Japan Junior Mathematical Olympiad 2006

Compute an arithmetic expression with products and sums

Compute the following: $39\times 37+41\times 82+43\times 80+45\times 39$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione aritmetica con prodotti e somme

Calcolare quanto segue: $39\times 37+41\times 82+43\times 80+45\times 39$

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Area of square PQRS with vertices on sides of rectangle ABCD

In the figure below, $ABCD$ is a rectangle with $AB=4$ and $BC=5$, and points are marked at equal spacing on each side. Find the area of quadrilateral $PQRS$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di PQRS quadrato con vertici sui lati del rettangolo ABCD

Nella figura seguente, $ABCD$ è un rettangolo con $AB=4$ e $BC=5$, e i punti sono contrassegnati a pari distanza su ciascun lato. Trova l’area del quadrilaterale $PQRS$.

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Fraction with integer numerator and denominator closest to 1, with sum 109

Among the fractions whose numerator and denominator are both integers and whose sum is $109$, $\frac{108}{1},\frac{107}{2},\frac{106}{3},\dots ,\frac{3}{106},\frac{2}{107},\frac{1}{108}$ find the one that is closest to $1$. Here, “closest to $1$” means the one whose absolute difference from $1$ is smallest.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Frazione con numeratore e denominatore interi più vicini a 1, con somma 109

Tra le frazioni il cui numeratore e il cui denominatore sono entrambi numeri interi e la cui somma è $109$, $\frac{108}{1},\frac{107}{2},\frac{106}{3},\dots ,\frac{3}{106},\frac{2}{107},\frac{1}{108}$ trova quella che è più vicina a $1$. Qui, “più vicino a $1$” significa quello la cui differenza assoluta da $1$ è minore.

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Find angle DEF where DEF is the contact triangle of ABC with angle BAC=70°

Points $D$, $E$, $F$ are the points where the incircle of triangle $ABC$ touches the sides $AB$, $BC$, $CA$ respectively. Given that $\angle BAC=70^{\circ }$, find $\angle DEF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca angolo DEF dove DEF è il triangolo di contatto di ABC con angolo BAC=70°

I punti $D$, $E$ e $F$ sono i punti in cui l’incircolo del triangolo $ABC$ tocca rispettivamente i lati $AB$, $BC$ e $CA$. Dato che $\angle BAC=70^{\circ }$, trovare $\angle DEF$.

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Maximum coins on 8×8 grid: at most one face-up per row, at most one face-down per column

There is an $8\times 8$ grid. On some cells, coins are placed either face-up or face-down, satisfying the following conditions: \begin{itemize} \item If a cell contains a face-up coin, then no other cell in the same row contains a face-up coin. \item If a cell contains a face-down coin, then no other cell in the same column contains a face-down coin. \end{itemize} What is the maximum number of coins that can be placed on the grid?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Monete massime su 8 ×8 griglia: al massimo una faccia in su per riga, al massimo una faccia in giù per colonna

C’è una griglia $8\times 8$. Su alcune celle, le monete sono posizionate sia a faccia alta che a faccia bassa, soddisfacendo le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item Se una cella contiene una moneta a faccia alta, allora nessuna altra cella nella stessa riga contiene una moneta a faccia alta. \item Se una cella contiene una moneta rivolta verso il basso, allora nessuna altra cella nella stessa colonna contiene una moneta rivolta verso il basso. Qual è il numero massimo di monete che si possono mettere sulla griglia?

src_jjmo4q__Q05

Volume of cube formed by joining centroids of adjacent faces of a regular octahedron

For any triangle, the three medians (the segments joining each vertex to the midpoint of the opposite side) meet at a single point, called the centroid of the triangle.

Now, when the centroids of adjacent faces of a regular octahedron are connected by edges, a cube is formed. Find the volume of this cube as a fraction of the volume of the original regular octahedron.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Volume di cubo formato dall’unione dei centroidi di facce adiacenti di un ottaedro regolare

Per qualsiasi triangolo, i tre mediani (i segmenti che uniscono ogni vertice al punto medio del lato opposto) si incontrano in un unico punto, chiamato centroide del triangolo.

