Japan Junior Mathematical Olympiad 2004

Evaluate 103103 minus 9797

Find the value of $103\times 103-97\times 97.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Evaluare 103103 meno 9797

Trova il valore di $103\times 103-97\times 97.$

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Right triangle, angle B exceeds C by 48 degrees

There is a right triangle $ABC$ with $\angle A=90^{\circ }$. When $\angle B$ is $48^{\circ }$ larger than $\angle C$, find $\angle B$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolo, angolo B superiore a C di 48 gradi

C’è un triangolo rettangolo $ABC$ con $\angle A=90^{\circ }$. Quando $\angle B$ è $48^{\circ }$ maggiore di $\angle C$, trovare $\angle B$.

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Area outside unit hexagon within distance 1 of a vertex

In the plane there is a regular hexagon with side length $1$. Consider the region consisting of all points whose distance from at least one of the vertices of the regular hexagon is at most $1$. Let $S$ be the area of the part of this region that lies outside the regular hexagon. Letting $T$ be the area of a regular hexagon with side length $1$, find $S-T$. Here, take the ratio of a circle’s circumference to its diameter to be $\pi$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area esterna all’esagono dell’unità entro la distanza 1 di un vertice

Nel piano c’è un esagono regolare con lunghezza laterale $1$. Considera la regione costituita da tutti i punti la cui distanza da almeno una delle vertici dell’esagono regolare è massima $1$. $S$ sia l’area della parte di questa regione che si trova al di fuori dell’esagono regolare. Se $T$ è l’area di un esagono regolare con lunghezza laterale $1$, si trova $S-T$. Qui, prendere il rapporto della circonferenza di un cerchio al suo diametro a $\pi$.

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System of equations in positive integers, find n

$m,n$ are positive integers satisfying the following conditions: $\{\begin{array}{l}3m-1=n\\ (n-7)m=16\end{array}$ Find $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sistema di equazioni in numeri interi positivi, trovare n

$m,n$ sono numeri interi positivi che soddisfano le seguenti condizioni: $\{\begin{array}{l}3m-1=n\\ (n-7)m=16\end{array}$ Trova $n$.

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Cryptarithm: IMO plus JMO plus ampersand terms equals JJMO

Solve the following cryptarithm and write the number corresponding to $\mathrm{IMO}$. The addition is carried out column-wise as shown (each row’s digits are right-aligned): $\begin{array}{cccc}& I& M& O\\ & & & \&\\ & J& M& O\\ & & & \&\\ +& & & \&\\ J& J& M& O\end{array}$ Here, solving a cryptarithm means determining the correspondence between letters and digits, according to the conditions below, so that the above equality holds.

• Each of $I,M,O,\&$ corresponds to one of the digits $0,1,2,\dots ,9$. The same letter corresponds to the same digit, and different letters correspond to different digits. Thus $\mathrm{IMO}$ denotes the $3$-digit number formed by writing the digit corresponding to $I$, the digit corresponding to $M$, and the digit corresponding to $O$, in that order.
• The leading letters $I,\&,J$ do not correspond to $0$.
• The digit corresponding to $I$ is not necessarily $1$, and the digit corresponding to $O$ is not necessarily $0$.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Crittografia: IMO più JMO più ampersand termini uguali a JJMO

Risolvi il seguente criptaritmo e scrivi il numero corrispondente a $\mathrm{IMO}$. L’aggiunta viene effettuata colonnalmente come mostrato (le cifre di ciascuna riga sono allineate a destra): $\begin{array}{cccc}& I& M& O\\ & & & \&\\ & J& M& O\\ & & & \&\\ +& & & \&\\ J& J& M& O\end{array}$ Qui, risolvere un criptaritmo significa determinare la corrispondenza tra lettere e cifre, secondo le condizioni di seguito, in modo che l’uguaglianza di cui sopra sia valida. - ciascuna delle $I,M,O,\&$ corrisponde a una delle cifre $0,1,2,\dots ,9$. La stessa lettera corrisponde alla stessa cifra, e lettere diverse corrisponde a cifre diverse. Pertanto $\mathrm{IMO}$ indica il numero $3$ di cifre formato scrivendo la cifra corrispondente a $I$, la cifra corrispondente a $M$ e la cifra corrispondente a $O$, in tale ordine. - Le prime lettere $I,\&,J$ non corrispondono a $0$. - La cifra corrispondente a $I$ non è necessariamente $1$, e la cifra corrispondente a $O$ non è necessariamente $0$.

