Japan Junior Mathematical Olympiad 2022 — Yosen (Preliminary)

Count distinct 2x2 letter-grid fillings up to rotation/reflection

Each cell of a $2\times 2$ grid is filled with exactly one letter chosen from $A$, $B$, $C$. Two cells sharing an edge must contain different letters. A cell may receive a letter even if adjacent cells use the same letter in other positions; the only constraint is that each pair of edge-adjacent cells has different letters. Two fillings are considered the same if one can be obtained from the other by a rotation or a reflection of the grid. Find the number of distinct fillings.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Contare i riempimenti di griglia a lettere distinte 2x2 fino alla rotazione/riflessione

Ogni cella di una griglia $2\times 2$ è riempita con esattamente una lettera scelta da $A$, $B$, $C$. Due celle che condividono un bordo devono contenere lettere diverse. Una cellula può ricevere una lettera anche se le cellule adiacenti usano la stessa lettera in altre posizioni; l’unico vincolo è che ogni coppia di cellule adiacenti ai bordi ha lettere diverse. Due riempimenti sono considerati uguali se uno può essere ottenuto dall’altro mediante rotazione o riflessione della griglia. Trova il numero di riempimenti distinti.

Risposta: 18 src_jjmo20yq_yosen__Q01

Count prime pairs (p,q) with p<=q such that pq divides 15(p-1)(q-1)

Let $(p,q)$ be a pair of prime numbers with $p\le q$ such that $pq$ divides $15(p-1)(q-1)$. Find the number of all such pairs $(p,q)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 31 Fonte: apri PDF

*Contare le coppie prime (p,q) con p<=q in modo tale che pq divida 15(p-1)(q-1) *

$(p,q)$ sia una coppia di numeri primi con $p\le q$ tale che $pq$ divida $15(p-1)(q-1)$. Trova il numero di tutte le coppie $(p,q)$.

Risposta: 31 src_jjmo20yq_yosen__Q02

Pentagon inscribed in circle with rectangle BCDE and AB=EA=6; find radius

A pentagon $ABCDE$ is inscribed in a circle. The quadrilateral $BCDE$ is a rectangle satisfying $BC=DE-1$, and $AB=EA=6$. Find the radius of the circle. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 9 Fonte: apri PDF

Pentagono inciso in cerchio con rettangolo BCDE e AB=EA=6; trovare raggio

Un pentagono $ABCDE$ è inserito in un cerchio. Il quadrilaterale $BCDE$ è un rettangolo che soddisfa $BC=DE-1$ e $AB=EA=6$. Trova il raggio del cerchio. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 9 src_jjmo20yq_yosen__Q03

Triangle AB=5,BC=7,CA=6 with cevian points; circumcircle of BDF tangent to EF

In triangle $ABC$ with $AB=5$, $BC=7$, $CA=6$, let $D$, $E$, $F$ be points on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively (not coinciding with any vertex). The quadrilateral $ABDE$ has a circumscribed circle, and the quadrilateral $BCEF$ also has a circumscribed circle. The circumscribed circle of triangle $BDF$ is tangent to line segment $EF$. Find the length $EF$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\frac{75}{37}$ Fonte: apri PDF

Triangolo AB=5,BC=7,CA=6 con punti ceviani; circoncircolo di BDF tangente a EF

Nel triangolo $ABC$ con $AB=5$, $BC=7$, $CA=6$, $D$, $E$, $F$ siano punti sui lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente (non coincidendo con nessun vertice). Il quadrilaterale $ABDE$ ha un cerchio circoscritto e il quadrilaterale $BCEF$ ha anche un cerchio circoscritto. Il cerchio circonscritto del triangolo $BDF$ è tangente al segmento di linea $EF$. Trova la lunghezza $EF$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \dfrac{75}{37} src_jjmo20yq_yosen__Q04

45x45 grid, 2022 cells black; max n guaranteeing all-black n×n subgrid

There is a $45\times 45$ grid of unit squares. Exactly $2022$ cells are to be colored black. Find the maximum integer $n$ such that, no matter how the $2022$ cells are chosen, there always exists an $n\times n$ contiguous subgrid (formed by $n$ consecutive rows and $n$ consecutive columns of the original grid) in which every cell is colored black.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 22 Fonte: apri PDF

45x45 griglia, 2022 cellule nere; massimo n garantendo tutto nero n×n sottogriglia

C’è una griglia $45\times 45$ di quadrati unitari. Esattamente le cellule $2022$ devono essere colorate di nero. Trova il numero intero massimo $n$ in modo tale che, indipendentemente dal modo in cui le celle $2022$ sono scelte, esista sempre una sottogrida contiguale $n\times n$ (formata da righe consecutive $n$ e colonne consecutive $n$ della griglia originale) in cui ogni cella è colorata in nero.

