Japan Junior Mathematical Olympiad 2025 — Yosen (Preliminary)

Largest GCD of two positive integers summing to 2025

Find the largest possible value of $\gcd (m,n)$, where $m$ and $n$ are positive integers satisfying $m+n=2025$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 675 Fonte: apri PDF

GCD più piccolo di due numeri interi positivi sommati fino al 2025

Trova il valore più grande possibile di $\gcd (m,n)$, dove $m$ e $n$ sono interi positivi che soddisfano $m+n=2025$.

Risposta: 675 src_jjmo23yqa_yosen__Q01

Assign distinct positive integers to 8 points on 6 lines so each line sums to 10

As shown in the figure, there are 6 lines and 8 points (marked with $\bullet$). Assign a distinct positive integer to each point (not necessarily consecutive). Count the number of ways to do this such that, for each of the 6 lines, the sum of the integers at the 3 points lying on that line equals $10$. Assignments that differ by a rotation or reflection of the figure are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 36 Fonte: apri PDF

Allegare numeri interi positivi distinti a 8 punti su 6 linee in modo che ogni linea somma a 10

Come mostrato nella figura, ci sono 6 righe e 8 punti (marcati con $\bullet$). Assegna a ciascun punto un numero intero positivo distinto (non necessariamente consecutivo). Conteggi il numero di modi per farlo in modo tale che, per ciascuna delle 6 righe, la somma dei numeri interi nei 3 punti che si trovano su quella linea sia uguale a $10$. Le assegnazioni che si differenziano per rotazione o riflessione della figura sono conteggiate come diverse.

Risposta: 36 src_jjmo23yqa_yosen__Q02

Find length BD in triangle with circumcircle, cevian, and parallel line

Triangle $ABC$ has $AC=5$. Point $D$ lies on side $BC$ (excluding the endpoints) with $CD=4$. Let $E$ be the second intersection of line $AD$ with the circumcircle of triangle $ABC$ (i.e., the intersection other than $A$). Let $F$ be the intersection of the line through $D$ parallel to $BE$ with side $AB$. Given $DE=3$ and $DF=2$, find the length of segment $BD$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{18}{7}$ Fonte: apri PDF

Ricerca la lunghezza BD in triangolo con circoncircolo, ceviano e linea parallela

Il triangolo $ABC$ ha $AC=5$. Il punto $D$ si trova sul lato $BC$ (esclusi i punti terminali) con $CD=4$. $E$ sia la seconda intersezione della linea $AD$ con il circoncircolo del triangolo $ABC$ (cioè l’intersezione diversa da $A$). $F$ sia l’intersezione della linea attraverso $D$ parallela a $BE$ con lato $AB$. Se si dà $DE=3$ e $DF=2$, si trova la lunghezza del segmento $BD$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{18}{7} src_jjmo23yqa_yosen__Q03

Count ways to tile a figure of 48 unit triangles with unit regular hexagons

Consider a figure composed of $48$ equilateral triangles of side length $1$, arranged as shown (forming a larger regular hexagonal shape). Count the number of ways to tile this figure with non-overlapping regular hexagons of side length $1$ (each composed of 6 unit triangles), so that every unit triangle is covered by exactly one hexagon. Tilings that differ by a rotation or reflection of the entire figure are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Contare i modi per tessere una figura di 48 triangoli unitari con esagoni regolari unitari

Considera una figura composta da triangoli equilaterali $48$ di lunghezza laterale $1$, disposti come indicato (formando una forma esagonale regolare più grande). Conteggi il numero di modi di tessitura di questa figura con esagoni regolari non sovrapposti di lunghezza laterale $1$ (ciascuno composto da 6 triangoli unitari), in modo che ogni triangolo unitario sia coperto da esattamente un esagono. Le filatiche che differiscono per rotazione o riflessione dell’intera figura sono contate come diverse.

Risposta: 24 src_jjmo23yqa_yosen__Q04

Count non-empty boxes remaining after 50^25 split operations starting from one box

There is one box containing $50^{25}$ stones. The following operation is repeated: choose a non-empty box, remove its stones one by one, placing each stone into a newly created (empty) box; then discard the (now empty) original box. After performing this operation $50^{25}$ times in total, how many non-empty boxes remain?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $10\cdot 50^{12}-1$ Fonte: apri PDF

Contare le caselle non vuote rimanenti dopo operazioni di divisione 50^25 a partire da una casella

C’è una scatola contenente pietre $50^{25}$. Si ripete la seguente operazione: scegliere una scatola non vuota, rimuovere le sue pietre una per una, inserendo ogni pietra in una scatola (vuota) appena creata; quindi scartare la scatola originale (ora vuota). Dopo aver eseguito l’operazione $50^{25}$ in totale, quante scatole non vuote rimangono?

