Japan Junior Mathematical Olympiad 2005

Sum of four four-digit numbers

Carry out the following calculation: $6789+7896+8967+9678.$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di quattro numeri a quattro cifre

effettuare il seguente calcolo: $6789+7896+8967+9678.$

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Divisors leaving remainder 11 for both 197 and 290

Find all positive integers that leave a remainder of $11$ when they divide $197$, and also leave a remainder of $11$ when they divide $290$.

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Divisioni che lasciano il rimanente 11 sia per 197 che per 290

Trova tutti i numeri interi positivi che lasciano un residuo di $11$ quando dividono $197$, e lasciano anche un residuo di $11$ quando dividono $290$.

src_jjmo3q__Q02

Area of quadrilateral formed by two medians

In triangle $OAB$ of area $6$, let $P$ and $Q$ be the midpoints of the sides $OA$ and $OB$, respectively. Let $G$ be the intersection point of $PB$ and $QA$. Find the area of the quadrilateral $OPGQ$.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (4,0);
\coordinate (B) at (1.2,2.6);
\coordinate (P) at (2,0);
\coordinate (Q) at (0.6,1.3);
\coordinate (G) at (1.6,0.866);
\draw (O)--(A)--(B)--cycle;
\draw (P)--(B);
\draw (Q)--(A);
\fill (G) circle (1.5pt);
\node[below left] at (O) {$O$};
\node[below right] at (A) {$A$};
\node[above] at (B) {$B$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[left] at (Q) {$Q$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area quadrilaterale formata da due mediani

Nel triangolo $OAB$ di superficie $6$, $P$ e $Q$ siano rispettivamente i punti medi dei lati $OA$ e $OB$. $G$ sia il punto di intersezione di $PB$ e $QA$. Trova l’area del quadrilaterale $OPGQ$.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (4,0);
\coordinate (B) at (1.2,2.6);
\coordinate (P) at (2,0);
\coordinate (Q) at (0.6,1.3);
\coordinate (G) at (1.6,0.866);
\draw (O)--(A)--(B)--cycle;
\draw (P)--(B);
\draw (Q)--(A);
\fill (G) circle (1.5pt);
\node[below left] at (O) {$O$};
\node[below right] at (A) {$A$};
\node[above] at (B) {$B$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[left] at (Q) {$Q$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}

src_jjmo3q__Q03

Linear combination of two equations in three reals

Let the real numbers $x,y,z$ satisfy $2x+3y-z=9$ and $5x+4y-3z=20$. Find the value of $9x-4y-7z$.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Combinazione lineare di due equazioni in tre reales

Lasciate che i numeri reali $x,y,z$ soddisfino $2x+3y-z=9$ e $5x+4y-3z=20$. Trova il valore di $9x-4y-7z$.

src_jjmo3q__Q04

Same digit-count in base ten and base five

In base ten, $110$ is written as $420$ in base five, which is also a $3$-digit number. In this way, how many positive integers in total have the same number of digits when written in base ten as when written in base five?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gli stessi numeri di cifre nella base dieci e nella base cinque

Nella base dieci, $110$ è scritto come $420$ nella base cinque, che è anche un numero a cifre $3$. In questo modo, quanti numeri interi positivi in totale hanno lo stesso numero di cifre quando sono scritti in base dieci come quando sono scritti in base cinque?

src_jjmo3q__Q05

Count triangles from a 3x3 grid of points

Consider $9$ points arranged as in the figure below, equally spaced both horizontally and vertically (a $3\times 3$ array of points). Among these, how many triangles can be obtained by joining $3$ of the points? For example, as shown on the left below, choosing $3$ points and connecting them yields a triangle; however, as shown on the right below, choosing $3$ points that lie on a single straight line does not yield a triangle. Note that figures that coincide under translation or reflection are counted as distinct triangles.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Contare i triangoli da una griglia di punti 3x3

Considerare i punti $9$ disposti come nella figura seguente, spaziati ugualmente sia orizzontalmente che verticalmente (un array $3\times 3$ di punti). Tra questi, quanti triangoli si possono ottenere unendo $3$ dei punti? Ad esempio, come mostrato in basso a sinistra, scegliere i punti $3$ e collegarli dà un triangolo; tuttavia, come mostrato in basso a destra, scegliere i punti $3$ che si trovano su una singola linea retta non dà un triangolo. Si noti che i numeri che coincidono sotto traduzione o riflessione sono contati come triangoli distinti.