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Magic spells transform strawberries and bananas to target counts

A magician can use two spells, Spell A and Spell B. When Spell A is used, at that instant every strawberry simultaneously turns into $1$ strawberry and $1$ banana, and every banana simultaneously turns into $1$ strawberry and $1$ banana. When Spell B is used, at that instant every strawberry turns into $1$ banana, and every banana turns into $1$ strawberry and $1$ banana. Starting from a state with $1$ strawberry and $1$ banana, by using Spells A and B some number of times, the magician wants to reach a state with $15$ strawberries and $877$ bananas. What is the minimum total number of times the spells must be used?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, Backward Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gli incantesimi magici trasformano fragole e banane in numeri mirati

Un mago può usare due incantesimi, l’incantesimo A e l’incantesimo B. Quando viene utilizzato il carattere A, in quel momento ogni fragola si trasforma contemporaneamente in fragola $1$ e banana $1$, e ogni banana si trasforma contemporaneamente in fragola $1$ e banana $1$. Quando si utilizza l’Espressione B, ogni fragola si trasforma in $1$ banana, e ogni banana si trasforma in $1$ fragola e $1$ banana. Partendo da uno stato con fragole $1$ e banane $1$, utilizzando gli incantesimi A e B un certo numero di volte, il mago vuole raggiungere uno stato con fragole $15$ e banane $877$. Qual è il numero minimo totale di volte che devono essere usate le incantesime?

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Arrange 8 balls of 3 colors with odd number of red

Among the ways to arrange a total of $8$ balls of the three colors red, blue, and yellow in a row, how many are there in which the number of red balls used is odd? Here, assume there is a sufficient supply of balls of each color, and there may be colors that are not used at all.

Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Arrangere 8 palle di 3 colori con numero impar di rosso *

Tra i modi per organizzare un totale di sfere $8$ dei tre colori rosso, blu e giallo di fila, quante ci sono in cui il numero di sfere rosse utilizzate è strano? Supponiamo che ci siano sufficienti palline di ogni colore, e che ci siano colori che non vengono utilizzati affatto.

src_jjmo2q__Q07

Triangle with two cevians, equal angles, find BE

There is a triangle $ABC$ with $BC=3$, $CA=2$, $AB=4$. Take two points $D,E$ on side $AB$ such that $AD=1$ and $\angle ACD=\angle BCE$. Find the length of segment $BE$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con due ceviani, angoli uguali, trovare BE

C’è un triangolo $ABC$ con $BC=3$, $CA=2$, $AB=4$. Prendi due punti $D,E$ sul lato $AB$, come $AD=1$ e $\angle ACD=\angle BCE$. Trova la lunghezza del segmento $BE$.

src_jjmo2q__Q08

Maximum number of nested factions among 7 politicians

There are $7$ politicians, and there are several factions. A faction is a group to which at least one politician belongs. Concerning any two factions, it holds that, if there exists a politician belonging to both of them, then necessarily one of the two factions contains the other. Find the maximum possible value of the number of factions. Here, a group consisting of just $1$ person, and the group consisting of all $7$ people, are also regarded as factions.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nombre massimo di fazioni incastonate tra 7 politici

Ci sono politici $7$, e ci sono diverse fazioni. Una fazione è un gruppo al quale appartiene almeno un politico. Per quanto riguarda due fazioni, essa sostiene che, se esiste un politico appartenente a entrambe, allora necessariamente una delle due fazioni contiene l’altra. Trova il massimo valore possibile del numero di fazioni. Qui, un gruppo composto solo da persone $1$, e il gruppo composto da tutte le persone $7$, sono considerati anche faczioni.

