Japan Junior Mathematical Olympiad 2003

Compute a decimal arithmetic expression

Compute the following expression: $18.6÷31-2.604÷3.1-0.8556÷0.31$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione aritmetica decimale

Calcolare la seguente espressione: $18.6÷31-2.604÷3.1-0.8556÷0.31$

src_jjmo1q__Q01

Solve a symmetric system of three linear equations in x, y, z

Find all real numbers $x,y,z$ that simultaneously satisfy all three of the following equations: $\{\begin{array}{l}y+z=3\\ x+z=5\\ x+y=4\end{array}$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema simmetrico di tre equazioni lineari in x, y, z

Trova tutti i numeri reali $x,y,z$ che soddisfano contemporaneamente tutte e tre le seguenti equazioni: $\{\begin{array}{l}y+z=3\\ x+z=5\\ x+y=4\end{array}$

src_jjmo1q__Q02

Find ratio DS/SR using two cevians in a parallelogram

In parallelogram $ABCD$, two points $P$ and $Q$ are placed on side $BC$ such that $BP:PQ:QC=3:2:\sqrt{7}.$ Let $R$ be the intersection of line $AP$ with line $CD$, and let $S$ be the intersection of line $AQ$ with line $CD$. Find the value of $\frac{DS}{SR}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rileva il rapporto DS/SR utilizzando due ceviani in un parallelo

Nel parallelo $ABCD$, due punti $P$ e $Q$ sono posizionati sul lato $BC$ in modo tale che $BP:PQ:QC=3:2:\sqrt{7}.$ $R$ sia l’intersezione della linea $AP$ con la linea $CD$, e $S$ sia l’intersezione della linea $AQ$ con la linea $CD$. Trova il valore di $\frac{DS}{SR}$.

src_jjmo1q__Q03

Count closed walks on regular tetrahedron returning to start after visiting all vertices

In a regular tetrahedron $ABCD$, starting from vertex $A$, we traverse edges one at a time, each time moving to one of the other three vertices. We wish to return to $A$ after visiting the remaining three vertices $B$, $C$, $D$ each exactly once (so the path has exactly $4$ moves). How many such paths are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le camminate chiuse sul tetraedro regolare che ritornano all’inizio dopo aver visitato tutti i vertici

In un tetraedro regolare $ABCD$, partendo dal vertice $A$, attraversiamo i bordi uno alla volta, ogni volta che ci muoviamo verso uno degli altri tre vertici. Vogliamo tornare a $A$ dopo aver visitato le tre vertici rimanenti $B$, $C$, $D$ ciascuna esattamente una volta (per cui il percorso ha esattamente $4$ movimenti). Quanti sono questi sentieri?

src_jjmo1q__Q04

Count integers from 1 to 2003 with an even number of positive divisors

Among the integers from $1$ to $2003$, how many have an even number of positive divisors? For example, $6$ has positive divisors $1,2,3,6$ (four in total), so $6$ satisfies this condition.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi da 1 a 2003 con un numero pari di divisori positivi

Tra gli integri da $1$ a $2003$, quanti hanno un numero pari di divisori positivi? Ad esempio, $6$ ha divisori positivi $1,2,3,6$ (quattro in totale), quindi $6$ soddisfa questa condizione.

src_jjmo1q__Q05

Find area of triangle DBC given incircle-related point and distances on cevian

Let triangle $ABC$ satisfy $AB=AC=5$ and $BC=6$. Inside the triangle, take a point $D$ on the incircle of triangle $ABC$. Let segment $AD$ meet side $AB$ at $E$ and side $AC$ at $F$ (so $E$ lies on $AB$ and $F$ lies on $AC$, with $D$ between $E$ and $F$). Given $DE=1$ and $DF=2$, find the area of triangle $DBC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo DBC dato punto e distanze correlate all’incircolo sul ceviano

Il triangolo $ABC$ deve soddisfare $AB=AC=5$ e $BC=6$. All’interno del triangolo, prendere un punto $D$ sul circolo del triangolo $ABC$. Il segmento $AD$ deve incontrare lato $AB$ a $E$ e lato $AC$ a $F$ (così $E$ si trova su $AB$ e $F$ si trova su $AC$, con $D$ tra $E$ e $F$). Date $DE=1$ e $DF=2$, si trova l’area del triangolo $DBC$.

src_jjmo1q__Q06

Find all possible integer side lengths of a convex polygon when one side is 18

Consider a convex polygon all of whose side lengths are positive integers, and in which one side has length $18$. Find all values that can occur as a side length of such a polygon (i.e., find all positive integers that can be the length of some side).

