Japan Junior Mathematical Olympiad 2024 — Yosen (Preliminary)

Smallest 5-digit number whose digit sum is 8 and that becomes a perfect square when 1 is added

A positive integer is called a number of this year if its digit sum equals $8$ and adding $1$ to it yields a perfect square. For example, $2024$ is such a number. Find the smallest 5-digit number of this year.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10403 Fonte: apri PDF

Il più piccolo numero a 5 cifre la cui somma di cifre è 8 e che diventa un quadrato perfetto quando si aggiunge 1

Un intero positivo è chiamato un numero di quest’anno se la somma digitali è uguale a $8$ e aggiungendo $1$ a esso si ottiene un quadrato perfetto. Ad esempio, $2024$ è un tale numero. Trova il numero a 5 cifre più piccolo di quest’anno.

Risposta: 10403 src_jjmo22yqa_yosen__Q01

Find length BC using two concentric circles, secant and tangent

As shown in the figure below, there are two circles ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ with center $O$. Let $A$ and $B$ be two distinct points on ${\Gamma }_1$. The segment $AB$ meets ${\Gamma }_2$ at two distinct points; let $C$ be the one closer to $B$. There is also a point $D$ on ${\Gamma }_2$ such that the line $AD$ is tangent to ${\Gamma }_2$. Given that $AC=9$ and $AD=6$, find the length $BC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Ricerca la lunghezza BC utilizzando due cerchi concentrici, secanti e tangenti

Come mostrato nella figura seguente, ci sono due cerchi ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ con centro $O$. I punti $A$ e $B$ siano due punti distinti su ${\Gamma }_1$. Il segmento $AB$ incontra ${\Gamma }_2$ in due punti distinti; $C$ sia quello più vicino a $B$. C’è anche un punto $D$ su ${\Gamma }_2$ tale che la riga $AD$ sia tangente a ${\Gamma }_2$. Dato che $AC=9$ e $AD=6$, trovare la lunghezza $BC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 4 src_jjmo22yqa_yosen__Q02

Count arrangements of 2024 black and white stones with a sign-flip majority condition

A total of $2024$ stones — white and black — are arranged in a row. It turned out that the number of black stones that have a white stone to their right is greater than the number of black stones that have a white stone to their left. Find the number of such arrangements.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2^{2022}$ Fonte: apri PDF

Arrangimenti di conteggio di 2024 pietre nere e bianche con condizione di maggioranza di segno-flip

Un totale di pietre $2024$ bianche e nere sono disposte in fila. Si è scoperto che il numero di pietre nere che hanno una pietra bianca a destra è maggiore del numero di pietre nere che hanno una pietra bianca a sinistra. Trova il numero di tali accordi.

Risposta: 2^{2022} src_jjmo22yqa_yosen__Q03

Find the smallest positive rational with finite decimal expansion whose integer and fractional parts have product 42

A positive rational number $x$ can be expressed as a terminating decimal, and the product of its integer part and its fractional part equals $42$. Find the smallest such $x$.

(A terminating decimal is a decimal with finitely many non-zero digits after the decimal point, such as $2.024$ or $5$. For a positive real number $r$, the integer part of $r$ is the largest integer not exceeding $r$, and the fractional part of $r$ is $r$ minus its integer part. For example, the integer part of $2.024$ is $2$, the fractional part is $0.024$; the integer part of $5$ is $5$, the fractional part is $0$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 48.875 Fonte: apri PDF

Trova il più piccolo razionale positivo con espansione decimale finita il cui numero intero e parti frazionarie hanno il prodotto 42

Un numero razionale positivo $x$ può essere espresso come decimale terminale, e il prodotto della sua parte integrale e della sua parte frazionaria equivale a $42$. Trovare il più piccolo $x$.

