Japan Junior Mathematical Olympiad 2020 — Yosen (Preliminary)

Ratio AB/AC in right triangle with inscribed square and three area labels

In right triangle $ABC$, a square is inscribed as shown in the figure. The three numbers written inside the figure represent the areas of the three right triangles formed by the sides of the square. Find $\frac{AB}{AC}$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\frac{3}{5}$ Fonte: apri PDF

*Ratio AB/AC in triangolo rettangolo con etichette quadrate e di superficie *

Nel triangolo rettangolo $ABC$, è inserito un quadrato come mostrato nella figura. I tre numeri scritti all’interno della figura rappresentano le aree dei tre triangoli rettangolari formati dai lati del quadrato. Trova $\frac{AB}{AC}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{3}{5} src_jjmo18yq_yosen__Q01

Pairs (a,b) of positive integers whose consecutive sum equals 2020, minimizing a

Let $a,b$ be positive integers. Among all pairs $(a,b)$ such that the sum of all integers from $a$ to $b$ (inclusive) equals $2020$, find all pairs $(a,b)$ for which $a$ is as small as possible.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $(31,70)$ Fonte: apri PDF

Coppie (a,b) di integri positivi la cui somma consecutiva è uguale al 2020, riducendo al minimo a

Lasciate che $a,b$ siano numeri interi positivi. Tra tutte le coppie $(a,b)$ in modo tale che la somma di tutti gli integri da $a$ a $b$ (inclusivo) sia uguale a $2020$, si trovano tutte le coppie $(a,b)$ per le quali $a$ è il più piccolo possibile.

Risposta: (31,,70) src_jjmo18yq_yosen__Q02

Count palindromic integers not divisible by 10 between 1 and 10000

Among positive integers, a number is called a palindrome (回文数) if it reads the same forwards and backwards. Among palindromes between $1$ and $10000$ (inclusive), count those that are not multiples of $10$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 107 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi palindromici non divisibili per 10 tra 1 e 10000

Tra i numeri interi positivi, un numero è chiamato palindromo (回文数) se si legge lo stesso avanti e indietro. Tra i palindromi tra $1$ e $10000$ (inclusi), si contano quelli che non sono multipli di $10$.

Risposta: 107 src_jjmo18yq_yosen__Q03

Area of right isosceles triangle circumscribed about four unit squares in 2x2 arrangement

A right isosceles triangle is circumscribed about four unit squares (each with side length $1$) arranged in a $2\times 2$ square, as shown in the figure. Find the area of the right isosceles triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $\frac{169}{20}$ Fonte: apri PDF

L’area del triangolo a destra con uguali osceli circondata da circa quattro unità quadrate in disposizione 2x2

Un triangolo a destra è circoscritto in circa quattro quadrati unitari (ciascuno con lunghezza laterale $1$) disposti in un quadrato $2\times 2$, come mostrato nella figura. Trova l’area del triangolo a destra.

Risposta: \dfrac{169}{20} src_jjmo18yq_yosen__Q04

Length PQ connecting midpoints of diagonals in isosceles trapezoid ABCD

In isosceles trapezoid $ABCD$, $AB=CD=7$, $DA=6$, $\angle B=72^{\circ }$, $\angle C=48^{\circ }$. Let $P$ and $Q$ be the midpoints of diagonals $AC$ and $BD$, respectively. Find the length $PQ$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $\frac{7}{2}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza PQ che collega i punti di mezzo di diagonali nell’isosceles trapezoide ABCD

In isoceles trapezoide $ABCD$, $AB=CD=7$, $DA=6$, $\angle B=72^{\circ }$, $\angle C=48^{\circ }$. $P$ e $Q$ siano rispettivamente i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$. Trova la lunghezza $PQ$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{7}{2} src_jjmo18yq_yosen__Q05

Maximum number of L-shaped 4-unit blocks in 5x5x5 cube minus 8 corners

Consider the solid $Q$ obtained from a $5\times 5\times 5$ cube by removing one unit cube from each of its $8$ corners. Also consider the L-shaped block $L$ made of $4$ unit cubes (as shown) and individual unit cubes (side length $1$). When $Q$ is partitioned into copies of $L$ and individual unit cubes, find the maximum possible number of $L$-blocks used.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Colorazione, Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 27 Fonte: apri PDF