Risposta: 10 \cdot 50^{12} - 1 src_jjmo23yqa_yosen__Q05

Count integer triples satisfying two equations with bound 80000

Find the number of triples of integers $(a,b,c)$ with $1\le a,b,c\le 80000$ satisfying both $a+b^2+c^3=b(c+1{)}^2$ and $2b=a+c$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 80197 Fonte: apri PDF

Contare triplici interi che soddisfano due equazioni con il limite 80000

Trova il numero di triples di numeri interi $(a,b,c)$ con $1\le a,b,c\le 80000$ che soddisfano sia $a+b^2+c^3=b(c+1{)}^2$ che $2b=a+c$.

Risposta: 80197 src_jjmo23yqa_yosen__Q06

Find BD/DC given four triangle sub-areas formed by two cevians

In triangle $ABC$, points $D$, $E$, $F$ lie on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively. The cevians $BE$ and $CF$ intersect at point $P$. The areas of triangles $AFD$, $FPD$, $PED$, $EAD$ are $10$, $7$, $5$, $13$ respectively. Find $\frac{BD}{DC}$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{5}{6}$ Fonte: apri PDF

Ricerca BD/DC dati quattro sub-area triangolari formate da due ceviani

Nel triangolo $ABC$, i punti $D$, $E$, $F$ si trovano rispettivamente sui lati $BC$, $CA$ e $AB$. I cevi $BE$ e $CF$ si intersecano al punto $P$. Le superfici dei triangoli $AFD$, $FPD$, $PED$, $EAD$ sono rispettivamente $10$, $7$, $5$ e $13$. Trova $\frac{BD}{DC}$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{5}{6} src_jjmo23yqa_yosen__Q07

Smallest n so that average of any n-3 cards is integer given average of any n-4 is integer

Let $n$ be an integer greater than $1$. One integer is written on each of $n$ cards. Suppose the following condition holds: no matter which $n-4$ cards are chosen (from the $n$ cards), the average of the integers on those cards is an integer. Find the smallest value of $n$ for which it is also necessarily true that: no matter which $n-3$ cards are chosen, the average of the integers on those cards is also an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 36 Fonte: apri PDF

Il più piccolo n in modo che la media di tutte le carte n-3 sia un intero dato la media di qualsiasi n-4 è un intero

Se $n$ è un numero intero maggiore di $1$. Un numero intero è scritto su ciascuna delle carte $n$. Supponiamo che si verifichi la seguente condizione: indipendentemente dalle carte $n-4$ scelte (dalle carte $n$), la media dei numeri interi su tali carte è un numero intero. Trova il valore più piccolo di $n$ per il quale è necessariamente vero anche che: non importa quali schede $n-3$ siano scelte, la media dei numeri interi su tali schede è anche un intero.

Risposta: 36 src_jjmo23yqa_yosen__Q08

Find CD in cyclic quadrilateral with diagonal intersection and collinear points

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with $AB=7$ and $BC=6$. Let $E$ be the intersection of diagonals $AC$ and $BD$. Line $BE$ meets the circle again at point $F$. The three points $A$, $D$, $F$ are collinear, and $AF=11$, $DF=7$. Find the length of segment $CD$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{63}{8}$ Fonte: apri PDF

Ricerca il CD in quadrilaterali ciclici con intersezione diagonale e punti collineari

Il quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio con $AB=7$ e $BC=6$. Il $E$ deve essere l’intersezione delle diagonali $AC$ e $BD$. La linea $BE$ incontra nuovamente il cerchio al punto $F$. I tre punti $A$, $D$, $F$ sono collineari e $AF=11$, $DF=7$. Trova la lunghezza del segmento $CD$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{63}{8} src_jjmo23yqa_yosen__Q09

Count valid 30x30 permutation matrices satisfying row-window and connectivity conditions

Consider a $30\times 30$ grid in which exactly $30$ cells are colored black, with exactly one black cell in each row and each column. The left-upper corner cell is black and is labeled $W_1$. Reading the black cells from left to right and top to bottom, label them $W_1,W_2,\dots ,W_{30}$. The following conditions must all be satisfied:

• $W_1,W_2,\dots ,W_{30}$ are pairwise distinct integers between $1$ and some bound.
• For every $1\le i\le n$, the integers $W_i$ and $W_{i+1}$ (indices mod $30$, so $W_{31}=W_1$) share a common side on the grid.
• For each $1\le n\le 30$, let $C_n$ denote the center of the cell labeled $W_n$; then $C_1,C_2,\dots ,C_{30}$ lie in the interior of the boundary formed by the black cells of the $n$-th column (or row).

Count the number of ways to color such a configuration. Colorings that are related by rotation or reflection are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1136 Fonte: apri PDF

Contare le matrici di permutazione 30x30 valide che soddisfano le condizioni di finestra di riga e di connettività

Considera una griglia $30\times 30$ in cui esattamente $30$ le celle sono di colore nero, con esattamente una cella nera in ogni riga e ogni colonna. La cella dell’angolo superiore sinistro è di colore nero ed è etichettata $W_1$. Leggere le celle nere da sinistra a destra e da cima a fondo, etichettarle $W_1,W_2,\dots ,W_{30}$. Tutte le seguenti condizioni devono essere soddisfatte:

• $W_1,W_2,\dots ,W_{30}$ sono integri separati in coppia tra $1$ e alcuni legati. - Per ogni $1\le i\le n$, i numeri interi $W_i$ e $W_{i+1}$ (indici mod $30$, quindi $W_{31}=W_1$) condividono un lato comune sulla griglia. - Per ciascuna $1\le n\le 30$, $C_n$ indica il centro della cella etichettata $W_n$; quindi $C_1,C_2,\dots ,C_{30}$ si trova all’interno del confine formato dalle celle nere della colonna (o riga) di $n$.

