Japan Junior Mathematical Olympiad 2019 — Yosen (Preliminary)

Distinct digits 1-9 with two products equal to a sum

Let $a,b,c,d,e,f$ be pairwise distinct integers, each between $1$ and $9$ inclusive, satisfying $a\cdot b=c\cdot d=e+f$. Find all possible values of $a+b+c+d+e+f$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 23, 27 Fonte: apri PDF

Differenti cifre 1-9 con due prodotti uguali a una somma

$a,b,c,d,e,f$ siano integri separati in coppia, ciascuno tra $1$ e $9$ inclusi, soddisfacendo $a\cdot b=c\cdot d=e+f$. Trova tutti i valori possibili di $a+b+c+d+e+f$.

Risposta: 23, 27 src_jjmo17yq_yosen__Q01

Smallest ‘this-year number’ divisible by 17

A number obtained by writing two positive integers that differ by $1$ side by side in decreasing order is called a “this-year number”. For example, writing $20$ and $19$ gives $2019$, which is a this-year number. Find the smallest this-year number that is divisible by $17$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1615 Fonte: apri PDF

Il più piccolo “numero di quest’anno” divisibile per 17

Un numero ottenuto scrivendo due numeri interi positivi che differiscono di $1$ fianco a fianco in ordine decrescente è chiamato “numero di quest’anno”. Ad esempio, scrivendo $20$ e $19$ si dà $2019$, che è un numero di quest’anno. Trova il numero più piccolo di quest’anno divisibile per $17$.

Risposta: 1615 src_jjmo17yq_yosen__Q02

Angle AEB given two rectangles sharing a line with BE=CF

Quadrilateral $ABCD$ and quadrilateral $DEFG$ are both rectangles. The three points $A,D,E$ lie on one straight line in this order, and the three points $C,D,G$ lie on one straight line in this order. Given that $\angle GAD=36^{\circ }$, $\angle GCF=15^{\circ }$ and $BE=CF$ hold, find the measure of $\angle AEB$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $33^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Angolo AEB dato due rettangoli che condividono una linea con BE=CF

I quadrilaterali $ABCD$ e i quadrilaterali $DEFG$ sono entrambi rettangoli. I tre punti $A,D,E$ si trovano su una linea retta in questo ordine, e i tre punti $C,D,G$ si trovano su una linea retta in questo ordine. Considerando che $\angle GAD=36^{\circ }$, $\angle GCF=15^{\circ }$ e $BE=CF$ si trovano, si trova la misura di $\angle AEB$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 33^\circ src_jjmo17yq_yosen__Q03

Count of 1..999 divisible by 2 more times than by 5

Among the integers from $1$ to $999$ inclusive, how many are such that the number of times they are divisible by $2$ is greater than the number of times they are divisible by $5$? (For a prime $p$, the “number of times divisible by $p$” of an integer $n$ is the largest $k$ with $p^k\mid n$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 444 Fonte: apri PDF

Conte di 1,999 divisibili per 2 volte più di 5

Tra i numeri interi da $1$ a $999$ inclusi, quanti sono tali che il numero di volte che sono divisibili da $2$ sia maggiore del numero di volte che sono divisibili da $5$? (Per un primo $p$, il “numero di volte divisibili per $p$” di un intero $n$ è il più grande $k$ con $p^k\mid n$.)

Risposta: 444 src_jjmo17yq_yosen__Q04

Length AF in cyclic quadrilateral with reflection of D over AE

A quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle, and $E$ is a point on side $CD$, with $AB=3$, $EC=5$, $ED=1$ and $AE\parallel BC$. Let $F$ be the reflection of $D$ across line $AE$; then the three points $B,E,F$ are collinear. Find the length of segment $AF$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza AF in quadrilaterali ciclici con riflessione di D su AE

Un quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio e $E$ è un punto laterale $CD$, con $AB=3$, $EC=5$, $ED=1$ e $AE\parallel BC$. Se $F$ è il riflesso di $D$ attraverso la linea $AE$, i tre punti $B,E,F$ sono collineari. Trova la lunghezza del segmento $AF$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{3\sqrt{5}}{5} src_jjmo17yq_yosen__Q05

Count ways to fill 10 cards so all prefix sums are in {-1,0,1}

Ten cards are lined up in a row. On the odd-numbered cards (counting from the left) a positive integer is written, and on the even-numbered cards a negative integer is written. How many ways are there to fill in the cards so that the following condition holds: for every integer $i$ with $1\le i\le 10$, the total of the numbers written on cards $1$ through $i$ is one of $-1$, $0$, $1$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 89 Fonte: apri PDF

Contare i modi per riempire 10 carte in modo che tutte le somme dei prefissi siano in {-1,0,1}

Dieci carte sono allineate in fila. Nelle carte a numeri dispari (conteggiando da sinistra) viene scritto un intero positivo e sulle carte a numeri pari un intero negativo. Quanti modi ci sono per riempire le schede in modo che sia valida la seguente condizione: per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 10$, il totale dei numeri scritti sulle schede $1$ fino a $i$ è uno di $-1$, $0$, $1$?

Risposta: 89 src_jjmo17yq_yosen__Q06

Smallest n with d(n^2)=d(n^2+7^2019)

For a positive integer $x$, let $d(x)$ denote the number of positive divisors of $x$. Find the smallest positive integer $n$ satisfying $d(n^2)=d(n^2+7^{2019})$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $171\cdot 7^{1008}$ Fonte: apri PDF

La n più piccola con d(n^2)=d(n^2+7^2019)

Per un intero positivo $x$, $d(x)$ indica il numero di divisori positivi di $x$. Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ soddisfacente $d(n^2)=d(n^2+7^{2019})$.

