Japan Junior Mathematical Olympiad 2025 — Honsen (Final)

Min good points on one vertical line via midpoint operations

In the $xy$-plane, a point whose $x$-coordinate and $y$-coordinate are both integers between $1$ and $2025$ inclusive is called a \emph{good point}. An \emph{operation} consists of choosing any two already-found good points $A$ and $B$ (the same point may be chosen twice) and, if their midpoint $M$ is also a good point, adding $M$ to the collection of found good points.

We start with two chosen good points and apply a sequence of operations. Among all the good points found (including the initial two), consider those that lie on a single vertical line $x=c$ for some fixed integer $c$. Find the minimum possible value of this count, over all choices of the initial two good points and all finite sequences of valid operations, given that at least one operation has been successfully applied.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimi punti buoni su una linea verticale tramite operazioni di punto medio

Nel piano $xy$, un punto il cui $x$-coordinato e $y$-coordinato sono entrambe intere tra $1$ e $2025$ inclusivo è chiamato \emph{good point}. L’operazione \emph{} consiste nel scegliere due punti buoni già trovati $A$ e $B$ (lo stesso punto può essere scelto due volte) e, se il loro punto medio $M$ è anche un punto buono, aggiungere $M$ alla raccolta dei punti buoni trovati.

Iniziamo con due punti positivi scelti e applichiamo una sequenza di operazioni. Tra tutti i buoni punti trovati (compresi i primi due), considerate quelli che si trovano su una singola linea verticale $x=c$ per un numero intero fisso $c$. Trovare il valore minimo possibile di questo conteggio, su tutte le scelte dei due punti buoni iniziali e su tutte le sequenze finite di operazioni valide, dato che almeno una operazione è stata applicata con successo.

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Existence of real labeling of regular 2025-gon with product condition

Determine whether there exists a way to write one real number at each vertex of a regular $2025$-gon satisfying all of the following conditions:

\begin{itemize} \item There exists at least one vertex at which a positive real number is written. \item For any two adjacent vertices, the product of the numbers written at those two vertices is at most $1$. \end{itemize}

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esistenza di etichettatura reale di 2025-gon regolare con condizione del prodotto

Determinare se esiste un modo per scrivere un numero reale ad ogni vertice di un normale $2025$-gon che soddisfa tutte le seguenti condizioni:

\begin{itemize} \item C’è almeno un vertice in cui è scritto un numero reale positivo. \item Per due vertici adiacenti, il prodotto dei numeri scritti a quei due vertici è al massimo $1$. # Finire #

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Four incircle/excircle tangent points on AB and CD are concyclic

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral and let $E$ be the intersection of its diagonals $AC$ and $BD$. For triangle $ABE$, let $P$ be the point where the incircle touches side $AB$, and let $P^{\prime }$ be the point where the excircle opposite to vertex $A$ (the $A$-excircle) touches side $AB$. For triangle $CDE$, let $Q$ be the point where the incircle touches side $CD$, and let $Q^{\prime }$ be the point where the excircle opposite to vertex $C$ (the $C$-excircle) touches side $CD$. Prove that $P$, $Q$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ are concyclic. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro punti tangenti incircolo/escircolo su AB e CD sono conciclici

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convexo e che $E$ sia l’intersezione delle sue diagonali $AC$ e $BD$. Per il triangolo $ABE$, $P$ deve essere il punto in cui l’incircolo tocca il lato $AB$, e $P^{\prime }$ deve essere il punto in cui l’escircolo opposto al vertice $A$ (l’escircolo $A$) tocca il lato $AB$. Per il triangolo $CDE$, $Q$ deve essere il punto in cui l’incircolo tocca il lato $CD$, e $Q^{\prime }$ deve essere il punto in cui l’escircolo opposto al vertice $C$ (il $C$-escircolo) tocca il lato $CD$. Provare che $P$, $Q$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ sono conciclici. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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At most n-3 terms among a_1,…,a_n are p-th powers given divisibility

Let $p$ be a prime, $n$ be an integer with $n\ge 4$, and $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be positive integers. Suppose that each of the $n-1$ partial sums $a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+\cdots +a_n$ is divisible by $p$. Prove that among $a_1,a_2,\dots ,a_n$, at most $n-3$ of them are \emph{$p$-th powers}.

Here, a \emph{$p$-th power} is a positive integer that can be expressed as $m^p$ for some positive integer $m$. Also, $p^0=1$ is regarded as a $p$-th power (i.e., $1=1^p$).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Al massimo n-3 termini tra a_1,…,a_n sono potenze p-th date divisibilità

Che $p$ sia un primo, $n$ sia un intero con $n\ge 4$, e $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sia un intero positivo. Supponiamo che ciascuna delle somme parziali $n-1$ $a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+\cdots +a_n$ sia divisibile da $p$. Prova che tra $a_1,a_2,\dots ,a_n$, al massimo $n-3$ di essi sono \emph{$p$-th potenze}.

Qui, un \emph{$p$-th potenza} è un intero positivo che può essere espresso come $m^p$ per qualche intero positivo $m$. Inoltre, $p^0=1$ è considerato una potenza $p$-th (cioè $1=1^p$).

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At least m² ordered triples (i,s,t) with s≤t across cyclic sheets

Let $m$ be a positive integer and $n$ be an integer with $n\ge 2$. There are $n$ sheets of paper labeled $1,2,\dots ,n$; on each sheet, $m$ distinct real numbers are written. (The same real number may appear on different sheets.) Prove that there are at least $m^2$ triples $(i,s,t)$, where $i$ is an integer and $s$, $t$ are real numbers, satisfying all of the following conditions:

\begin{itemize} \item $1\le i\le n$. \item $s$ is written on sheet $i$, and $t$ is written on sheet $i+1$. \item $s\le t$. \end{itemize}

Here, sheet $n+1$ refers to sheet $1$.

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Doppio conteggio, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Almeno m2 di triplice ordinate (i,s,t) con s≤t attraverso fogli ciclici

Che $m$ sia un intero positivo e $n$ un intero con $n\ge 2$. Ci sono fogli di carta $n$ etichettati $1,2,\dots ,n$; su ogni foglio sono scritti $m$ numeri reali distinti. (Lo stesso numero reale può apparire su diversi fogli.) Prove che ci sono almeno $m^2$ triples $(i,s,t)$, dove $i$ è un numero intero e $s$, $t$ sono numeri reali, che soddisfano tutte le seguenti condizioni:

\inbegin{itemize} \item $1\le i\le n$. L’articolo $s$ è scritto sulla scheda $i$ e $t$ è scritto sulla scheda $i+1$. Il punto $s\le t$. # Finire #

Qui, la scheda $n+1$ si riferisce alla scheda $1$.

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