Japan Junior Mathematical Olympiad 2023 — Honsen (Final)

Prove triangle ABC similar to triangle DEF formed by circle intersections

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<BC$ and $AC<BC$. Let $\Gamma$ be its circumcircle. Let ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ be circles centered at $A$, $B$, $C$ with radii $AB$, $BC$, $CA$ respectively. Let $D$, $E$, $F$ be the intersection points of ${\Gamma }_1\cap {\Gamma }_2$, ${\Gamma }_2\cap {\Gamma }_3$, ${\Gamma }_3\cap {\Gamma }_1$ respectively that are different from $A$. Prove that triangle $ABC$ and triangle $DEF$ are similar. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove triangolo ABC simile al triangolo DEF formato da intersezioni di cerchio

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB<BC$ e $AC<BC$. Il $\Gamma$ deve essere il suo circoncircolo. Che ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ siano cerchi incentrati rispettivamente su $A$, $B$, $C$ con radii $AB$, $BC$ e $CA$. $D$, $E$, $F$ siano rispettivamente i punti di intersezione di ${\Gamma }_1\cap {\Gamma }_2$, ${\Gamma }_2\cap {\Gamma }_3$ e ${\Gamma }_3\cap {\Gamma }_1$ che sono diversi da $A$. Prova che il triangolo $ABC$ e il triangolo $DEF$ sono simili. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Find maximum k distinct values of xy/(x+y)^2 from 2023 reals

On a blackboard, 2023 positive real numbers are written. For every pair $x,y$ chosen from these numbers, compute $\frac{xy}{(x+y{)}^2}$. The number of distinct values obtained is exactly $k$. Find the maximum possible value of $k$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca i valori distinti massimi di k di xy/(x+y)^2 dal valore reale del 2023

Su una lavagna sono scritti i numeri reali positivi del 2023. Per ogni coppia $x,y$ scelta da questi numeri, calcolare $\frac{xy}{(x+y{)}^2}$. Il numero di valori distinti ottenuti è esattamente $k$. Trova il valore massimo possibile di $k$.

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Find max guaranteed total B can achieve in n×n grid game

Let $n$ be a positive integer. First, player $A$ fills each cell of an $n\times n$ grid with distinct integers from $1$ to $n^2$, one per cell. Next, player $B$ circles some cells (possibly none) such that no two circled cells share an edge. For each circled cell, $B$ writes the sum of all integers in the cells adjacent to it (sharing an edge). Let $M$ be the maximum value such that, no matter how $A$ fills in the numbers, player $B$ can always make the total sum of all written values at least $M$. Find $M$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo totale garantito che B può raggiungere in n×n gioco a griglia

$n$ sia un numero intero positivo. In primo luogo, il lettore $A$ riempie ogni cella di una griglia $n\times n$ con numeri interi distinti da $1$ a $n^2$, uno per cella. Successivamente, il giocatore $B$ circonda alcune celle (possibilmente nessuna) in modo tale che non due celle circolate condividano un bordo. Per ciascuna cella circolare, $B$ scrive la somma di tutti gli enti nelle celle adiacenti (condividendo un bordo). Che $M$ sia il valore massimo in modo tale che, indipendentemente dal modo in cui $A$ riempie i numeri, il giocatore $B$ possa sempre fare la somma totale di tutti i valori scritti almeno $M$. Trova $M$.

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Find all positive rational triples making a+c/b, b+a/c, c+b/a integers

Find all triples of positive rational numbers $(a,b,c)$ such that $a+\frac{c}{b},b+\frac{a}{c},c+\frac{b}{a}$ are all integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli razionali positivi che fanno a+c/b, b+a/c, c+b/a interi

Trova tutti i triples dei numeri razionali positivi $(a,b,c)$ in modo tale che $a+\frac{c}{b},b+\frac{a}{c},c+\frac{b}{a}$ siano tutti interi.

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Prove circumcircle of triangle PRN is tangent to BC

In triangle $ABC$, let $\Gamma$ be the circumcircle, and let $M$ be the midpoint of side $AC$. Let $P$ and $Q$ be two distinct points on segment $BC$ that are symmetric with respect to the midpoint of $BC$. Let $N$ be the midpoint of segment $PQ$ (so $N$ is the midpoint of $BC$). The line $AN$ meets $\Gamma$ again at a point $R$ (different from $A$). Prove that the circumcircle of triangle $PRN$ is tangent to line $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che il circoncircolo del triangolo PRN è tangente a BC

Nel triangolo $ABC$, $\Gamma$ sia il circoncircolo e $M$ il punto medio del lato $AC$. I punti $P$ e $Q$ siano due punti distinti del segmento $BC$ che siano simmetrici rispetto al punto medio di $BC$. $N$ sia il punto medio del segmento $PQ$ (così $N$ è il punto medio di $BC$). La linea $AN$ incontra di nuovo $\Gamma$ in un punto $R$ (diverso da $A$). Prova che il circoncircolo del triangolo $PRN$ è tangente alla linea $BC$.

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