Japan Junior Mathematical Olympiad 2026 — Honsen (Final)

Grid integers with adjacency and per-row-pair conditions, find max n

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. We write one integer in each cell of a grid with $n$ rows and $2026$ columns. The writing is done so that, for any two cells adjacent left-right, the integer written in the right cell either equals the integer written in the left cell or is exactly $1$ greater. Moreover, for any two distinct integers $i,j$ with $1\le i,j\le n$, the following two conditions are both satisfied:

• There exists an integer $k$ with $1\le k\le 2026$ such that the integer written in the cell of row $i$ (from the top) and column $k$ (from the left) differs from the integer written in the cell of row $j$ (from the top) and column $k$ (from the left).
• There exists an integer $k$ with $1\le k\le 2026$ such that the integer written in the cell of row $i$ (from the top) and column $k$ (from the left) equals the integer written in the cell of row $j$ (from the top) and column $k$ (from the left).

Find the largest value that $n$ can take.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Integri di griglia con condizioni di adiacenza e di coppia a fila, trovare max n

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Scriviamo un intero in ogni cella di una griglia con le righe $n$ e le colonne $2026$. La scrittura è fatta in modo che, per due celle adiacenti sinistra-destra, il numero intero scritto nella cella destra sia uguale al numero intero scritto nella cella sinistra o sia esattamente $1$ maggiore. Inoltre, per due integri distinti $i,j$ e $1\le i,j\le n$, sono soddisfatte entrambe le seguenti due condizioni:

• Esiste un numero intero $k$ con $1\le k\le 2026$ tale che l’intero scritto nella cella della riga $i$ (da sopra) e della colonna $k$ (da sinistra) differisca dal numero intero scritto nella cella della riga $j$ (da sopra) e dalla colonna $k$ (da sinistra). - Esiste un numero intero $k$ con $1\le k\le 2026$ tale che l’intero scritto nella cella della riga $i$ (da sopra) e la colonna $k$ (da sinistra) sia uguale all’intero scritto nella cella della riga $j$ (da sopra) e alla colonna $k$ (da sinistra).

Trova il valore più grande che $n$ può assumere.

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Angle bisector, perpendicular bisector of AD, four concyclic points

In triangle $ABC$, let $D$ be the intersection of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$, and let $P,Q$ be the intersections of the perpendicular bisector of segment $AD$ with sides $AB,AC$ respectively. Take a point $X$ on segment $AP$ and a point $Y$ on segment $AQ$ such that $\angle BQP=\angle XQP$ and $\angle CPQ=\angle YPQ$. Prove that the four points $B,C,Y,X$ lie on a single circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettore angolare, bisettore perpendicolare di AD, quattro punti conciclici

Nel triangolo $ABC$, $D$ sia l’intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$, e $P,Q$ sia l’intersezione del bisettore perpendicolare del segmento $AD$ con i lati $AB,AC$ rispettivamente. Prendere un punto $X$ sul segmento $AP$ e un punto $Y$ sul segmento $AQ$ in modo tale che $\angle BQP=\angle XQP$ e $\angle CPQ=\angle YPQ$. Provare che i quattro punti $B,C,Y,X$ si trovano su un singolo cerchio.

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Arrange all divisors so consecutive sums are powers of two

Let $n$ be a positive integer having at least $3$ positive divisors, and let $k$ denote the number of positive divisors of $n$. Find all possible values of $n$ for which there exists a sequence $d_1,d_2,\dots ,d_k$ in which all of the positive divisors of $n$ appear exactly once each, satisfying the following condition:

For every integer $i$ with $1\le i\le k-1$, the sum $d_i+d_{i+1}$ is a power of two.

Here, a power of two means an integer expressible in the form $2^m$ using a non-negative integer $m$. Also, $2^0=1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Arrangere tutti i divisori in modo che le somme consecutive siano potenze di due

$n$ sia un intero positivo con almeno $3$ divisori positivi e $k$ indichi il numero di divisori positivi di $n$. Trovare tutti i valori possibili di $n$ per i quali esiste una sequenza $d_1,d_2,\dots ,d_k$ in cui tutti i divisori positivi di $n$ appaiono esattamente una volta ciascuno, soddisfacendo la seguente condizione:

Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le k-1$, la somma $d_i+d_{i+1}$ è una potenza di due.

Qui, una potenza di due significa un intero espressibile nella forma $2^m$ utilizzando un intero non negativo $m$. Inoltre, $2^0=1$.

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Minimize ratio of max to min under cyclic product constraint

Positive real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_{2026}$ satisfy $(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots (x_{2025}+x_{2026})(x_{2026}+x_1)=3^{2026}{x}_1{x}_2\cdots x_{2026}.$ Let $M$ be the maximum value among $x_1,x_2,\dots ,x_{2026}$, and let $m$ be the minimum value. Find the smallest possible value of $\frac{M}{m}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare il rapporto max/min sotto restrizione di prodotto ciclica

I numeri reali positivi $x_1,x_2,\dots ,x_{2026}$ soddisfano $(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots (x_{2025}+x_{2026})(x_{2026}+x_1)=3^{2026}{x}_1{x}_2\cdots x_{2026}.$ $M$ sia il valore massimo tra $x_1,x_2,\dots ,x_{2026}$, e $m$ sia il valore minimo. Trova il minimo valore possibile di $\frac{M}{m}$.

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Card placement uniquely determined by position constraints, minimize m

Let $m$ be a positive integer. There are $2026$ cells arranged in a single row, and there are $2026$ cards in total, each bearing one of the integers from $1$ to $2026$ (one card for each integer). There are also tuples $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),\dots ,(a_m,b_m,c_m)$ such that for every integer $i$ with $1\le i\le m$, the inequalities $b_i\le a_i$ and $c_i\le a_i$ hold. We consider performing operations of choosing a cell on which no card has been placed and placing a card on it, carried out in the order: the card written $1$, then the card written $2$, …, up to the card written $2026$. It turned out that the number of placements (arrangements) for which the following holds was exactly $1$:

For every integer $i$ with $1\le i\le m$, immediately after placing the card written $a_i$, among the $a_i$ cards then lined up in the cells, the integer written on the $b_i$-th one counting from the left is $c_i$.

Find the smallest value that $m$ can take.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Posizione della carta determinata in modo unico da vincoli di posizione, riducendo al minimo m

$m$ sia un numero intero positivo. Ci sono celle $2026$ disposte in una singola riga, e ci sono carte $2026$ in totale, ciascuna con uno degli entieri da $1$ a $2026$ (una carta per ogni intero). Esistono anche tupli $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),\dots ,(a_m,b_m,c_m)$ tali che per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le m$, le disuguaglianze $b_i\le a_i$ e $c_i\le a_i$ si mantengano. Consideramo di eseguire operazioni di selezione di una cella su cui non è stata posta alcuna carta e di inserimento di una carta su di essa, eseguite nell’ordine: la carta scritta $1$, poi la carta scritta $2$, …, fino alla carta scritta $2026$. Si è rivelato che il numero di posizionamenti (arrangiamenti) per i quali le seguenti posizioni sono state esattamente $1$:

Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le m$, immediatamente dopo aver inserito la carta scritta $a_i$, tra le carte $a_i$ poi allineate nelle celle, il numero intero scritto sulla $b_i$-a contare da sinistra è $c_i$.

Trova il valore più piccolo che $m$ può assumere.

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