src_jjmo3q__Q06

Fill 3x3 grid so every row and column product is 2005

Fill each cell of a $3\times 3$ grid with one positive integer so that the following condition is satisfied: the product of the three numbers in each column equals $2005$, and the product of the three numbers in each row also equals $2005$. In how many ways can such a filling with positive integers be done? Note that fillings that coincide under rotation or reflection are still counted as distinct.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Completare la griglia 3x3 così ogni prodotto di riga e colonna è 2005

Riempire ogni cella di una griglia $3\times 3$ con un intero positivo in modo da soddisfare la seguente condizione: il prodotto dei tre numeri di ogni colonna è $2005$, e il prodotto dei tre numeri di ogni riga è anche $2005$. In quanti modi si può compiere un tale riempimento con integri positivi? Si noti che i riempimenti che coincidono sotto rotazione o riflessione sono ancora contati come distinti.

src_jjmo3q__Q07

Angle from two angle bisectors in a triangle

In triangle $ABC$, $\angle ABC=70^{\circ }$ and $\angle ACB=50^{\circ }$. Let the bisectors of $\angle ABC$ and $\angle ACB$ meet sides $AC$ and $AB$ at the points $D$ and $E$, respectively. Find the measure of $\angle AED$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo da due bisettori angolari in un triangolo

In triangolo $ABC$, $\angle ABC=70^{\circ }$ e $\angle ACB=50^{\circ }$. I bisettori di $\angle ABC$ e $\angle ACB$ devono incontrare i lati $AC$ e $AB$ rispettivamente nei punti $D$ e $E$. Trova la misura di $\angle AED$.

src_jjmo3q__Q08

Four-digit multiples of 7 with digits from 1 to 6

Among the $4$-digit natural numbers each of whose digits is one of $1,2,3,4,5,6$, how many are multiples of $7$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Multiplici a quattro cifre di 7 con cifre da 1 a 6

Tra i numeri naturali $4$ di cifre ognuno dei cui numeri è uno di $1,2,3,4,5,6$, quanti sono i multipli di $7$?

src_jjmo3q__Q09

Ratio AR:RC for interior point with given angles and ratios

Let $P$ be a point in the interior of triangle $ABC$ such that $\angle APB=\angle APC=130^{\circ }$ and $PB:PC=2:3$. On the sides $AB$ and $AC$, respectively, take points $Q$ and $R$ such that $\angle APQ=\angle APR=80^{\circ }$. Given that $AQ:QB=4:3$, find $AR:RC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio AR:RC per il punto interno con angoli e rapporti dati

Il $P$ deve essere un punto all’interno del triangolo $ABC$ tale che $\angle APB=\angle APC=130^{\circ }$ e $PB:PC=2:3$. sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente, prendere i punti $Q$ e $R$ in modo tale che $\angle APQ=\angle APR=80^{\circ }$. Dato che $AQ:QB=4:3$, trovare $AR:RC$.

src_jjmo3q__Q10

Fill-in-the-blank: minimal count forcing a borrow-free subtraction

Fill in the blanks $\boxed{\text{(a)}}$ through $\boxed{\text{(h)}}$ with numbers.

Problem. Find the smallest $N$ such that, if one chooses $N$ distinct integers from the integers between $0$ and $999$ inclusive, then there must always exist two of them whose difference can be computed by subtraction without any borrowing.

Solution. In the following, a ‘$3$-digit number’ means a string of three digits, each from $0$ to $9$. Every integer from $0$ to $99$ is written with leading zeros, so that all integers from $0$ to $999$ are regarded as $3$-digit numbers; for example, $87$ is regarded as the $3$-digit number $087$.

The number of $3$-digit numbers whose digit sum equals $13$ is $\boxed{\text{(a)}}$. For such a number $A$, exactly one of the following three statements holds:

(1) the units digit of $A$ is at most $\boxed{\text{(b)}}$ and its tens digit is at least $\boxed{\text{(c)}}$; (2) the tens digit of $A$ is at most $\boxed{\text{(b)}}$ and its hundreds digit is at least $\boxed{\text{(c)}}$; (3) the hundreds digit of $A$ is at most $\boxed{\text{(b)}}$ and its units digit is at least $\boxed{\text{(c)}}$.

In case (1), we say that a $3$-digit number arising in the following procedure is dominated by $A$:

• Increase the hundreds digit of $A$ by $1$ at a time until the sum of the hundreds and units digits becomes $9$; after that, decrease the units digit by $1$ at a time until it becomes $9$.
• Increase the hundreds digit of $A$ by $1$ at a time until the sum of the tens and hundreds digits becomes $9$ (do not perform this step if the sum of the tens and hundreds digits of $A$ is already $9$); after that, decrease the tens digit by $1$ at a time until it becomes $9$.