Nombre massimo di blocchi a 4 unità a forma di L in cubo 5x5x5 meno 8 angoli

Considera il solido $Q$ ottenuto da un cubo $5\times 5\times 5$ rimuovendo un cubo unitario da ciascun angolo $8$. Considera inoltre il blocco a forma di L $L$ costituito da cubetti unitari $4$ (come mostrato) e singoli cubetti unitari (lenghezza laterale $1$). Quando $Q$ è suddiviso in copie di $L$ e singoli cubetti unitari, trovare il numero massimo possibile di blocchi $L$ utilizzati.

Risposta: 27 src_jjmo18yq_yosen__Q06

Number of ways to tile a figure with L-trominoes and plus-pentominoes

Consider two types of tiles: tile $L$ consisting of $3$ unit squares in an L-shape, and tile $X$ consisting of $5$ unit squares in a plus ($+$) shape. There are $12$ copies of $L$ and $4$ copies of $X$ available. A certain figure consisting of $30$ unit squares (shaded region shown) is to be covered completely without overlapping using these tiles. Tiles may be rotated or flipped; however, arrangements that would coincide after rotating or flipping the entire board are counted as distinct. Find the number of ways to tile the figure.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione, Invarianti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Numero di modi di tessere di una figura con L-tromino e più pentomino

Consideriamo due tipi di piastrelle: piastrelle $L$ costituite da quadrati di unità $3$ in forma L e piastrelle $X$ costituite da quadrati di unità $5$ in forma più ($+$). Sono disponibili $12$ copie di $L$ e $4$ copie di $X$. Una certa figura costituita da quadrati unitari $30$ (regione ombrata mostrata) deve essere completamente coperta senza sovrapposizioni utilizzando queste piastrelle. Le piastrelle possono essere ruotate o volte; tuttavia, le disposizioni che coincidono dopo aver ruotato o volto l’intera lavagna sono considerate come distinte. Trova il numero di modi per tessere la figura.

Risposta: 24 src_jjmo18yq_yosen__Q07

All positive integer triples (l,m,n) satisfying two simultaneous equations involving 2020

Find all triples of positive integers $(l,m,n)$ with $1\le m\le n$ satisfying $l^2+mn=m^2+ln\text{and}{n}^2+lm=2020.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(16,16,42),(24,24,38),(2,42,44)$ Fonte: apri PDF

Tutti i tripli numeri interi positivi (l,m,n) che soddisfano due equazioni simultanee che coinvolgono il 2020

Trovare tutti i tripli di numeri interi positivi $(l,m,n)$ con $1\le m\le n$ soddisfacente $l^2+mn=m^2+ln\text{and}{n}^2+lm=2020.$

Risposta: (16,16,42),;(24,24,38),;(2,42,44) src_jjmo18yq_yosen__Q08

Count tilings of hexagon divided into half-triangles satisfying two conditions on good points

A regular hexagon with side length $1$ is divided into equilateral triangles of side length $\frac{1}{2}$. The $10$ dots marked in the figure are called good points. There are $12$ tiles each shaped like an obtuse triangle (occupying one small triangle cell), which together cover the hexagon without gaps or overlaps. Among all such tilings, count those satisfying both of the following conditions: (i) At least one tile has a good point at one of its acute vertices. (ii) Exactly one pair of adjacent tiles together forms an equilateral triangle of side $\frac{1}{2}$ (i.e., exactly $2$ tiles share a longest edge). Tiles may be rotated or flipped; tilings that differ by a rotation or reflection of the whole hexagon are counted as distinct.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Colorazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 22 Fonte: apri PDF

Conteggio di piastrelle esagoniche suddivise in semi-triangoli che soddisfano due condizioni in punti buoni

Un esagono regolare con lunghezza laterale $1$ è diviso in triangoli equilaterali di lunghezza laterale $\frac{1}{2}$. I punti $10$ segnati nella figura sono chiamati punti buoni. Ci sono piastrelle $12$ ciascuna con forma di triangolo obtuso (occupando una piccola cella triangolare), che insieme coprono l’esagono senza lacune o sovrapposizioni. Tra tutte queste piastrelle si contano quelle che soddisfano entrambe le seguenti condizioni: (i) almeno una piastrella ha un buon punto in uno dei suoi vertici acuti. (ii) Esattamente una coppia di piastrelle adiacenti insieme forma un triangolo equilaterale di lato $\frac{1}{2}$ (cioè, esattamente $2$ piastrelle condividono il bordo più lungo). Le piastrelle possono essere ruotate o volte; le piastrelle che differiscono per rotazione o riflessione dell’intero esagono sono considerate distinte.

