Japan Junior Mathematical Olympiad 2020 — Honsen (Final)

Minimize L-trominoes tiling a grid with L and S tiles

On a $2020\times 2021$ grid, several tiles of the two kinds $L$ and $S$ shown in the figure are placed along the cells so that they do not overlap and the whole grid is covered. Find the smallest possible value of the number of $L$ tiles used. The tiles may be rotated and reflected.

Here $L$ is an L-shaped tromino (three unit cells) and $S$ is an S-shaped tetromino (four unit cells).

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimizzare le tromine L che tessono una griglia con piastrelle L e S

Su una griglia $2020\times 2021$, diverse piastrelle dei due tipi $L$ e $S$ mostrate nella figura sono posizionate lungo le celle in modo che non si sovrappongano e l’intera griglia sia coperta. Trova il minimo valore possibile del numero di piastrelle $L$ utilizzate. Le piastrelle possono essere rotate e riflesse.

Qui $L$ è un tromino a forma di L (tre cellule di unità) e $S$ è un tetromino a forma di S (quattro cellule di unità).

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Isosceles triangle with altitude foot; find angle BCD

There is an isosceles triangle $ABC$ with $AB=AC$. Let $H$ be the foot of the perpendicular dropped from $B$ onto the line $AC$. When a point $D$ on segment $BH$ satisfies $AB=2BD$ and $BC=2CD$, find the measure of $\angle BCD$.

Here $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo a pari stelle con piede di altitudine; angolo di ricerca BCD

C’è un triangolo a pari livello $ABC$ con $AB=AC$. Il $H$ deve essere il piede della perpendicolare che viene abbassato da $B$ sulla linea $AC$. Quando un punto $D$ sul segmento $BH$ soddisfa $AB=2BD$ e $BC=2CD$, si trova la misura di $\angle BCD$.

Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Triples with lcm equal to (ab+bc+ca)/4

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers such that the least common multiple of $a$, $b$, $c$ equals $\frac{ab+bc+ca}{4}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tripli con lcm uguale a (ab+bc+ca)/4

Trovare tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi in modo tale che il più piccolo multiplo comune di $a$, $b$, $c$ sia uguale a $\frac{ab+bc+ca}{4}$.

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Minimum pieces so every cell has 2+ pieces on its diagonals

There is a $2020\times 2020$ grid, and at most one piece is placed on each cell. Find the smallest possible value of the number of pieces used when pieces are placed so that the following condition is satisfied:

For every cell, there exist at least $2$ pieces lying on the diagonal lines through that cell.

Here, a piece on the cell in the $a$-th row from the top and the $b$-th column from the left is said to lie on a diagonal line of the cell in the $c$-th row from the top and the $d$-th column from the left when $|a-c|=|b-d|$ holds.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di pezzi in modo che ogni cella abbia 2+ pezzi sulle sue diagonali

C’è una griglia $2020\times 2020$, e al massimo un pezzo è posto su ogni cella. Trovare il minimo valore possibile del numero di pezzi utilizzati quando i pezzi vengono posizionati in modo che sia soddisfatta la seguente condizione:

Per ogni cella, ci sono almeno $2$ pezzi che si trovano sulle linee diagonali attraverso quella cella.

Qui, si dice che un pezzo della cella nella riga $a$-a dall’alto e nella colonna $b$-a da sinistra si trovi su una linea diagonale della cella nella riga $c$-a dall’alto e nella colonna $d$-a da sinistra quando $|a-c|=|b-d|$ si tiene.

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Regular 2020-gon with distinct labels; show some n satisfies inequality

There is a regular $2020$-gon, and the vertices $1,2,\dots ,2020$ are arranged clockwise. Moreover, separately from the vertex numbers, a distinct positive integer is assigned to each vertex (so that no two vertices receive the same integer). Show that there exists an integer $n$ with $1\le n\le 2020$ satisfying the following condition:

If the integers assigned to vertices $n$, $n+1$, $n+2$ are $a$, $b$, $c$ respectively, then $a^2+b^2\ge c^2+n^2+3$ holds.

Here, vertex $2021$ and vertex $2022$ refer to vertex $1$ and vertex $2$ respectively.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Regolare 2020-gon con etichette distinte; mostrare alcuni n soddisfa le disuguaglianze

C’è un normale $2020$-gon, e i vertici $1,2,\dots ,2020$ sono disposti nel senso orario. Inoltre, separatamente dai numeri delle vertici, un numero intero positivo distinto è assegnato a ciascun vertice (in modo che due vertici non ricevano lo stesso numero intero). Indicare che esiste un numero intero $n$ con $1\le n\le 2020$ che soddisfa la seguente condizione:

Se i numeri interi assegnati ai vertici $n$, $n+1$, $n+2$ sono rispettivamente $a$, $b$ e $c$, allora $a^2+b^2\ge c^2+n^2+3$ è valido.

Qui, vertice $2021$ e vertice $2022$ si riferiscono rispettivamente al vertice $1$ e al vertice $2$.

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