Japan Junior Mathematical Olympiad 2024 — Honsen (Final)

Inequality for positive reals satisfying a ratio condition

Let $a,b,c,d$ be positive reals satisfying $\frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}$. Prove that $(a+b)(c+d)\ge (a+c)(b+d).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza per i reali positivi che soddisfano una condizione di rapporto

Che $a,b,c,d$ siano valori reali positivi che soddisfino $\frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}$. Provare che $(a+b)(c+d)\ge (a+c)(b+d).$

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Reflection of midpoint over line DN lies inside triangle, AM’ perp BC

In triangle $ABC$ with $AB<AC$, let $M$ be the midpoint of side $BC$. Let $N$ be the midpoint of the arc $BC$ not containing $A$ on the circumcircle of triangle $ABC$. Let $D$ be the intersection of the angle bisector of $\angle BAC$ with side $BC$. Let $M^{\prime }$ be the reflection of $M$ over line $DN$. Prove that $M^{\prime }$ lies in the interior of triangle $ABC$ (not on its boundary), and that line $A{M}^{\prime }$ is perpendicular to line $BC$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il riflesso del punto medio sulla linea DN si trova all’interno del triangolo, AM’ perp BC

Nel triangolo $ABC$ con $AB<AC$, $M$ sia il punto medio del lato $BC$. Il $N$ deve essere il punto medio dell’arco $BC$ non contenente $A$ sul circoncircolo del triangolo $ABC$. Il $D$ deve essere l’intersezione del bisettore angolare di $\angle BAC$ con il lato $BC$. Il $M^{\prime }$ deve essere il riflesso di $M$ sulla linea $DN$. Prova che $M^{\prime }$ si trova all’interno del triangolo $ABC$ (non al suo confine) e che la linea $A{M}^{\prime }$ è perpendicolare alla linea $BC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Find all positive integers n,x,y,z and prime p satisfying a product equation

Find all positive integers $n$, $x$, $y$, $z$ and primes $p$ such that $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)=p^n.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n,x,y,z e prime p che soddisfano un’equazione di prodotto

Trova tutti gli integri positivi $n$, $x$, $y$, $z$ e i numeri primi $p$ in modo tale che $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)=p^n.$

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Maximum number of white cells in 2024×2024 colored grid

A $2024\times 2024$ grid is given. Each cell is colored red, blue, or white, with every cell receiving exactly one color. The coloring satisfies the following condition: each red cell has exactly $1$ red cell among its (at most $4$) neighbors sharing a side; and for every $2\times 2$ square of cells, the number of blue cells it contains is either $1$ or $2$. Find the maximum possible number of white cells.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Invarianti, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero massimo di globuli bianchi nel 2024×2024 griglia colorata

È data una griglia $2024\times 2024$. Ogni cellula è di colore rosso, blu o bianco, e ogni cellula riceve esattamente un colore. La colorazione soddisfa la seguente condizione: ogni cellula rossa ha esattamente $1$ cellula rossa tra i suoi vicini (al massimo $4$) che condividono un lato; e per ogni quadrato di cellule $2\times 2$, il numero di cellule blu che contiene è $1$ o $2$. Trova il massimo numero possibile di cellule bianche.

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Similarity of triangles B’C’D’ and BCD in acute triangle

In acute triangle $ABC$, let $D$ be the point on side $BC$ satisfying $AB:AC=DB:BC$. Let $B^{\prime }$ be the reflection of $B$ over line $AC$, let $C^{\prime }$ be the reflection of $C$ over line $AB$, and let $D^{\prime }$ be the reflection of $D$ over the perpendicular bisector of $BC$. Prove that triangle $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ is similar to triangle $BCD$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ssimilità dei triangoli B’C’D’ e BCD nel triangolo acuto

Nel triangolo acuto $ABC$, $D$ deve essere il punto laterale $BC$ che soddisfa $AB:AC=DB:BC$. Che $B^{\prime }$ sia il riflesso di $B$ sulla linea $AC$, che $C^{\prime }$ sia il riflesso di $C$ sulla linea $AB$, e che $D^{\prime }$ sia il riflesso di $D$ sul bisettore perpendicolare di $BC$. Prova che il triangolo $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ è simile al triangolo $BCD$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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