Japan Junior Mathematical Olympiad 2019 — Honsen (Final)

Angle bisectors of two angles meet on side AB

Triangle $ABC$ satisfies $AB=AC\ne BC$. Let $D$ be a point inside triangle $ABC$ such that $\angle ABD=\angle ACD=30^{\circ }$. Show that the angle bisectors of $\angle ACB$ and $\angle ADB$ intersect at a point on side $AB$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori angolari di due angoli si incontrano sul lato AB

Il triangolo $ABC$ soddisfa $AB=AC\ne BC$. Il punto $D$ deve essere un punto all’interno del triangolo $ABC$ tale che $\angle ABD=\angle ACD=30^{\circ }$. Indicare che i bisettori angolari di $\angle ACB$ e $\angle ADB$ si intersecano in un punto laterale $AB$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Minimum n boxes with 10-color balls and equal color sums

There are $n$ boxes, each containing one ball painted in one color. The balls use exactly $10$ colors in total, and adjacent balls (in neighboring boxes) have different colors. Each ball has an integer written on it. It is known that for every pair of colors, the sum of the integers on all balls of those two colors is equal (i.e., the sum of integers over balls of each color is the same for all $10$ colors). Find the minimum possible value of $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum n scatole con palle di 10 colori e quantità di colori uguali

Ci sono scatole $n$, ciascuna contenente una palla dipinta in un colore. Le palle usano esattamente $10$ colori in totale, e le palle adiacenti (nelle scatole vicine) hanno colori diversi. Ogni palla ha un numero intero scritto su di essa. È noto che per ogni coppia di colori, la somma dei numeri interi su tutte le palle di quei due colori è uguale (cioè, la somma dei numeri interi su palle di ogni colore è la stessa per tutti i colori $10$). Trova il valore minimo possibile di $n$.

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GCD-min inequality and equality cases for positive integers

Let $a,b$ be positive integers. Here $\gcd (x,y)$ denotes the greatest common divisor of $x$ and $y$, and $\min (x,y)$ denotes the smaller of $x$ and $y$.

(1) Show that the inequality $\min (\gcd (a,b+1),\gcd (a+1,b))\le \frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}$ holds.

(2) Find all pairs of positive integers $(a,b)$ for which equality holds in the above inequality.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

GCD-min casi di disuguaglianza e di uguaglianza per i numeri interi positivi

Lasciate che $a,b$ siano numeri interi positivi. Qui $\gcd (x,y)$ indica il più grande divisore comune di $x$ e $y$, e $\min (x,y)$ indica il più piccolo di $x$ e $y$.

(1) Indicare che la disuguaglianza $\min (\gcd (a,b+1),\gcd (a+1,b))\le \frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}$ è valida.

(2) Trovare tutte le coppie di integri positivi $(a,b)$ per le quali l’uguaglianza vale nell’ineguaglianza di cui sopra.

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Minimum orthogonal moves in king-move Hamiltonian path on n×n grid

Let $n\ge 3$ be an integer. Consider an $n\times n$ grid of squares. The following game is played:

\begin{itemize} \item Choose one square and place a piece on it. \item At each step, from the square currently occupied by the piece, choose one square adjacent horizontally, vertically, or diagonally that has not yet been visited, and move the piece there. Repeat this operation until no such unvisited adjacent square exists. \end{itemize}

When all $n^2$ squares have been visited, find the minimum possible number of times the piece moved horizontally or vertically (i.e., non-diagonally) during the game.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Minimum di spostamenti ortogonali nel percorso di King-Move Hamiltonian su n ×n griglia *

$n\ge 3$ sia un numero intero. Considerate una griglia di quadrati $n\times n$. Si gioca il seguente gioco:

Scegli un quadrato e metti un pezzo su di esso. \item A ogni passo, dal quadrato attualmente occupato dal pezzo, scegli un quadrato adiacente orizzontalmente, verticalmente o diagonalmente che non è ancora stato visitato, e spostare il pezzo lì. Ripetere questa operazione finché non esista un quadrato adiacente non visitato. # Finire #

Quando tutti i quadrati $n^2$ sono stati visitati, trovare il numero minimo possibile di volte che il pezzo si è spostato orizzontalmente o verticalmente (cioè non diagonalmente) durante la partita.

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Angle equality in configuration with circumcircles and midpoints

Let $ABC$ be a triangle with $AB\ne AC$. Let $M$ be the midpoint of side $BC$, and let $N$ be the midpoint of the arc $BC$ (the arc containing $A$) of the circumcircle of triangle $ABC$. Let $H$ be the foot of the perpendicular from $N$ to line $AC$. Let $K$ be the intersection point, other than $C$, of the circumcircle of triangle $AMC$ and line $CN$. Prove that $\angle AKH=\angle CAM$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Equità di angolo in configurazione con circoncircoli e punti di mezzo

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB\ne AC$. $M$ sia il punto medio del lato $BC$ e $N$ sia il punto medio dell’arco $BC$ (l’arco contenente $A$) del circoncircolo del triangolo $ABC$. Il $H$ deve essere il piede della perpendicolare da $N$ alla linea $AC$. Il $K$ deve essere il punto di intersezione, diverso da $C$, del circoncircolo del triangolo $AMC$ e della linea $CN$. Prove che $\angle AKH=\angle CAM$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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