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le lunghezze laterali possibili di un poligono convexo quando un lato è 18

Considera un poligono convex le cui lunghezze laterali sono tutti integri positivi, e in cui un lato ha lunghezza $18$. Trova tutti i valori che possono verificarsi come lunghezza laterale di un tale poligono (cioè, trova tutti gli enti positivi che possono essere la lunghezza di qualche lato).

src_jjmo1q__Q07

Find area of quadrilateral with given sides and diagonal intersection angle 45°

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$, $DA=6$. The diagonals $AC$ and $BD$ intersect at an angle of $45^{\circ }$. Find the area of this quadrilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area di un quadrilaterale con i lati dati e l’angolo di intersezione diagonale 45°

Il quadrilaterale $ABCD$ soddisfa $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$, $DA=6$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano ad un angolo di $45^{\circ }$. Trova l’area di questo quadrilaterale.

src_jjmo1q__Q08

Count 4-tuples of positive integers satisfying two symmetric equations

Find the number of 4-tuples $(a,b,c,d)$ of positive integers satisfying the system: $\{\begin{array}{l}a+b=cd\\ c+d=ab\end{array}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare 4 tupli di integri positivi che soddisfano due equazioni simmetriche

Trova il numero di 4 tupli $(a,b,c,d)$ di numeri interi positivi che soddisfano il sistema: $\{\begin{array}{l}a+b=cd\\ c+d=ab\end{array}$

src_jjmo1q__Q09

Find volume of piece containing vertex A when unit cube is cut by three mid-planes through center

A cube $ABCD$-$EFGH$ of side length $1$ has center $O$ (the intersection of its four space diagonals). The cube is cut by the following three planes, each passing through $O$: \begin{itemize} \item The plane through edges $BC$ and $AD$ (two opposite edges of a face) passing through $O$. \item The plane through edges $CA$ and $BD$ passing through $O$. \item The plane through edges $AB$ and $CD$ passing through $O$. \end{itemize} The cube is thereby divided into several solids. Find the volume of the solid that contains vertex $A$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il volume del pezzo contenente il vertice A quando il cubo unitario è tagliato per tre piani medi attraverso il centro

Un cubo $ABCD$-$EFGH$ di lunghezza laterale $1$ ha il centro $O$ (l’intersezione delle sue quattro diagonali spaziali). Il cubo viene tagliato dai seguenti tre piani, ciascuno attraversando $O$: \begin{itemize} \item Il piano attraversando i bordi $BC$ e $AD$ (due bordi opposte di una faccia) attraversando $O$. \item Il piano attraverso i bordi $CA$ e $BD$ che attraversa $O$. \item Il piano attraverso i bordi $AB$ e $CD$ che attraversa $O$. Il cubo è quindi diviso in diversi solidi. Trova il volume del solido contenente il vertice $A$.

src_jjmo1q__Q10

Fill-in-the-blank: operations on integer pairs, achievable products, and extremal values

Fill each box X​ with the appropriate number.

Consider a pair $(x,y)$ where $x$ and $y$ are positive integers. We consider two operations:

(A) Choose a positive integer $a$ with $a\le y$; replace $(x,y)$ by $\left(ax,\frac{y}{a}\right)$. (This requires $a\mid y$.)

(B) Replace $(x,y)$ by $(x+1,y+1)$.

Starting from $(1,1)$, apply these two operations repeatedly. For example: applying (B) gives $(2,2)$; applying (A) with $a=\frac{3}{2}$… the example continues showing that from $(1,1)$ applying (B) gives $(2,2)$, then (A) with $a=\frac{3}{2}$ gives $\left(3,\frac{4}{3}\right)$…

(Note: operation (A) does not change the product $xy$; operation (B) changes it.)