Contare il numero di modi per colorare una configurazione del genere. I colori collegati a rotazione o riflessione sono considerati diversi.

Risposta: 1136 src_jjmo23yqa_yosen__Q10

Minimum total score for student A under given dominance conditions over student B

Let $a_1,a_2,\dots ,a_7$ be a permutation of the integers $1,2,\dots ,7$. Students A and B each attempt 7 problems numbered $1$ through $7$; for problem $i$, a student earns $a_i$ points if they solve it and $0$ points otherwise. Suppose the following two conditions hold for every subset of problems that A and B might each solve:

• If A solves more problems than B, then A’s total score is greater than B’s total score.
• If A and B solve the same number of problems, and among the problems solved by exactly one of them the one with the largest index is solved by A, then A’s total score is greater than B’s total score.

Find the minimum possible value of A’s total score (i.e., ${\sum }_{i\in S}{a}_i$ where $S$ is the set of problems A solves).

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 62 Fonte: apri PDF

*Minimum di punteggio complessivo per lo studente A in condizioni di dominio su lo studente B *

$a_1,a_2,\dots ,a_7$ sia una permutazione dei numeri interi $1,2,\dots ,7$. Gli studenti A e B provano ciascuno 7 problemi numerati $1$ attraverso $7$; per il problema $i$, uno studente guadagna $a_i$ punti se lo risolvono e $0$ punti altrimenti. Supponiamo che le seguenti due condizioni si applichino a ogni sottoinsieme di problemi che A e B potrebbero risolvere:

• Se A risolve più problemi di B, allora il punteggio totale di A è maggiore del punteggio totale di B. - Se A e B risolvono lo stesso numero di problemi, e tra i problemi risolti da esattamente uno di essi quello con il più grande indice è risolto da A, allora il punteggio totale di A è maggiore del punteggio totale di B.

Trova il valore minimo possibile del punteggio totale di A (cioè ${\sum }_{i\in S}{a}_i$ dove $S$ è l’insieme dei problemi risolti da A).

Risposta: 62 src_jjmo23yqa_yosen__Q11

Count favorable tournament outcomes for 1003 players at round table, find ratio mod fraction

$1003$ shogi players sit around a round table. In the tournament, each player plays against every other player exactly once, except that one designated player plays no matches (i.e., $1002$ players each play $1002$ matches and $1$ player plays $0$ matches). A group of $3$ or more players is called a good group if the players can be arranged in a circle such that each player beats the next one clockwise, and no player beats the one two positions away clockwise.

For each integer $m\ge 3$, let $f(m)$ be the minimum number of wins that is sufficient to guarantee that there exists a good group of exactly size $m$ among the players. Let $N$ be the total number of tournament result assignments (i.e., for each match, choosing a winner) such that $f(m)\le m$ for every $m\ge 3$. Find the value of $\frac{N}{1003!}(\mathrm{mod}\frac{1}{5^{197}})$, where $1003!=1\times 2\times \cdots \times 1003$.

Topic: Combinatoria, Probabilità Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{1206}{5^{197}}$ Fonte: apri PDF

Contare i risultati favorevoli del torneo per 1003 giocatori a tavola rotonda, trovare il rapporto frazione mod

I giocatori di shogi si siedono intorno a una tavola rotonda. Nel torneo, ogni giocatore gioca contro ogni altro giocatore esattamente una volta, tranne che un giocatore designato non gioca nessuna partita (cioè, $1002$ giocatori ogni giocare $1002$ partite e $1$ giocatore gioca $0$ partite). Un gruppo di $3$ o più giocatori è chiamato un buono gruppo se i giocatori possono essere organizzati in un cerchio in modo tale che ogni giocatore batte il prossimo in senso orario, e nessun giocatore batte il unico due posizioni in senso orario.

Per ogni numero intero $m\ge 3$, $f(m)$ deve essere il numero minimo di vittorie sufficiente a garantire che tra i giocatori esista un buon gruppo di dimensioni esatte $m$. $N$ sia il numero totale di assegnazioni dei risultati del torneo (cioè, per ogni partita, scegliendo un vincitore) in modo tale che $f(m)\le m$ per ogni $m\ge 3$. Trova il valore di $\frac{N}{1003!}(\mathrm{mod}\frac{1}{5^{197}})$, dove $1003!=1\times 2\times \cdots \times 1003$.

Risposta: \frac{1206}{5^{197}} src_jjmo23yqa_yosen__Q12