Risposta: 22 src_jjmo20yq_yosen__Q05

Three cascading right triangles form pentagon of area 23; find FD

Right triangles $ABC$, $ADE$, $EFG$ have right angles at $C$, $E$, $G$ respectively, and are arranged so that they share vertices as shown in the figure below (the figure is a 3D-looking pyramid with $B$, $D$ and $F$, $G$ labeled). The pentagon $ABDGE$ has area $23$, and $AB=8$. Given that $FD>DG$, find the length $FD$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $2+\sqrt{2}$ Fonte: apri PDF

Tre triangoli rettangolari in cascata formano il pentagono dell’area 23; trovare FD

I triangoli rettangolari $ABC$, $ADE$, $EFG$ hanno angoli rettangolari rispettivamente $C$, $E$ e $G$, e sono disposti in modo da condividere vertici come mostrato nella figura seguente (la figura è una piramide in 3D con l’etichetta $B$, $D$ e $F$, $G$). Il pentagono $ABDGE$ ha superficie $23$ e $AB=8$. Dato che $FD>DG$, trovare la lunghezza $FD$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 2+\sqrt{2} src_jjmo20yq_yosen__Q06

Count 5-tuples of non-negative integers summing to 2022 with none divisible by 3

Find the number of 5-tuples $(a,b,c,d,e)$ of non-negative integers satisfying $a+b+c+d+e=2022$ such that none of $a,b,c,d,e$ is divisible by $3$. (The integer $0$ is not considered divisible by $3$ for the purposes of this problem.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 500149500 Fonte: apri PDF

Contare 5 volte dei numeri interi non negativi che sommano fino al 2022 senza che nessuno sia divisibile per 3

Trova il numero di 5 tupli $(a,b,c,d,e)$ di enti interi non negativi che soddisfano $a+b+c+d+e=2022$ in modo tale che nessuno di $a,b,c,d,e$ sia divisibile da $3$. (Il numero intero $0$ non è considerato divisibile da $3$ ai fini di questo problema.)

Risposta: 500149500 src_jjmo20yq_yosen__Q07

Assign 1-8 to 20 blocks of holey 3x3x3 cube so each outer face shows all 8 values

Consider a solid made of $20$ unit cubes ($1\times 1\times 1$ blocks), obtained from a $3\times 3\times 3$ cube by removing the center block and all six blocks sharing a face with it (so $7$ blocks are removed). Assign one integer from $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ to each of the $20$ remaining blocks, using each integer exactly once. For each of the six outer faces of the solid, the $8$ blocks that are visible on that face must receive all $8$ different integers. Two assignments are considered different if they differ on at least one block. Find the number of valid assignments.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 80640 Fonte: apri PDF

Assegna da 1-8 a 20 blocchi di cubo 3x3x3 così che ogni faccia esterna mostri tutti e 8 i valori

Considerate un solido costituito da cubi unitari $20$ (blocchi $1\times 1\times 1$), ottenuto da un cubo $3\times 3\times 3$ rimuovendo il blocco centrale e tutti e sei i blocchi che condividono una faccia con esso (così vengono rimossi i blocchi $7$). Assegna un numero intero da $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ a ciascuno dei blocchi $20$ rimanenti, utilizzando ogni numero intero esattamente una volta. Per ciascuna delle sei facce esterne del solido, i blocchi $8$ visibili su tale faccia devono ricevere tutti i diversi enti $8$. Due incarichi sono considerati diversi se differiscono in almeno un blocco. Trova il numero di incarichi validi.

Risposta: 80640 src_jjmo20yq_yosen__Q08

Count n<=2022 admitting a multiple with exactly one 0-digit, all others 2

Find the number of positive integers $n\le 2022$ for which there exists a positive integer that is divisible by $n$, has exactly one digit equal to $0$, and has all other digits equal to $2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1700 Fonte: apri PDF

Conta n<=2022 che ammette un multiplo con esattamente una cifra a 0, tutti gli altri 2

Trova il numero di interi positivi $n\le 2022$ per i quali esiste un intero positivo divisibile da $n$, ha esattamente una cifra uguale a $0$ e tutte le altre cifre uguali a $2$.