Ora, quando i centroidi delle facce adiacenti di un ottaedro regolare sono collegati da bordi, si forma un cubo. Trova il volume di questo cubo come una frazione del volume dell’ottoedro regolare originale.

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Count ways to choose 3 cards from 20 blue-numbered cards (1–10 each in 2 copies) summing to 16

There are $20$ cards numbered $1,2,\dots ,10$, with each number appearing on exactly $2$ cards (all cards are blue). From these $20$ cards, $3$ cards are chosen. Find the number of ways to choose $3$ cards such that the sum of the numbers written on them equals $16$. Note: cards with the same number are considered distinguishable (i.e., the two cards bearing the same number are treated as different).

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per scegliere 3 carte da 20 carte a numeri blu (110 ciascuna in 2 copie) che si sommano a 16

Ci sono carte $20$ numerate $1,2,\dots ,10$, ciascuna delle quali appare esattamente su carte $2$ (tutte le carte sono blu). Da queste carte $20$ vengono scelte le carte $3$. Trova il numero di modi per scegliere le carte $3$ in modo tale che la somma dei numeri scritti su di esse sia uguale a $16$. Nota: le carte con lo stesso numero sono considerate distinguibili (cioè le due carte con lo stesso numero sono considerate diverse).

src_jjmo4q__Q07

Find triples of mutually coprime positive integers where two of any two are perfect squares, with minimum sum

Among sets of three mutually coprime positive integers such that the sum of any two of them is a perfect square, find all such sets with the smallest possible sum of the three numbers. Here, the sets $\{1,2,3\}$ and $\{3,2,1\}$ are considered the same, while $\{1,2,3\}$ and $\{3,1,2\}$ are also the same.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ritrovare triples di integri positivi reciprocamente coprimi dove due di entrambi sono quadrati perfetti, con somma minima *

Tra i set di tre integri positivi reciprocamente coprimi in modo tale che la somma di due di essi sia un quadrato perfetto, trovare tutti tali set con la somma più piccola possibile dei tre numeri. Qui, le serie $\{1,2,3\}$ e $\{3,2,1\}$ sono considerate uguali, mentre $\{1,2,3\}$ e $\{3,1,2\}$ sono anche uguali.

src_jjmo4q__Q08

Count coprime pairs (x,y,z) where tens digits of x·z and y·z equal tens digits of x and y

Let $x$, $y$, $z$ be mutually coprime positive integers of two digits each. The tens digit of $x\cdot z$ equals the tens digit of $x$, and the tens digit of $y\cdot z$ equals the tens digit of $y$, and the units digit of $x\cdot z$ equals the units digit of $y\cdot z$. How many such triples $(x,y,z)$ exist?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare copriemi (x,y,z) dove decine di cifre di x·z e y·z sono uguali a decine di cifre di x e y

Se i numeri $x$, $y$, $z$ sono interamente integri positivi coprimi di due cifre ciascuno. La decima cifra di $x\cdot z$ equivale alla decima cifra di $x$, e la decima cifra di $y\cdot z$ equivale alla decima cifra di $y$, e la decima cifra di $x\cdot z$ equivale alla decima cifra di $y\cdot z$. Quanti sono tali tripli $(x,y,z)$?

src_jjmo4q__Q09

Find all integer solutions of x²+xy+y²+3x+3y+6=0 with x=1 excluded; then all integer pairs

Consider the equation $x^2+xy+y^2+3x+3y+6=0.(\ast )$ (1) Find all pairs of integers $(x,y)$ satisfying $(\ast )$ with $x=1$.

(2) Find all pairs of integers $(x,y)$ satisfying $(\ast )$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali di x2+xy+y2+3x+3y+6=0 con x=1 escluso; quindi tutte le coppie di numeri integrali

Considera l’equazione $x^2+xy+y^2+3x+3y+6=0.(\ast )$ (1) Trova tutte le coppie di integri $(x,y)$ che soddisfano $(\ast )$ con $x=1$.