(Un terminante decimale è un decimale con finitamente molte cifre non zero dopo il punto decimale, come $2.024$ o $5$. Per un numero reale positivo $r$, la parte integrale **** di $r$ è il numero intero più grande non superiore a $r$, e la parte frazionaria **** di $r$ è $r$ meno la sua parte integrale. Ad esempio, la parte integrale di $2.024$ è $2$, la parte frazionaria è $0.024$; la parte integrale di $5$ è $5$, la parte frazionaria è $0$.)

Risposta: 48.875 src_jjmo22yqa_yosen__Q04

Area of quadrilateral ABCD with BC=1, angle C=90 deg, AC=AD, triangles ABD and BCD similar

There is a quadrilateral $ABCD$ satisfying $BC=1$, $\angle BCD=90^{\circ }$, and $AC=AD$. Given that triangles $ABD$ and $BCD$ are similar, find the area of quadrilateral $ABCD$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{5\sqrt{2}}{4}$ Fonte: apri PDF

Area di ABCD quadrilaterale con BC=1, angolo C=90 deg, AC=AD, triangolo ABD e BCD simile

C’è un quadrilaterale $ABCD$ che soddisfa $BC=1$, $\angle BCD=90^{\circ }$ e $AC=AD$. Dato che i triangoli $ABD$ e $BCD$ sono simili, si trova l’area del quadrilaterale $ABCD$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \dfrac{5\sqrt{2}}{4} src_jjmo22yqa_yosen__Q05

Count 6-tuples of positive integers with gcd 1 such that six specified ratios are all integers

Find the number of 6-tuples $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ of positive integers with $\gcd (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=1$ such that all six quantities $\frac{a_1}{a_2},\frac{2a_2}{a_3},\frac{3a_3}{a_4},\frac{4a_4}{a_5},\frac{5a_5}{a_6},\frac{6a_6}{a_1}$ are integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15876 Fonte: apri PDF

Contare 6 doppi di numeri interi positivi con gcd 1 in modo tale che sei rapporti specificati siano tutti numeri interi

Trova il numero di 6 doppi $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ di numeri interi positivi con $\gcd (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=1$ in modo tale che tutte le sei quantità $\frac{a_1}{a_2},\frac{2a_2}{a_3},\frac{3a_3}{a_4},\frac{4a_4}{a_5},\frac{5a_5}{a_6},\frac{6a_6}{a_1}$ siano numeri interi.

Risposta: 15876 src_jjmo22yqa_yosen__Q06

Count integers n in [10^98, 10^100) such that the erasing operation leaves exactly 3 numbers

Let $n$ be an integer with $10^{98}\le n<10^{100}$. Write the integers from $1$ to $n$ on a blackboard, then repeatedly perform the following operation until at most $3$ numbers remain on the blackboard:

Simultaneously erase all numbers on the blackboard that are at a perfect-square position from the smallest (i.e., erase the 1st smallest, the 4th smallest, the 9th smallest, etc.).

Find the number of values of $n$ for which exactly $3$ numbers remain on the blackboard when the operation terminates.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $18\cdot 10^{49}$ Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi n in [10^98, 10^100) in modo tale che l’operazione di cancellazione lascia esattamente 3 numeri

$n$ sia un numero intero con $10^{98}\le n<10^{100}$. Scrivere i numeri interi da $1$ a $n$ su una lavagna, quindi eseguire ripetutamente la seguente operazione fino a quando non rimangono al massimo i numeri $3$ sulla lavagna:

Sbarazzare contemporaneamente tutti i numeri della scheda che si trovano in posizione a quadrato perfetto dalla più piccola (cioè cancellare la 1a più piccola, la 4a più piccola, la 9a più piccola, ecc.).

Trovare il numero di valori di $n$ per i quali i numeri $3$ rimangono sulla lavagna quando l’operazione termina.

Risposta: 18 \cdot 10^{49} src_jjmo22yqa_yosen__Q07

Count ways to fill 2024x2024 grid with J,M,O under two conditions

Find the number of ways to fill each cell of a $2024\times 2024$ grid with one of the letters J, M, O such that both of the following conditions hold:

• Every $2\times 2$ subgrid contains exactly $2$ copies of J, $1$ copy of M, and $1$ copy of O.
• Every cell in an odd-numbered row (counting from the top) and an odd-numbered column (counting from the left) contains the letter J.