The problem asks to determine, among all pairs reachable from $(1,1)$ by these operations, the maximum product $xy$ that is a perfect square $k^2$, subject to the constraint that operation (B) is used at most $3$ times in total. Fill in the blanks:

1. Applying (A) does not change $xy$; after one application of (B) the product increases. If before applying (B) the pair has product $xy=k^2$, the new product is at most XX​ and at least XX​.
2. For $k\ge 1$, the number of pairs $(x,y)$ with $xy=k^2$ reachable from $(1,1)$ is at most XX​.
3. When (B) is applied exactly $3$ times, the maximum product $xy$ (which must be a perfect square) is XX​ if the maximum is taken over all such sequences. The two pairs achieving the two largest perfect-square products are $(\boxed{},\boxed{})$ and $(\boxed{},\boxed{})$, and these cannot be achieved with fewer than $3$ applications of (B).

Topic: Algebra, Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti, Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Fill-in-the-blank: operazioni su coppie di numeri interi, prodotti raggiungibili e valori estremi

Riempire ciascuna casella X​ con il numero appropriato.

Considera una coppia $(x,y)$ in cui $x$ e $y$ sono integri positivi. Consideriamo due operazioni:

**(A) ** Scegliere un intero positivo $a$ con $a\le y$; sostituire $(x,y)$ con $\left(ax,\frac{y}{a}\right)$. (Questo richiede $a\mid y$.)

**(B) ** Rimpiazzare $(x,y)$ con $(x+1,y+1)$.

A partire da $(1,1)$, applicare ripetutamente queste due operazioni. Ad esempio: applicare (B) dà $(2,2)$; applicare (A) con $a=\frac{3}{2}$… l’esempio continua a mostrare che dall’applicazione di $(1,1)$ (B) si ottiene $(2,2)$, poi (A) con $a=\frac{3}{2}$ si ottiene $\left(3,\frac{4}{3}\right)$…

*(Nota: l’operazione (A) non modifica il prodotto $xy$; l’operazione (B) lo modifica.) *

Il problema richiede di determinare, tra tutte le coppie raggiungibili da $(1,1)$ con queste operazioni, il prodotto massimo $xy$ che è un quadrato perfetto $k^2$, soggetto alla limitazione che l’operazione (B) sia utilizzata al massimo $3$ volte nel totale. Riempire i vuoti:

1. L’applicazione di (A) non modifica $xy$; dopo una sola applicazione di (B) il prodotto aumenta. Se prima di applicare (B) la coppia ha prodotto $xy=k^2$, il nuovo prodotto è al massimo XX​ e almeno XX​. 2. Per $k\ge 1$, il numero di coppie $(x,y)$ con $xy=k^2$ raggiungibili da $(1,1)$ è massimo XX​. 3. Quando (B) viene applicato esattamente $3$ volte, il prodotto massimo $xy$ (che deve essere un quadrato perfetto) è XX​ se il massimo viene preso in tutte queste sequenze. Le due coppie che raggiungono i due prodotti a quadrato perfetto più grandi sono $(\boxed{},\boxed{})$ e $(\boxed{},\boxed{})$, e questi non possono essere raggiunti con meno di $3$ applicazioni di (B).

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Maximum draws in a 15-player round-robin chess tournament with all distinct records

In a chess tournament, $15$ players each play against every other player exactly once. In each game, the result is either a win for one player (and a loss for the other) or a draw for both. It turned out that no two players ended with exactly the same record (i.e., all players had distinct triples of (number of wins, number of losses, number of draws)). Find the maximum possible total number of drawn games in the tournament.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trascorsi massimi in un torneo di scacchi a rotonda con 15 giocatori con tutti i record distinti

In un torneo di scacchi, i giocatori $15$ giocano ciascuno contro ogni altro giocatore esattamente una volta. In ogni partita, il risultato è una vittoria per un giocatore (e una sconfitta per l’altro) o un pareggio per entrambi. Si è rivelato che nessun giocatore finisce con esattamente lo stesso record (cioè, tutti i giocatori hanno triplicato distintamente (numero di vittorie, numero di perdite, numero di pareggio)). Trova il numero massimo possibile di giochi sorte nel torneo.

src_jjmo1q__Q12