Risposta: 1700 src_jjmo20yq_yosen__Q09

Ring of 103 squares; A moves piece by c or d, B by a or b; count (a,b,c,d)

Let $a,b,c,d$ be integers satisfying $0<a<b<c<d<163$. Consider $103$ squares arranged in a ring (circle), with one square labeled $S$ and the square one step counterclockwise from $S$ labeled $G$. A token starts on $S$. Players $A$ and $B$ alternate turns, starting with $A$:\n- On $A$‘s turn: move the token clockwise by $c$ or $d$ squares.\n- On $B$‘s turn: move the token clockwise by $a$ or $b$ squares.\nPlayer $B$‘s goal is to have the token land on $G$ immediately after one of $B$‘s moves. Find the number of 4-tuples $(a,b,c,d)$ for which player $B$ can always achieve the goal in finitely many moves, regardless of player $A$‘s choices.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Congruenze, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 515100 Fonte: apri PDF

*Anello di 103 quadrati; A si muove pezzo per c o d, B per a o b; conteggio (a,b,c,d) *

$a,b,c,d$ siano numeri interi che soddisfino $0<a<b<c<d<163$. Considerate i quadrati $103$ disposti in un anello (circolo), con un quadrato etichettato $S$ e il quadrato passo uno in senso contrario all’orologio da $S$ etichettato $G$. Un token inizia a $S$. I giocatori $A$ e $B$ si alternano, a partire da $A$:\n- Al turno di $A$: spostare il token in senso orario di $c$ o $d$ quadrati.\n- Al turno di $B$: spostare il token in senso orario di $a$ o $b$ quadrati.\nL’obiettivo del giocatore $B$ è quello di avere il token a terra su $G$ immediatamente dopo uno dei movimenti di $B$. Trova il numero di 4 doppi $(a,b,c,d)$ per i quali il giocatore $B$ può sempre raggiungere l’obiettivo in finite mosse, indipendentemente dalle scelte del giocatore $A$.

Risposta: 515100 src_jjmo20yq_yosen__Q10

Isosceles triangle AB=AC with interior Brocard-like point P; find BC

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$, and let $P$ be an interior point satisfying $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. If the areas of triangles $PAB$ and $PCA$ are $4$ and $1$ respectively, find the length $BC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{26}$ Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles AB=AC con punto interno simile a Brocard P; trovare BC

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$, e lasciate che $P$ sia un punto interno soddisfacente $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Se le superfici dei triangoli $PAB$ e $PCA$ sono rispettivamente $4$ e $1$, si trova la lunghezza $BC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \sqrt{26} src_jjmo20yq_yosen__Q11

3-floor, 40-room-per-floor corridor building; max robots with no two meeting on corridors

A building has $3$ floors, each containing $40$ rooms arranged along a corridor, as shown in the figure (the rooms are represented by dots $\bullet$ and the corridors connecting adjacent rooms by line segments). In each room, at most one robot may be placed. Each placed robot is assigned exactly one corridor (edge) connected to its room. All robots then simultaneously move along their assigned corridor to the room at the other end, and simultaneously stop. During this movement, no two robots may occupy the same position at the same time (i.e., they must not meet), and the rooms where the robots arrive must all be distinct. Let $N$ be the maximum number of robots that can be placed satisfying these conditions. When $N$ robots are placed, find the number of valid ways to place the $N$ robots and assign each one a corridor. (Robots are considered indistinguishable.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12544 Fonte: apri PDF

edificio di corridoio a 3 piani, con 40 camere al piano; al massimo robot senza due incontri sui corridoi

Un edificio ha i piani $3$, ognuno dei quali contiene stanze $40$ disposte lungo un corridoio, come mostrato nella figura (le stanze sono rappresentate da punti $\bullet$ e dai corridoi che collegano le stanze adiacenti per segmenti di linea). In ogni stanza può essere posto al massimo un robot. A ogni robot inserito viene assegnato esattamente un corridoio (orlo) collegato alla sua stanza. Tutti i robot si muovono contemporaneamente lungo il corridoio assegnato alla stanza all’altra estremità e si fermano contemporaneamente. Durante questo movimento, nessun robot può occupare la stessa posizione contemporaneamente (cioè non devono incontrarsi), e le stanze in cui arrivano i robot devono essere tutte distinte. $N$ è il numero massimo di robot che possono essere posizionati in conformità di queste condizioni. Quando i robot $N$ sono posizionati, trovare il numero di modi validi per posizionare i robot $N$ e assegnare a ciascuno un corridoio. (I robot sono considerati indistinguibili.)

Risposta: 12544 src_jjmo20yq_yosen__Q12