Risposta: 171 \cdot 7^{1008} src_jjmo17yq_yosen__Q07

Count 5-tuples from {1..5} with a+2b+3c+4d+5e divisible by 6

How many tuples $(a,b,c,d,e)$ of five integers, each between $1$ and $5$ inclusive, are such that $a+2b+3c+4d+5e$ is a multiple of $6$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 518 Fonte: apri PDF

Contare 5 tupli da {1,5.} con a+2b+3c+4d+5e divisibile per 6

Quanti tupli $(a,b,c,d,e)$ di cinque numeri interi, ciascuno tra $1$ e $5$ inclusi, sono tali che $a+2b+3c+4d+5e$ sia un multiple di $6$?

Risposta: 518 src_jjmo17yq_yosen__Q08

Find AB in right triangle with cyclic quadrilateral ADFE

Triangle $ABC$ satisfies $\angle B=90^{\circ }$ and $BC=8$. Point $D$ lies on side $AB$ and point $E$ lies on side $AC$; let $F$ be the intersection of line $BE$ and line $CD$, with $BF=6$ and $CF=7$. Furthermore, the quadrilateral $ADFE$ has an inscribed circle. Find the length of segment $AB$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{63}{2}$ Fonte: apri PDF

Ricerca AB in triangolo rettangolo con ADFE quadrilaterale ciclico

Il triangolo $ABC$ soddisfa $\angle B=90^{\circ }$ e $BC=8$. Il punto $D$ si trova sul lato $AB$ e il punto $E$ si trova sul lato $AC$; il punto $F$ sia l’intersezione della linea $BE$ e della linea $CD$, con $BF=6$ e $CF=7$. Inoltre, il quadrilaterale $ADFE$ ha un cerchio inciso. Trova la lunghezza del segmento $AB$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{63}{2} src_jjmo17yq_yosen__Q09

Max direct routes added to 100-port network under Hamiltonian-path condition

A certain country has $100$ ports, and JJMO Shipping operates two-way direct routes between some pairs of distinct ports. JJMO Shipping decides to add a new two-way direct route for any pair of distinct ports $A,B$ that satisfies the following condition: one can leave port $A$, pass through every port exactly once, and arrive at port $B$, but there is no direct route between ports $A$ and $B$. Direct routes are added one after another until no two distinct ports satisfying the condition remain. Find the largest possible number of direct routes that can be created (added).

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4850 Fonte: apri PDF

Maxime rotte dirette aggiunte alla rete di 100 porti in condizioni di percorso di Hamilton

Un determinato paese dispone di porti $100$ e JJMO Shipping opera rotte dirette bidirezionali tra alcune coppie di porti distinti. JJMO Shipping decide di aggiungere un nuovo percorso diretto bidirezionale per ogni coppia di porti $A,B$ che soddisfi la seguente condizione: si può lasciare il porto $A$, passare attraverso ogni porto esattamente una volta e arrivare al porto $B$, ma non esiste un percorso diretto tra i porti $A$ e $B$. Le rotte dirette sono aggiunte una dopo l’altra fino a quando non rimangono due porti distinti che soddisfino la condizione. Trovare il maggior numero possibile di rotte dirette che possono essere create (aggiunte).

Risposta: 4850 src_jjmo17yq_yosen__Q10

Circumradius given incenter, orthocenter, AI=5, AH=6, angle AIH=90

Let $I$ be the incenter and $H$ the orthocenter of triangle $ABC$. Given that $AI=5$, $AH=6$ and $\angle AIH=90^{\circ }$ hold, find the length of the radius of the circumscribed circle of triangle $ABC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{75}{7}$ Fonte: apri PDF

Circumradius dato incentro, ortocentro, AI=5, AH=6, angolo AIH=90

Che $I$ sia il centro e $H$ l’ortocentro del triangolo $ABC$. Poiché $AI=5$, $AH=6$ e $\angle AIH=90^{\circ }$ si tengono, si trova la lunghezza del raggio del circolo circumscritto del triangolo $ABC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{75}{7} src_jjmo17yq_yosen__Q11

Distinct strings reachable in 4 operations from ‘A’

On a blackboard a string made of the letters $A$ and $B$ is written. Consider the following operation: take the current string $w$, append one more letter (either $A$ or $B$), and then change exactly one of the $A$‘s to a $B$ or one of the $B$‘s to an $A$. For example, if $w=ABA$, the strings that can appear after one operation are $ABAABA$, $BBAABA$, $AAAABA$, $ABBABA$, $ABABBA$, $ABAAAA$, $ABAABB$ (among such results). Now suppose the string $A$ is written on the blackboard. Starting from this state, after performing the operation exactly $4$ times, how many distinct strings can appear on the blackboard?

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1099 Fonte: apri PDF

Signature distinte raggiungibili in 4 operazioni a partire da “A”

Su una lavagna è scritta una stringa fatta delle lettere $A$ e $B$. Considerare la seguente operazione: prendere la stringa corrente $w$, aggiungere un’altra lettera (o $A$ o $B$), e quindi cambiare esattamente una delle $A$ in una $B$ o una delle $B$ in una $A$. Per esempio, se $w=ABA$, le stringhe che possono apparire dopo una sola operazione sono $ABAABA$, $BBAABA$, $AAAABA$, $ABBABA$, $ABABBA$, $ABAAAA$, $ABAABB$ (tra tali risultati). Ora supponiamo che la stringa $A$ sia scritta sulla lavagna. A partire da questo stato, dopo aver eseguito l’operazione esattamente $4$ volte, quante stringhe distinte possono apparire sulla scheda?

Risposta: 1099 src_jjmo17yq_yosen__Q12