Japan Junior Mathematical Olympiad 2023 — Yosen (Preliminary)

Smallest integer with 6 divisors and digit sum 7

A positive integer that has exactly $6$ positive divisors and whose digit sum equals $7$ is called a “this year’s number”. For example, $2023$ is a this year’s number. Find the smallest this year’s number.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 52 Fonte: apri PDF

Il numero intero più piccolo con 6 divisori e somma a 7 cifre

Un intero positivo che ha esattamente $6$ divisori positivi e la cui somma digitali è uguale $7$ è chiamato “numero di quest’anno”. Ad esempio, $2023$ è un numero di quest’anno. Trova il numero più piccolo di quest’anno.

Risposta: 52 src_jjmo21yqa_yosen__Q01

Square inscribed in a right trapezoid

There is a trapezoid $ABCD$ with $AD\parallel BC$, $\angle A=\angle B=90^{\circ }$, $AB=8$, $BC=11$, and $DA=6$. Points $P,Q,R,S$ lie on sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively, and the quadrilateral $PQRS$ is a square. Find the value of $\frac{CR}{RD}$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 3/2 Fonte: apri PDF

Quadrato inserito in un trapezoide destro

C’è un trapezoide $ABCD$ con $AD\parallel BC$, $\angle A=\angle B=90^{\circ }$, $AB=8$, $BC=11$ e $DA=6$. I punti $P,Q,R,S$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$, e il quadrilaterale $PQRS$ è quadrato. Trova il valore di $\frac{CR}{RD}$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 3/2 src_jjmo21yqa_yosen__Q02

Row of 7 cells with A,B,C, adjacent pairs of each

Consider ways to write one of the letters A, B, C in each of $7$ cells arranged in a single row. How many such writings are there in which there exist two adjacent cells both containing A, two adjacent cells both containing B, and two adjacent cells both containing C? (Writings that coincide under rotation or reflection are still counted as distinct.)

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 54 Fonte: apri PDF

Rua di 7 cellule con A, B, C, coppie adiacenti di ciascuna

Considerate come scrivere una delle lettere A, B, C in ciascuna delle celle $7$ disposte in una singola riga. Quanti sono questi scritti in cui esistono due cellule adiacenti entrambe contenenti A, due cellule adiacenti entrambe contenenti B e due cellule adiacenti entrambe contenenti C? (Le scritture che coincidono sotto rotazione o riflessione sono ancora contate come distinte.)

Risposta: 54 src_jjmo21yqa_yosen__Q03

Max primes among pairwise sums of 5 distinct integers

There are $5$ distinct positive integers $a,b,c,d,e$. Among the following $10$ expressions $a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e,$ find the maximum possible number whose value is a prime.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Maxime prime tra somme in coppia di 5 interi distinti

Ci sono $5$ diversi integri positivi $a,b,c,d,e$. Tra le seguenti espressioni $10$ $a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e,$ trovi il numero massimo possibile il cui valore è un primo.

Risposta: 6 src_jjmo21yqa_yosen__Q04

Chord through triangle parallel to BC; find DE

There is a triangle $ABC$ with $AB=8$ and $AC=9$. A line parallel to line $BC$ meets the circumcircle of triangle $ABC$ at two distinct points $P,Q$, and meets sides $AB$, $AC$ at points $D$, $E$ respectively. The four points $P,D,E,Q$ lie in this order. When $PD=2$ and $EQ=3$, find the length of segment $DE$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 17/5 Fonte: apri PDF

Cord attraverso un triangolo parallelo a BC; trovare DE

C’è un triangolo $ABC$ con $AB=8$ e $AC=9$. Una linea parallela alla linea $BC$ incontra il circoncircolo del triangolo $ABC$ in due punti distinti $P,Q$ e incontra i lati $AB$, $AC$ rispettivamente nei punti $D$ e $E$. I quattro punti $P,D,E,Q$ si trovano in questo ordine. Quando $PD=2$ e $EQ=3$, trovare la lunghezza del segmento $DE$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 17/5 src_jjmo21yqa_yosen__Q05

