Japan Junior Mathematical Olympiad 2022 — Honsen (Final)

Primes (p,q) making p^3+3q^3-32 prime

Find all pairs of primes $(p,q)$ such that $p^3+3q^3-32$ is prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primi (p,q) che rendono p^3+3q^3-32 primi

Trova tutte le coppie di prime $(p,q)$ in modo tale che $p^3+3q^3-32$ sia primo.

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Stones on a circle, make a cell with n-1 stones in n-2 moves

Let $n$ be an integer with $n\ge 3$. There are $n$ cells arranged on a circle, and one stone is placed on each cell. The following operation is performed: choose a cell $A$ that contains at least one stone, and an integer $k$ with $1\le k\le n-1$. Then move all the stones on the cell that is $k$ steps counterclockwise from $A$ to the cell that is $k$ steps clockwise from $A$. Find all $n$ for which it is possible, by performing this operation exactly $n-2$ times appropriately, to obtain a cell containing $n-1$ stones.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pietra su un cerchio, formare una cella con pietra n-1 in movimenti n-2

$n$ sia un numero intero con $n\ge 3$. Ci sono cellule $n$ disposte su un cerchio, e una pietra è posta su ogni cellula. Si esegue la seguente operazione: scegli una cella $A$ che contenga almeno una pietra e un numero intero $k$ con $1\le k\le n-1$. Poi spostare tutte le pietre sulla cella che è $k$ passi in senso contrario all’orologio da $A$ alla cella che è $k$ passi in senso orologio da $A$. Trovare tutte le $n$ per le quali è possibile, eseguendo questa operazione esattamente $n-2$ volte in modo appropriato, ottenere una cella contenente pietre $n-1$.

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Max number of the six sums equal to 1

There are six distinct real numbers $a,b,c,x,y,z$. Among the six expressions $ax+by+cz,ax+bz+cy,ay+bx+cz,ay+bz+cx,az+bx+cy,az+by+cx,$ find the largest possible number of them that can be equal to $1$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero massimo delle sei somme uguale a 1

Ci sono sei numeri reali distinti $a,b,c,x,y,z$. Tra le sei espressioni $ax+by+cz,ax+bz+cy,ay+bx+cz,ay+bz+cx,az+bx+cy,az+by+cx,$ trovi il numero più grande possibile di esse che può essere uguale a $1$.

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Prove angle BPE = 90 degrees in acute triangle

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$. The perpendicular bisector of segment $BC$ meets lines $AB$ and $AC$ at points $D$ and $E$ respectively, and let $M$ be the midpoint of segment $DE$. The circumcircle of triangle $ABC$ and line $AM$ meet at a point $P$ other than $A$, and the three points $M,A,P$ lie in this order. Prove that $\angle BPE=90^{\circ }$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo di prova BPE = 90 gradi in triangolo acuto

$ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$. Il bisettore perpendicolare del segmento $BC$ incontra le linee $AB$ e $AC$ rispettivamente nei punti $D$ e $E$, e $M$ sia il punto medio del segmento $DE$. Il circoncircolo del triangolo $ABC$ e la linea $AM$ si incontrano in un punto $P$ diverso da $A$, e i tre punti $M,A,P$ si trovano in questo ordine. Prove che $\angle BPE=90^{\circ }$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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n making product of floors plus 24^[k/2] a perfect square*

Let $n$ be a positive integer, and let $k$ be the nonnegative integer satisfying $2^k\le n<2^{k+1}$. Find all $n$ such that $\left[\frac{n}{2^0}\right]\left[\frac{n}{2^1}\right]\cdots \left[\frac{n}{2^k}\right]+2\cdot 4^{\left[\frac{k}{2}\right]}$ is a perfect square. Here, for a real number $r$, $[r]$ denotes the greatest integer not exceeding $r$, and for a positive integer $a$ we set $a^0=1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*n prodotto di pavimenti più 2 *4^[k/2] un quadrato perfetto *

$n$ sia un intero positivo e $k$ sia l’intero non negativo che soddisfa $2^k\le n<2^{k+1}$. Trova tutti $n$ in modo che $\left[\frac{n}{2^0}\right]\left[\frac{n}{2^1}\right]\cdots \left[\frac{n}{2^k}\right]+2\cdot 4^{\left[\frac{k}{2}\right]}$ sia un quadrato perfetto. Qui, per un numero reale $r$, $[r]$ indica il più grande intero non superiore a $r$, e per un intero positivo $a$ imponiamo $a^0=1$.

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