(Arrangements that coincide after rotation or reflection are counted as distinct.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $3\cdot 2^{1013}-6$ Fonte: apri PDF

Contare i modi per riempire la griglia 2024x2024 con J,M,O in due condizioni

Trovare il numero di modi per riempire ogni cella di una griglia $2024\times 2024$ con una delle lettere J, M, O in modo tale che soddisfino entrambe le seguenti condizioni:

• Ogni $2\times 2$ sottogrid contiene esattamente $2$ copie di J, $1$ copia di M e $1$ copia di O. - Ogni cella di una riga a numeri odd (conteggiata dall’alto) e di una colonna a numeri odd (conteggiata dalla sinistra) contiene la lettera J.

(I dispositivi che coincidono dopo la rotazione o la riflessione sono considerati come distinti.)

Risposta: 3 \cdot 2^{1013} - 6 src_jjmo22yqa_yosen__Q08

Count 2024-step Hamiltonian tours on 2024 cells with restricted moves returning to cell 1

There are $2024$ cells labelled $1,2,\dots ,2024$, and a piece that starts on cell $1$. For an integer $k$ with $1\le k\le 2024$, when the piece is on cell $k$, any of the following moves may be performed:

1. Move the piece to cell $k-1$.
2. Move the piece to cell $k+1$.
3. Move the piece to cell $k-2$ (only allowed when $k$ is even).
4. Move the piece to cell $k+2$ (only allowed when $k$ is odd).

Find the number of sequences of exactly $2024$ moves such that the piece visits every cell other than cell $1$ exactly once and returns to cell $1$ at the end, without visiting cell $1$ in between.

(Here cells $0$ and $2025$ represent cells $2024$ and $1$, respectively.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Grafi, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2026 Fonte: apri PDF

Conta i tour hamiltoniani in fase 2024 sulle celle 2024 con movimenti limitati che ritornano alla cellula 1

Ci sono $2024$ celle etichettate $1,2,\dots ,2024$, e un pezzo che inizia sulla cella $1$. Per un numero intero $k$ con $1\le k\le 2024$, quando il pezzo è in cella $k$, può essere eseguita una delle seguenti mosse:

1. Traslocare il pezzo nella cella $k-1$. 2. Trasferire il pezzo nella cella $k+1$. 3. Trasferire il pezzo nella cella $k-2$ (autorizzato solo quando $k$ è pari). 4. Trasferire il pezzo nella cella $k+2$ (autorizzato solo quando $k$ è pari).

Trova il numero di sequenze di movimenti $2024$ esattamente in modo che il pezzo visita ogni cella diversa dalla cella $1$ esattamente una volta e ritorni alla cella $1$ alla fine, senza visitare la cella $1$ in mezzo.

(Qui le celle $0$ e $2025$ rappresentano le celle $2024$ e $1$, rispettivamente.)

Risposta: 2026 src_jjmo22yqa_yosen__Q09

Find AB given triangle ABC with BC=16, D,E on BC, DF parallel AC, EF parallel AB, F on circumcircle, circumcircle of DEF tangent to AB

In triangle $ABC$ with $BC=16$, points $D$ and $E$ lie on side $BC$ with $BD=1$ and $EC=7$. Let $F$ be the intersection of the line through $D$ parallel to $AC$ and the line through $E$ parallel to $AB$. It is given that $F$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$. When the circumcircle of triangle $DEF$ is tangent to side $AB$, find the length $AB$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $3+3\sqrt{15}$ Fonte: apri PDF

Ricerca AB in un triangolo dato ABC con BC=16, D,E su BC, DF parallelo AC, EF parallelo AB, F su circolo, circolo di DEF tangente a AB

