\times 2\times 2$ sono considerati uguali.

Risposta: 55 src_jjmo16yq_yosen__Q09

Sum of ab over all positive integer pairs (a,b) with a | b and b | 360

Compute the sum of $ab$ over all pairs of positive integers $(a,b)$ satisfying the following condition:\n\nCondition: $a$ is a divisor of $b$, and $b$ is a divisor of $360$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 624650 Fonte: apri PDF

Somma di ab su tutte le coppie di numeri interi positivi (a,b) con a, b e b 360

Calcolare la somma di $ab$ su tutte le coppie di integri positivi $(a,b)$ che soddisfano la seguente condizione:\n\nCondizione: $a$ è divisore di $b$, e $b$ è divisore di $360$.

Risposta: 624650 src_jjmo16yq_yosen__Q10

Area of quadrilateral APCQ in square ABCD with two interior points P,Q

Inside square $ABCD$, there are two points $P$ and $Q$ such that $\angle PAQ=45^{\circ }$, $BP\parallel QD$, $AB=7$, $BP=3$, and $PQ=5$. Find the area of quadrilateral $APCQ$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 37/2 Fonte: apri PDF

Area di APCQ quadrilaterale in quadrato ABCD con due punti interni P,Q

All’interno del quadrato $ABCD$, ci sono due punti $P$ e $Q$ quali $\angle PAQ=45^{\circ }$, $BP\parallel QD$, $AB=7$, $BP=3$ e $PQ=5$. Trova l’area del quadrilaterale $APCQ$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 37/2 src_jjmo16yq_yosen__Q11

Minimum m so any two of 2018 circular stations can be connected within m minutes using local and express trains

The JJMO railway runs a circular line with $2018$ stations arranged in a circle. Currently, local trains (stopping at every station) run in both directions around the circle, and each train travels exactly $1$ minute between consecutive stations. The president plans to introduce express trains that stop only at a designated subset of stations (chosen by the president), also traveling $1$ minute between consecutive express stops. Find the minimum positive integer $m$ such that the president can choose the express stops so that the following condition holds:\n\nCondition: For any two distinct stations $A$ and $B$, it is possible to travel from $A$ to $B$ in at most $m$ minutes (transfers are allowed any number of times; waiting times and transfer times are ignored).

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 124 Fonte: apri PDF

Minimum m in modo che due delle stazioni circolari del 2018 possano essere collegate entro m minuti utilizzando treni locali e espressi

La ferrovia JJMO ha una linea circolare con stazioni $2018$ disposte in cerchio. Attualmente, i treni locali (sosta a ogni stazione) corrono in entrambe le direzioni intorno al cerchio, e ogni treno viaggia esattamente $1$ minuto tra le stazioni consecutive. Il presidente prevede di introdurre treni espressi che si fermano solo in un sottogruppo designato di stazioni (eleto dal presidente), viaggiando anche $1$ minuto tra fermate espresse consecutive. Trovare il numero intero positivo minimo $m$ in modo che il presidente possa scegliere le fermate espresse in modo che la seguente condizione sia valida:\n\nCondizione: Per due stazioni distinte $A$ e $B$, è possibile viaggiare da $A$ a $B$ in un massimo di $m$ minuti (i trasferimenti sono consentiti un numero qualsiasi di volte; i tempi di attesa e i tempi di trasferimento sono ignorati).

Risposta: 124 src_jjmo16yq_yosen__Q12