src_jjmo2q__Q09

Quadrilateral with diagonal point and angle conditions, find angle BCD

In quadrilateral $ABCD$, let the segments $AC$ and $BD$ intersect at point $P$. Moreover, $AB=BP=AD,\angle ABC=\angle BDC,\angle BCD=\angle CAD$ hold. Find $\angle BCD$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale con condizioni di punto e angolo diagonali, angolo di ricerca BCD

Nel quadrilaterale $ABCD$, lasciare che i segmenti $AC$ e $BD$ si incrociano al punto $P$. Inoltre, $AB=BP=AD,\angle ABC=\angle BDC,\angle BCD=\angle CAD$ attenuare. Trova $\angle BCD$.

src_jjmo2q__Q10

Fill-in dialogue: triples and the operation ab mod 10*

Fill in the blanks $\boxed{\text{(a)}}$ through $\boxed{\text{(h)}}$. Here, each of $\boxed{\text{(a)}}$ and $\boxed{\text{(b)}}$ is a triple of integers; $\boxed{\text{(c)}}$ and $\boxed{\text{(d)}}$ are single-digit positive integers; $\boxed{\text{(e)}}$, $\boxed{\text{(f)}}$, $\boxed{\text{(h)}}$ are nonnegative integers; and $\boxed{\text{(g)}}$ is several integers.

For integers $a,b$ that are at least $0$, let $a\ast b$ denote the remainder when $a\times b$ is divided by $10$. Consider the operation that sends a triple $(a,b,c)$ of integers from $0$ to $9$ to the triple $(a\ast b,b\ast c,c\ast a)$ of integers from $0$ to $9$. Here, as in $(2,7,0)$ and $(2,0,7)$, triples that differ only in the order of their entries are regarded as distinct triples. We want to investigate which triples can be produced by performing this operation exactly once.

Student A: “For example, from $(2,3,5)$ we can make $(6,5,0)$.” Teacher: “Then, can we make $(3,4,2)$?” Student B: “It can be made from $\boxed{\text{(a)}}$ or $\boxed{\text{(b)}}$.” Teacher: “What about $(4,3,7)$?” Student B: “Hmm… ah, I see! If $(4,3,7)$ can be made from $(a,b,c)$, then $a\ast b$ is a multiple of $\boxed{\text{(c)}}$, so $(a\ast b)\cdot (b\ast c)\cdot (c\ast a)$ would be a multiple of $\boxed{\text{(c)}}$.” Student A: “But $3$ and $7$ are not multiples of $\boxed{\text{(c)}}$, so it cannot be done.” Student B: “Thinking the same way, in general a triple in which exactly $\boxed{\text{(d)}}$ of the three entries is a multiple of $\boxed{\text{(c)}}$ cannot be made.” Teacher: “Just now we focused on multiples of $\boxed{\text{(c)}}$, but the same kind of thing can be said by focusing on multiples of $\boxed{\text{(e)}}$.” Student B: “So a triple in which exactly $\boxed{\text{(d)}}$ of the three entries is a multiple of $\boxed{\text{(e)}}$ cannot be made.” Teacher: “Then what about $(4,3,4)$?” Student A: “Since the number of multiples of $\boxed{\text{(c)}}$ and the number of multiples of $\boxed{\text{(e)}}$ are both not $\boxed{\text{(d)}}$, it is bound to be makeable.” Student B: “Wait a moment. If $(4,3,4)$ can be made from $(a,b,c)$, then the remainder of $a^2{b}^2{c}^2$ upon division by $5$ is $\boxed{\text{(f)}}$, isn’t it? But there is no integer whose square has remainder $\boxed{\text{(f)}}$ upon division by $5$.” Student A: “Since the only possible remainders when an integer is squared and divided by $5$ are $\boxed{\text{(g)}}$, we see that there are still other triples that cannot be made.” Teacher: “Exactly. In fact, every triple other than those shown to be unmakeable by the discussion so far can be made. Student A, please verify this.” Student A: (30 minutes later) “Done!” Student B: “In other words, the total number of triples that can be produced by this operation is $\boxed{\text{(h)}}$.” Teacher: “That’s right.”