Nel triangolo $ABC$ con $BC=16$, i punti $D$ e $E$ si trovano sul lato $BC$ con $BD=1$ e $EC=7$. Il $F$ è l’intersezione della linea attraverso $D$ parallela a $AC$ e la linea attraverso $E$ parallela a $AB$. È dato che $F$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$. Quando il circoncircolo del triangolo $DEF$ è tangente a lato $AB$, si trova la lunghezza $AB$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 3 + 3\sqrt{15} src_jjmo22yqa_yosen__Q10

Count achievable sign-sequence tuples (s1,…,s100) from permutations of 1..100

Let $a_1,a_2,\dots ,a_{100}$ be a permutation of $1,2,\dots ,100$. For each integer $n$ with $1\le n\le 100$, define the integer $s_n$ by $s_n=\{\begin{array}{ll}1& (a_n>n),\\ 0& (a_n=n),\\ -1& (a_n<n).\end{array}$ Find the number of distinct tuples $(s_1,s_2,\dots ,s_{100})$ that can arise from some permutation of $1,2,\dots ,100$.

(A permutation of $1,2,\dots ,100$ is a sequence of length $100$ in which each of the integers $1$ through $100$ appears exactly once.)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{3^{100}-197}{4}$ Fonte: apri PDF

Contare i tuppi di sequenza di segno raggiungibili (s1,…,s100) da permutazioni di 1..100

$a_1,a_2,\dots ,a_{100}$ sia una permutazione di $1,2,\dots ,100$. Per ogni numero intero $n$ con $1\le n\le 100$, definire il numero intero $s_n$ da $s_n=\{\begin{array}{ll}1& (a_n>n),\\ 0& (a_n=n),\\ -1& (a_n<n).\end{array}$ Trovare il numero di tupli distinti $(s_1,s_2,\dots ,s_{100})$ che possono derivare da qualche permutazione di $1,2,\dots ,100$.

(Una permutazione di $1,2,\dots ,100$ è una sequenza di lunghezza $100$ in cui ciascuno dei numeri interi $1$ attraverso $100$ appare esattamente una volta.)

Risposta: \dfrac{3^{100} - 197}{4} src_jjmo22yqa_yosen__Q11

Find maximum N such that 2N positive integers a_i, x_i satisfy four divisibility and concatenation conditions

Let $N$ be a positive integer. Find the maximum value of $N$ such that there exist $2N$ positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_N,x_1,x_2,\dots ,x_N$ satisfying all of the following conditions:

• Each $x_i$ is a divisor of $9\cdot 10^{100}$.
• $x_i\ne x_{i+1}$ for every integer $i$ with $1\le i\le N-1$.
• For every integer $i$ with $1\le i\le N-1$, $a_{i+1}$ is obtained by appending $x_i$ to the end of $a_i$.
• For every integer $i$ with $1\le i\le N$, $a_i$ is a multiple of $x_i$.

(For positive integers $s$ and $t$, appending $t$ to the end of $s$ means writing the decimal representation of $s$ followed immediately by the decimal representation of $t$. For example, appending $22$ to $2024$ gives $202422$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 805 Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo N tale che 2N interi positivi a_i, x_i soddisfino quattro condizioni di divisibilità e concatenamento

$N$ sia un numero intero positivo. Trova il valore massimo di $N$ in modo tale che esistano $2N$ interi positivi $a_1,a_2,\dots ,a_N,x_1,x_2,\dots ,x_N$ che soddisfano tutte le seguenti condizioni:

• Ogni $x_i$ è un divisore di $9\cdot 10^{100}$. - $x_i\ne x_{i+1}$ per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le N-1$. - Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le N-1$, $a_{i+1}$ si ottiene aggiungendo $x_i$ alla fine di $a_i$. - Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le N$, $a_i$ è un multiple di $x_i$.

(Per i numeri interi positivi $s$ e $t$, aggiungere $t$ alla fine di $s$ significa scrivere la rappresentazione decimale di $s$ immediatamente seguita dalla rappresentazione decimale di $t$. Ad esempio, aggiungendo $22$ a $2024$ si ottiene $202422$.)

Risposta: 805 src_jjmo22yqa_yosen__Q12