Similarly, in case (2) perform the procedure with ‘units’ replaced by ‘tens’, ‘tens’ by ‘hundreds’, and ‘hundreds’ by ‘units’; in case (3) with ‘units’ replaced by ‘hundreds’, ‘tens’ by ‘units’, and ‘hundreds’ by ‘tens’.

For example, $439$ is dominated by $\boxed{\text{(d)}}$, and $143$ is dominated by $\boxed{\text{(e)}}$, $\boxed{\text{(f)}}$, $\boxed{\text{(g)}}$. Reasoning in the same way, one finds that every $3$-digit number is dominated by some $3$-digit number whose digit sum is $13$. On the other hand, when two distinct numbers having the same digit sum $13$ are subtracted, a borrow necessarily occurs. Therefore the required smallest value is $\boxed{\text{(h)}}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Casework, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Inserimento del vuoto: numero minimo che costringe una sottrazione senza prestito

Riempire i vuoti $\boxed{\text{(a)}}$ e $\boxed{\text{(h)}}$ con numeri.

Problema. Trovare il più piccolo $N$ in modo tale che, se si sceglie $N$ integri distinti dagli integri tra $0$ e $999$ inclusivi, allora ci devono sempre essere due di loro la cui differenza può essere calcolata mediante sottrazione senza alcun prestito.

Soluzione. Qui di seguito, un “numero a $3$” significa una catena di tre cifre, ciascuna da $0$ a $9$. Ogni numero intero da $0$ a $99$ è scritto con i zeri di punta, in modo che tutti i numeri interi da $0$ a $999$ siano considerati numeri a cifre $3$; ad esempio, $87$ è considerato numero a cifre $3$ $087$.

Il numero di numeri $3$ di cui la somma digitali è uguale a $13$ è $\boxed{\text{(a)}}$. Per tale numero $A$, una delle seguenti tre affermazioni è esatta:

(1) la cifra di unità di $A$ è al massimo $\boxed{\text{(b)}}$ e la sua cifra decimale è almeno $\boxed{\text{(c)}}$; (2) la cifra decimale di $A$ è al massimo $\boxed{\text{(b)}}$ e la sua cifra di centinaia è almeno $\boxed{\text{(c)}}$; (3) la cifra di centinaia di $A$ è al massimo $\boxed{\text{(b)}}$ e la sua cifra di unità è almeno $\boxed{\text{(c)}}$.

Nel caso (1), diciamo che un numero $3$ a numeri numerici derivante dalla seguente procedura è * dominato da * $A$: - Aumentare la cifra di centinaia di $A$ di $1$ in un tempo fino a che la somma delle centinaia e delle cifre di unità diventa $9$; dopo di che, diminuire le cifre di unità di $1$ in un tempo fino a che non diventa $9$. - Aumentare le centinaia di cifre di $A$ di $1$ alla volta fino a che la somma delle decine e centinaia di cifre non diventi $9$ (non eseguire questo passaggio se la somma delle decine e centinaia di cifre di $A$ è già $9$); quindi diminuire le decine di cifre di $1$ alla volta fino a che non diventi $9$.

Allo stesso modo, nel caso (2) eseguire la procedura con “unità” sostituite da “cenni”, “cenni” da “cento” e “cento” da “unità”; nel caso (3) con “unità” sostituite da “cento”, “cenni” da “unità” e “cento” da “cenni”.

Ad esempio, $439$ è dominato da $\boxed{\text{(d)}}$, e $143$ è dominato da $\boxed{\text{(e)}}$, $\boxed{\text{(f)}}$, $\boxed{\text{(g)}}$. Ragionando allo stesso modo, si scopre che ogni numero $3$ è dominato da un certo numero $3$ di cui la somma digitale è $13$. D’altra parte, quando vengono sottratte due numeri distinti con la stessa somma $13$, si verifica necessariamente un prestito. Pertanto il valore minimo richiesto è $\boxed{\text{(h)}}$.

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Triples of distinct positives with product equal to 12 times the sum

How many sets of three distinct positive integers are there whose product is equal to $12$ times their sum? Here, sets that differ only in the order of the numbers, such as $\{3,6,18\}$ and $\{6,3,18\}$, are regarded as the same and counted as one.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Tripli di punti positivi distinti con prodotto pari a 12 volte la somma *

Quante serie di tre diversi integri positivi hanno il prodotto pari a $12$ volte la loro somma? Qui, gli insiemi che differiscono solo nell’ordine dei numeri, come $\{3,6,18\}$ e $\{6,3,18\}$, sono considerati uguali e contati come uno.

src_jjmo3q__Q12