Count triples a<b<c with decreasing quadratic

How many triples $(a,b,c)$ of positive integers with $a<b<c$ satisfy $a^2-20005a>b^2-20005b>c^2-20005c?$

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 333433340000 Fonte: apri PDF

Conteggio triplica a< b< c con diminuzione quadrata

Quanti triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi con $a<b<c$ soddisfano $a^2-20005a>b^2-20005b>c^2-20005c?$

Risposta: 333433340000 src_jjmo21yqa_yosen__Q06

Max countries outscoring country J’s team

In a competition with $100$ countries including country J, $3$ players from each country (a total of $300$ players) take a test, and all $300$ obtain distinct non-negative integer scores. Country J’s three players obtain the scores ranked $1$st, $10$th, and $100$th highest among all $300$ players. Find the maximum possible number of countries, among the remaining $99$, that satisfy the following condition: the sum of that country’s three players’ scores is greater than the sum of country J’s three players’ scores.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 33 Fonte: apri PDF

Maximi paesi che superano il team del paese J

In una competizione con i paesi $100$ compresi i paesi J, i giocatori $3$ di ciascun paese (un totale di giocatori $300$) fanno un test e tutti $300$ ottengono punteggi di numeri interi distinti non negativi. I tre giocatori di Country J ottengono i punteggi classificati $1$st, $10$th e $100$th più alti tra tutti i giocatori $300$. Trovare il numero massimo possibile di paesi, tra i restanti $99$, che soddisfino la seguente condizione: la somma dei punteggi dei tre giocatori di quel paese è superiore alla somma dei punteggi dei tre giocatori del paese J.

Risposta: 33 src_jjmo21yqa_yosen__Q07

Max area of cyclic quadrilateral with given data

A cyclic quadrilateral $ABCD$ satisfies $AB=1$, $CD=3$, and $AC:BD=1:2$. Find the maximum possible area of such a quadrilateral $ABCD$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8/3 Fonte: apri PDF

L’area massima del quadrilatero ciclico con dati dati

Un quadrilaterale ciclico $ABCD$ soddisfa $AB=1$, $CD=3$ e $AC:BD=1:2$. Trovare la superficie massima possibile di tale quadrilaterale $ABCD$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 8/3 src_jjmo21yqa_yosen__Q08

Two-coloring triangles in 7x7 grid with constraints

Consider a $7\times 7$ grid of cells. For two adjacent cells, the edge they share is called a “good edge”. When each cell is divided into four parts by its two diagonals, the whole figure is divided into $196$ congruent right isosceles triangles; each such triangle is called a “small triangle”. In how many ways can each of these $196$ small triangles be colored either red or blue so that both of the following conditions hold? \begin{itemize} \item For every cell, among the four small triangles contained in it, the number colored red is exactly $1$ or $3$. \item For every good edge, the two small triangles having it as a side are colored the same color. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Invarianti, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2^{63}$ Fonte: apri PDF

Triangoli a due colori in griglia 7x7 con restrizioni

Considera una griglia di celle $7\times 7$. Per due celle adiacenti, il bordo che condividono è chiamato “buono bordo”. Quando ogni cella è divisa in quattro parti dai suoi due diagonali, l’intera figura è divisa in triangoli congruenti di uguali dimensioni a destra $196$; ciascun triangolo di questo tipo è chiamato “piccolo triangolo”. In quanti modi ciascuno di questi piccoli triangoli $196$ può essere colorato in rosso o blu in modo che siano valide entrambe le seguenti condizioni? Per ogni cella, tra i quattro piccoli triangoli contenuti, il numero di colore rosso è esattamente $1$ o $3$. \item Per ogni buon bordo, i due piccoli triangoli che lo hanno come lato sono di colore lo stesso colore. # Finire #