(2) Trova tutte le coppie di integri $(x,y)$ che soddisfano $(\ast )$.

src_jjmo4q__Q10

Count colorings of 3×3 grid with 3 or 4 colors; adjacent cells different colors

(1) Color each cell of a $3\times 3$ grid with one of three colors: blue, yellow, or red, such that adjacent cells (sharing an edge) are different colors. How many such colorings are there? (Colorings that are the same up to rotation or reflection are still counted as different. However, colorings that differ only by a rotation or reflection are counted as different.)

(2) In the situation of (1), if the three colors are blue, yellow, red, and green (four colors total), how many colorings are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare colori di 3 ×3 griglie con 3 o 4 colori; celle adiacenti di colori diversi

(1) Colorare ciascuna cellula di una griglia $3\times 3$ con uno dei tre colori: blu, giallo o rosso, in modo che le cellule adiacenti (che condividono un bordo) siano di colori diversi. Quante sono queste colorazioni? (I colori che sono uguali fino alla rotazione o alla riflessione sono comunque considerati diversi. Tuttavia, i colori che differiscono solo per rotazione o riflessione vengono contati come diversi.)

(2) Nella situazione di (1), se i tre colori sono blu, giallo, rosso e verde (quattro colori in totale), quanti colori ci sono?

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Fill m×n grid with integers: nonzero in ≥1 cell per row-neighborhood, t(S)=0 for each cell

Let $m,n$ be integers with $m,n\ge 2$. We want to fill each cell of an $m\times n$ grid with an integer, satisfying the following two conditions:

(i) There is at least one cell containing a nonzero integer.

(ii) For each cell $S$, if $t(S)$ denotes the sum of all integers written in the cells sharing a side with $S$ (i.e., the neighbors of $S$), then $t(S)=0$.

For example, if $m=3$, $n=4$ and all cells contain $1$, then the value of $t(S)$ for each cell is as shown below (in this case condition (ii) is not satisfied).

When integers can be filled in satisfying both conditions, we call $(m,n)$ a \emph{good pair}. For example, $(2,2)$ is a good pair.

(1) Let $m=3$. Find all integers $n$ with $n\le 10$ such that $(3,n)$ is a good pair.

(2) For good pairs $(m,n)$ with $m,n\le 10$, find the number of such pairs. Note that $(9,6)$ and $(6,9)$ are counted as different pairs.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Invarianti, Ricorsione Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Inserire la griglia m×n con numeri interi: non zero in ≥1 cella per vicinato di fila, t(S)=0 per ogni cella

$m,n$ siano numeri interi con $m,n\ge 2$. Vogliamo riempire ogni cella di una griglia $m\times n$ con un numero intero, soddisfacendo le seguenti due condizioni:

(i) C’è almeno una cella contenente un numero intero non zero.

(ii) Per ogni cella $S$, se $t(S)$ indica la somma di tutti gli enti scritti nelle celle che condividono un lato con $S$ (cioè i vicini di $S$), allora $t(S)=0$.

Ad esempio, se $m=3$, $n=4$ e tutte le celle contengono $1$, il valore di $t(S)$ per ciascuna cellula è come indicato di seguito (in questo caso la condizione (ii) non è soddisfatta).

Quando i numeri interi possono essere riempiti soddisfacendo entrambe le condizioni, chiamiamo $(m,n)$ una \emph{buona coppia}. Ad esempio, $(2,2)$ è una buona coppia.

(1) Let $m=3$. Trova tutti gli enti $n$ con $n\le 10$ in modo tale che $(3,n)$ sia una buona coppia.

(2) Per le buone coppie $(m,n)$ con $m,n\le 10$, indicare il numero di tali coppie. Si noti che $(9,6)$ e $(6,9)$ sono conteggiate come coppie diverse.

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