Japan Junior Mathematical Olympiad 2026 — Yosen (Preliminary)

Triangle ABC overlapping rectangle DFGE; find area of ABC

Triangle $ABC$ and rectangle $DFGE$ are positioned as shown in the figure, with $BC=8$ and $FG=4$. Segment $DE$ intersects segments $AF$ and $AG$ at points $P$ and $Q$ respectively. The areas of triangles $DFP$ and $EGQ$ are $1$ and $2$, respectively. Find the area of triangle $ABC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Triangolo ABC rettangolo sovrapposto DFGE; trovare superficie di ABC

Il triangolo $ABC$ e il rettangolo $DFGE$ sono posizionati come mostrato nella figura, con $BC=8$ e $FG=4$. Il segmento $DE$ interseca i segmenti $AF$ e $AG$ rispettivamente ai punti $P$ e $Q$. Le superfici dei triangoli $DFP$ e $EGQ$ sono rispettivamente $1$ e $2$. Trova l’area del triangolo $ABC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 24 src_jjmo24yqa_yosen__Q01

Maximize n(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) equal to a perfect square

Let $a,b,c,d$ be pairwise distinct integers each from $1$ to $4$. Let $P=n(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)$ for a positive integer $n$. Given that $P$ is a perfect square, find the maximum possible value of $P$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1600 Fonte: apri PDF

Maximizzare n(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) uguale a un quadrato perfetto

$a,b,c,d$ siano integri separati in coppia, ciascuno da $1$ a $4$. Per un numero intero positivo $n$ $P=n(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)$. Dato che $P$ è un quadrato perfetto, trovare il valore massimo possibile di $P$.

Risposta: 1600 src_jjmo24yqa_yosen__Q02

Count 2026-digit ternary integers satisfying parity-dependent min/max digit-frequency conditions

Consider positive integers with exactly $2026$ digits, each digit being $1$, $2$, or $3$. How many such integers satisfy the following conditions for every integer $i$ with $1\le i\le 2025$? (Digits are counted from the least significant end, i.e., position $1$ is the units digit.)

• If $i$ is even: the digit at position $i+1$ (from the bottom) is one of the digits among $1,2,3$ that appears most frequently among the first $i$ digits (from the bottom).
• If $i$ is odd: the digit at position $i+1$ (from the bottom) is one of the digits among $1,2,3$ that appears least frequently among the first $i$ digits (from the bottom).

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $3\cdot 2^{508}$ Fonte: apri PDF

Contare interi terzi di 2026 cifre che soddisfano le condizioni di frequenza minima/massima di cifre paritarie

Considerate i numeri interi positivi con esattamente $2026$ cifre, ciascuna cifra è $1$, $2$, o $3$. Quanti tali integri soddisfano le seguenti condizioni per ogni integro $i$ con $1\le i\le 2025$? (Le cifre vengono contate dall’estremità meno significativa, ovvero la posizione $1$ è la cifra unità.)

• Se $i$ è pari: la cifra in posizione $i+1$ (dal basso) è una delle cifre tra $1,2,3$ che appare più frequentemente tra le prime cifre $i$ (dal basso). - Se $i$ è odd: la cifra in posizione $i+1$ (dal basso) è una delle cifre tra $1,2,3$ che appare meno frequentemente tra le prime cifre $i$ (dal basso).

Risposta: 3 \cdot 2^{508} src_jjmo24yqa_yosen__Q03

Find smallest n with n, n+1, …, n+7 all semi-integers

A positive integer is called a semi-integer if its digit mean (the sum of its digits divided by the number of digits) is not an integer. For example, $2026$ is a semi-integer because $\frac{2+0+2+6}{4}=\frac{10}{4}$ is not an integer. Find the smallest positive integer $n$ such that each of $n,n+1,n+2,\dots ,n+7$ is a semi-integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10046 Fonte: apri PDF

Trova la n più piccola con n, n+1, …, n+7 tutti i semi-integer

Un intero positivo è chiamato semi-integer se la sua media digitali (la somma delle sue cifre divisa per il numero di cifre) non è un intero. Ad esempio, $2026$ è un seminteger perché $\frac{2+0+2+6}{4}=\frac{10}{4}$ non è un intero. Trovare il più piccolo intero positivo $n$ in modo tale che ognuno di $n,n+1,n+2,\dots ,n+7$ sia un semi-integer.

Risposta: 10046 src_jjmo24yqa_yosen__Q04

Count integer assignments to 14 points on 9 circles with equal circle sums

As shown in the figure, there are $9$ circles and $14$ points. Assign one integer to each of the $14$ points. Count the number of assignments satisfying both of the following conditions.