Risposta: 22 src_jjmo18yq_yosen__Q09

Minimum perimeter of integer-sided triangle ABC with circle through D and E tangent to AB and AC

Triangle $ABC$ has integer side lengths. Points $B$, $D$, $E$, $C$ lie in this order on side $BC$, with $BD=4$ and $EC=7$. A circle passes through $D$ and $E$ and is tangent to side $AB$ and side $AC$. Find the minimum possible value of the perimeter $AB+BC+CA$ of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 66 Fonte: apri PDF

Perimetro minimo del triangolo a lato intero ABC con un cerchio attraverso D ed E tangente a AB e AC

Il triangolo $ABC$ ha lunghezze laterali interi. I punti $B$, $D$, $E$, $C$ si trovano in questo ordine sul lato $BC$, con $BD=4$ e $EC=7$. Un cerchio passa attraverso $D$ e $E$ ed è tangente a lato $AB$ e lato $AC$. Trova il valore minimo possibile del perimetro $AB+BC+CA$ del triangolo $ABC$.

Risposta: 66 src_jjmo18yq_yosen__Q10

Maximum expected number of black-face-up coins after 2020 row/column flip operations

There is an $8\times 8$ grid; each cell contains a coin. Each coin shows either white (face up) or black (face up). Initially all coins show black. One operation proceeds as follows: player $A$ selects $5$ squares in a single row; player $B$ then selects $1$ of those $5$ squares, and all $8$ coins in the row containing that square and all $8$ coins in the column containing that square are flipped (the coin at the intersection is flipped once). After $2020$ such operations, find the maximum possible expected number of coins showing black (face up), where player $A$ chooses their strategy to maximize this expected value.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 50 Fonte: apri PDF

Numero massimo previsto di monete a faccia nera dopo le operazioni di riversamento delle righe/colonne del 2020

C’è una griglia $8\times 8$; ogni cella contiene una moneta. Ogni moneta mostra bianco (faccia in su) o nero (faccia in su). Inizialmente tutte le monete mostrano nero. Una operazione avviene come segue: il giocatore $A$ seleziona i quadrati $5$ in una singola riga; il giocatore $B$ seleziona quindi $1$ di quei quadrati $5$, e tutte le monete $8$ della riga contenente quel quadrato e tutte le monete $8$ della colonna contenente quel quadrato vengono volte (la moneta all’incrocio viene volta una volta). Dopo $2020$ tali operazioni, trovare il numero massimo possibile di monete attese mostrando nero (faccia su), dove il giocatore $A$ sceglie la propria strategia per massimizzare questo valore atteso.

Risposta: 50 src_jjmo18yq_yosen__Q11

All quadruples (a,b,c,d) from 1-9 where every non-empty subset sum avoids multiples of 24

Find all quadruples $(a,b,c,d)$ of positive integers satisfying $1\le a<b<c<d\le 9$ such that none of the $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=15$ subset sums formed by choosing $1$, $2$, $3$, or $4$ elements from $\{a,b,c,d\}$ is a multiple of $24$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(1,2,3,8),(1,3,8,9),(2,4,6,9)$ Fonte: apri PDF

Tutti i quadrupli (a,b,c,d) da 1-9 in cui ogni somma non vuota del sottoinsieme evita moltipli di 24

Trova tutti i quadrupli $(a,b,c,d)$ di numeri interi positivi che soddisfano $1\le a<b<c<d\le 9$ in modo tale che nessuna delle somme del sottoinsieme $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=15$ formate scegliendo gli elementi $1$, $2$, $3$ o $4$ da $\{a,b,c,d\}$ sia un multiple di $24$.

Risposta: (1,2,3,8),;(1,3,8,9),;(2,4,6,9) src_jjmo18yq_yosen__Q12