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Congruenze, Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dialogo di riempimento: triples e l’operazione ab mod 10*

Riempire i vuoti $\boxed{\text{(a)}}$ fino a $\boxed{\text{(h)}}$. Qui, ciascuno di $\boxed{\text{(a)}}$ e $\boxed{\text{(b)}}$ è un triplo di interi; $\boxed{\text{(c)}}$ e $\boxed{\text{(d)}}$ sono interi positivi a una cifra; $\boxed{\text{(e)}}$, $\boxed{\text{(f)}}$, $\boxed{\text{(h)}}$ sono interi non negativi; e $\boxed{\text{(g)}}$ sono diversi interi.

Per gli integri $a,b$ che sono almeno $0$, $a\ast b$ indica il rimanente quando $a\times b$ è diviso da $10$. Considera l’operazione che invia un triplo $(a,b,c)$ di enti da $0$ a $9$ al triplo $(a\ast b,b\ast c,c\ast a)$ di enti da $0$ a $9$. Qui, come in $(2,7,0)$ e $(2,0,7)$, i triples che differiscono solo nell’ordine delle loro voci sono considerati triples distinti. Vogliamo indagare quali triples si possono produrre eseguendo questa operazione esattamente una volta.

Allievo A: “Per esempio, da $(2,3,5)$ possiamo fare $(6,5,0)$. ” Insegnante: “Allora, possiamo fare $(3,4,2)$?” Allievo B: “Può essere fatto da $\boxed{\text{(a)}}$ o $\boxed{\text{(b)}}$”. Insegnante: “E che mi dici di $(4,3,7)$?” Allievo B: “Hmm… Ah, capisco! Se $(4,3,7)$ può essere fatto da $(a,b,c)$, allora $a\ast b$ è un multiple di $\boxed{\text{(c)}}$, quindi $(a\ast b)\cdot (b\ast c)\cdot (c\ast a)$ sarebbe un multiple di $\boxed{\text{(c)}}$. “Studente A: “Ma $3$ e $7$ non sono multipli di $\boxed{\text{(c)}}$, quindi non può essere fatto. “Studente B: “Pensando allo stesso modo, in generale un triplo in cui esattamente $\boxed{\text{(d)}}$ delle tre voci è un multiple di $\boxed{\text{(c)}}$ non può essere fatto”. Se $(4,3,4)$ può essere fatto da $(a,b,c)$, allora il rimanente di $a^2{b}^2{c}^2$ dopo la divisione da $5$ è $\boxed{\text{(f)}}$, vero? Ma non c’è un intero il cui quadrato ha un residuo $\boxed{\text{(f)}}$ quando viene diviso da $5$”. Studente A: “Poiché gli unici residui possibili quando un intero è quadrato e diviso da $5$ sono $\boxed{\text{(g)}}$, vediamo che ci sono ancora altri triples che non possono essere fatti”. Infatti, ogni triplo diverso da quelli che sono stati dimostrati impossibili dalla discussione finora può essere fatto. Allievo A, per favore, verificate questo”. Allievo A: (30 minuti dopo) “Fatto!” Allievo B: “In altre parole, il numero totale di triples che può essere prodotto da questa operazione è $\boxed{\text{(h)}}$”.

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Number of distinct quotients dividing 2^2004 by 1..2^2004

Divide $2^{2004}$ by each of $1,2,3,\dots ,2^{2004}$, and find the quotient and remainder in each case. How many distinct integers appear as quotients?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nombre di quotienti distinti dividendo 2^2004 per 1..2^2004

Dividere $2^{2004}$ per ciascuno di $1,2,3,\dots ,2^{2004}$ e trovare il quotiente e il rimanente in ogni caso. Quanti numeri interi distinti appaiono come quotienti?

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