• Each integer from $-3$ to $3$ (inclusive) appears exactly twice among the values assigned to the $14$ points.
• For each of the $9$ circles, the sum of the integers assigned to the points lying on that circle is the same (i.e., all $9$ sums are equal).

Assignments that coincide under rotation or reflection are still counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6300 Fonte: apri PDF

Contare le assegnazioni di numeri interi a 14 punti su 9 cerchi con somme di cerchi uguali

Come mostrato nella figura, ci sono cerchi $9$ e punti $14$. Assegna un numero intero a ciascuno dei punti $14$. Conteggi il numero di incarichi che soddisfano entrambe le seguenti condizioni.

• Ogni numero intero da $-3$ a $3$ (inclusivo) appare esattamente due volte tra i valori assegnati ai punti $14$. - Per ciascuno dei cerchi $9$, la somma dei numeri interi assegnati ai punti che si trovano su tale cerchio è la stessa (cioè tutte le somme $9$ sono uguali).

Le assegnazioni che coincidono sotto rotazione o riflessione sono ancora considerate come distinte.

Risposta: 6300 src_jjmo24yqa_yosen__Q05

Triangle, BD=DE=EC on BC, parallel cevians, equal angles; find AC

On side $BC$ of triangle $ABC$ (excluding the endpoints), there are two distinct points $D$ and $E$ satisfying $BD=DE=EC$. Points $P$ on side $AB$ and $Q$ on side $AC$ (both excluding endpoints) are chosen so that lines $DP$ and $EQ$ are both parallel. Furthermore, $\angle BPD=\angle EQC$. Given that $AP=5$ and $PB=14$, find the length of $AC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 23 Fonte: apri PDF

Triangolo, BD=DE=EC su BC, ceviani paralleli, angoli uguali; trovare AC

Sul lato $BC$ del triangolo $ABC$ (esclusi i punti finali), ci sono due punti distinti $D$ e $E$ che soddisfano $BD=DE=EC$. I punti $P$ sul lato $AB$ e $Q$ sul lato $AC$ (entrambi esclusi i punti finali) sono scelti in modo che le linee $DP$ e $EQ$ siano entrambe parallele. Inoltre, $\angle BPD=\angle EQC$. Dato che $AP=5$ e $PB=14$, trovare la lunghezza di $AC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 23 src_jjmo24yqa_yosen__Q06

Minimum-coin domination on 37 lattice points within distance sqrt(10); count min arrangements

In the $xy$-plane, consider the $37$ lattice points (points whose coordinates are both integers) at distance at most $\sqrt{10}$ from the origin; call these good points. An arrangement places coins on one or more good points. A good point $(a,b)$ is called well-covered if there exists a good point $(c,d)$ bearing a coin such that $|a-c|=|b-d|$. A safe arrangement is an arrangement in which every good point is well-covered. Let $n$ be the minimum number of coins used in any safe arrangement. How many safe arrangements use exactly $n$ coins?

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 2928 Fonte: apri PDF

*Dominanza minima della moneta su 37 punti della griglia all’interno di una distanza quadrata

Nel piano $xy$, considerate i punti reticolari $37$ (punti le cui coordinate sono entrambe enti) a distanza massima $\sqrt{10}$ dall’origine; chiamate questi buoni punti. Un accordo mette le monete su uno o più punti positivi. Un buon punto $(a,b)$ è chiamato ** ben coperto** se esiste un buon punto $(c,d)$ con una moneta del tipo $|a-c|=|b-d|$. Un sistema di sicurezza **** è un sistema in cui ogni punto positivo è ben coperto. $n$ deve essere il numero minimo di monete utilizzate in qualsiasi sistema di sicurezza. Quanti dispositivi di sicurezza utilizzano esattamente le monete $n$?

Risposta: 2928 src_jjmo24yqa_yosen__Q07

Triangle cevians; circumcircles of corner triangles through incenter of inner triangle; find AB/AC

In triangle $ABC$, let $P$, $Q$, $R$ be points on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively (excluding endpoints), with $BP:PC=6:1,CQ:QA=5:2,AR:RB=4:3.$ Suppose that the circumcircle of each of triangles $ARQ$, $BPR$, and $CQP$ passes through the incenter of triangle $PQR$. Find the value of $\frac{AB}{AC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{44}{31}$ Fonte: apri PDF

Ceviani triangolari; circoncircoli di triangoli angolari attraverso l’incentro del triangolo interno; trovare AB/AC

Nel triangolo $ABC$, $P$, $Q$, $R$ siano rispettivamente punti sui lati $BC$, $CA$, $AB$ (esclusi i punti finali), con $BP:PC=6:1,CQ:QA=5:2,AR:RB=4:3.$ Supponiamo che il circoncircolo di ciascuno dei triangoli $ARQ$, $BPR$ e $CQP$ passi attraverso l’incentro del triangolo $PQR$. Trova il valore di $\frac{AB}{AC}$.