Risposta: 2^{63} src_jjmo21yqa_yosen__Q09

Coprime-number game, count winning n for A

Let $n$ be an integer with $3\le n\le 2023$. Players A and B play the following game. First A says $n$, then B and A alternately perform the following operation: letting $x$ be the number the opponent has just said, say a positive integer less than $x$ that is coprime to $x$. The game ends the first time a divisor of $n$ that is less than $n$ is said; the person who said it loses and the other wins. Find the number of values of $n$ for which A can always win regardless of how B plays.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Congruenze, Backward Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 173 Fonte: apri PDF

*Gioco con numero di coprime, conteggio vincente n per A *

$n$ sia un numero intero con $3\le n\le 2023$. I giocatori A e B giocano il seguente gioco. Prima A dice $n$, poi B e A eseguono alternativamente la seguente operazione: lasciando $x$ essere il numero che l’avversario ha appena detto, diciamo un intero positivo inferiore a $x$ che è coprime a $x$. Il gioco termina la prima volta che viene detto un divisore di $n$ che è inferiore a $n$; la persona che ha detto che perde e l’altro vince. Trova il numero di valori di $n$ per i quali A può sempre vincere indipendentemente dal modo in cui B gioca.

Risposta: 173 src_jjmo21yqa_yosen__Q10

Max friendships with half-same-city constraint

Each student of JJMO Middle School lives in exactly one of two cities, city A or city B, and there are $2023$ students in total. For any two distinct students, either they are friends with each other or they are not (exactly one of these holds), and no student is a friend of themselves. Furthermore, for every student $S$ of JJMO Middle School the following holds: if $d$ denotes the number of students who are friends of $S$, then exactly $\left[\frac{d}{2}\right]$ of them live in the same city as $S$. Find the maximum possible number of pairs of students who are friends with each other. (Two pairs differing only in order are regarded as the same. Here $[r]$ denotes the greatest integer not exceeding $r$; for example $[3.14]=3$, $[5]=5$.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2043736 Fonte: apri PDF

Maximi amicizie con restrizioni di metà città

Ogni studente della JJMO Middle School vive esattamente in una delle due città, città A o città B, e ci sono $2023$ studenti in totale. Per due studenti distinti, o sono amici l’uno dell’altro o no (esattamente uno di questi si applica), e nessun studente è amico di se stesso. Inoltre, per ogni studente $S$ della JJMO Middle School vale quanto segue: se $d$ indica il numero di studenti che sono amici di $S$, allora esattamente $\left[\frac{d}{2}\right]$ di essi vivono nella stessa città di $S$. Trova il massimo numero possibile di coppie di studenti che sono amici l’uno dell’altro. (Due coppie che differiscono solo nell’ordine sono considerate uguali. Qui $[r]$ indica il numero intero più grande non superiore a $r$; ad esempio $[3.14]=3$, $[5]=5$.)

Risposta: 2043736 src_jjmo21yqa_yosen__Q11

Cyclic BDEC config, find AM

In triangle $ABC$, points $D$ and $E$ lie on sides $AB$ and $AC$ respectively (not at the endpoints), and the four points $D,B,C,E$ lie on a common circle. Let $M$ be the midpoint of side $BC$, and let $P$ be the intersection of line $BE$ and line $CD$. Given that $DE=6$, $BC=10$, $AP=9$, and $PM=4$, find the length of segment $AM$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{137}$ Fonte: apri PDF

Configurazione BDEC ciclica, trovare AM

Nel triangolo $ABC$, i punti $D$ e $E$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$ (non nei punti finali), mentre i quattro punti $D,B,C,E$ si trovano su un cerchio comune. Il $M$ deve essere il punto medio del lato $BC$ e il $P$ deve essere l’intersezione della linea $BE$ e della linea $CD$. Poiché $DE=6$, $BC=10$, $AP=9$ e $PM=4$, si trova la lunghezza del segmento $AM$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \sqrt{137} src_jjmo21yqa_yosen__Q12