Risposta: \frac{44}{31} src_jjmo24yqa_yosen__Q08

Count permutations of 1..30 where every index has at least 2 indices giving an inversion

How many permutations $a_1,a_2,\dots ,a_{30}$ of $1,2,\dots ,30$ satisfy the following condition?

For every integer $i$ with $1\le i\le 30$, there exist at least $2$ integers $j$ with $1\le j\le 30$ such that $(i-j)(a_i-a_j)<0$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 113 Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di 1,30 in cui ogni indice ha almeno 2 indici che danno un’inversione

Quante permutazioni $a_1,a_2,\dots ,a_{30}$ di $1,2,\dots ,30$ soddisfano la seguente condizione?

Per ogni intero $i$ con $1\le i\le 30$, esistono almeno $2$ interi $j$ con $1\le j\le 30$ tali che $(i-j)(a_i-a_j)<0$.

Risposta: 113 src_jjmo24yqa_yosen__Q09

Find possible GCDs after 999 iterated (lcm+gcd, lcm-gcd) operations on two coprime integers

Two coprime positive integers, each between $1$ and $2026$, are written on a blackboard. The following operation is performed exactly $999$ times:

Let the two numbers on the blackboard be $x$ and $y$. Set $l=\mathrm{lcm}(x,y)$ and $g=\gcd (x,y)$. Erase $x$ and $y$ and write $l+g$ and $l-g$.

What are the possible values of $\gcd$ of the two numbers remaining on the blackboard after all $999$ operations?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1182 Fonte: apri PDF

Ricerca possibili GCD dopo 999 operazioni iterate (lcm+gcd, lcm-gcd) su due integri coprimi

Due integri positivi copriemi, ciascuno tra $1$ e $2026$, sono scritti su una lavagna nera. La seguente operazione viene eseguita esattamente $999$ volte:

I due numeri della lavagna sono $x$ e $y$. Set $l=\mathrm{lcm}(x,y)$ e $g=\gcd (x,y)$. Elimina $x$ e $y$ e scrivi $l+g$ e $l-g$.

Quali sono i possibili valori di $\gcd$ dei due numeri rimasti sulla lavagna dopo tutte le operazioni $999$?

Risposta: 1182 src_jjmo24yqa_yosen__Q10

Count integer arrays of length 56 with all partial sums in [-5, 6]

How many arrays of integers $(a_1,a_2,\dots ,a_{56})$ satisfy: for any integers $i,j$ with $1\le i\le j\le 56$, $-5\le a_i+a_{i+1}+\cdots +a_j\le 6?$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $57\cdot 6^{56}$ Fonte: apri PDF

Contare le matrici di enti di lunghezza 56 con tutte le somme parziali in [-5, 6]

Quanti array di integri $(a_1,a_2,\dots ,a_{56})$ soddisfano: per tutti gli integri $i,j$ con $1\le i\le j\le 56$, $-5\le a_i+a_{i+1}+\cdots +a_j\le 6?$

Risposta: 57 \cdot 6^{56} src_jjmo24yqa_yosen__Q11

Square ABCD in circle; parallel lines through B and C intersect; find EQ

Square $ABCD$ with side length $AB=4$ is inscribed in a circle. The line through $B$ parallel to diagonal $AD$ meets segment $AC$ at point $E$, with $BE=5$. The line through $C$ parallel to diagonal $AD$ meets lines $AB$ and $BC$ at points $P$ and $Q$ respectively, with $BP=BQ=6$. Find the length of segment $EQ$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\frac{22}{5}$ Fonte: apri PDF

Quadrato ABCD in cerchio; linee parallele attraverso B e C si intersecano; trovare EQ

Il quadrato $ABCD$ con lunghezza laterale $AB=4$ è inciso in un cerchio. La linea attraverso $B$ parallela alla diagonale $AD$ incontra il segmento $AC$ al punto $E$, con $BE=5$. La linea attraverso $C$ parallela alla diagonale $AD$ incontra le linee $AB$ e $BC$ rispettivamente nei punti $P$ e $Q$, con $BP=BQ=6$. Trova la lunghezza del segmento $EQ$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{22}{5} src_jjmo24yqa_yosen__Q12