Japan Junior Mathematical Olympiad 2007

Compute a product/sum of nine fractions

Compute the following: $\frac{7}{12}+\frac{5}{12}\times \frac{7}{15}\times \frac{4}{11}\times \frac{7}{10}\times \frac{4}{12}\times \frac{5}{11}\times \frac{4}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{7}{9}$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolare un prodotto/somma di nove frazioni

Calcolare quanto segue: $\frac{7}{12}+\frac{5}{12}\times \frac{7}{15}\times \frac{4}{11}\times \frac{7}{10}\times \frac{4}{12}\times \frac{5}{11}\times \frac{4}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{7}{9}$

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Quadrilateral with perpendicular diagonals; find fourth side

In quadrilateral $ABCD$, we have $AB=5$, $BC=7$, $CD=6$, and the diagonals $AC$ and $BD$ intersect perpendicularly inside the quadrilateral. Find $DA$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale con diagonali perpendicolari; trovare il quarto lato

Nel quadrilaterale $ABCD$, abbiamo $AB=5$, $BC=7$, $CD=6$, e le diagonali $AC$ e $BD$ si incrociano perpendicolare all’interno del quadrilaterale. Trova $DA$.

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Find all fractions m/n with m,n ≤ 20 in a given interval

Find all rational numbers that can be written as $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are positive integers each not exceeding $20$, and which are greater than $\frac{5}{4}$ and less than $\frac{4}{3}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le frazioni m/n con m,n ≤ 20 in un determinato intervallo

Trova tutti i numeri razionali che possono essere scritti come $\frac{m}{n}$, dove $m$ e $n$ sono interi positivi che non superano ognuno $20$, e che sono superiori a $\frac{5}{4}$ e inferiori a $\frac{4}{3}$.

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Three-variable degree-3 polynomial with three divisibility conditions

Find all polynomials $f(x,y,z)$ with real coefficients, of degree $3$ in three variables $x$, $y$, $z$, satisfying all of the following conditions: \begin{itemize} \item $f(x,y,z)+z$ is divisible by $x+y+z$, \item $f(x,y,z)+y$ is divisible by $x+y+z$, \item $f(x,y,z)+z$ is divisible by $x+y+z$. \end{itemize} Here, a polynomial $P(x,y,z)$ is said to be divisible by $Q(x,y,z)$ if there exists a polynomial $R(x,y,z)$ such that $P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z)$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio di grado 3 a tre variabili con tre condizioni di divisibilità

Trova tutti i polinomi $f(x,y,z)$ con coefficienti reali, di grado $3$ in tre variabili $x$, $y$, $z$, soddisfacendo tutte le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item $f(x,y,z)+z$ è divisibile da $x+y+z$, \item $f(x,y,z)+y$ è divisibile da $x+y+z$, \item $f(x,y,z)+z$ è divisibile da $x+y+z$. \end{itemize} Qui, si dice che un polinomio $P(x,y,z)$ sia divisibile da $Q(x,y,z)$ se esiste un polinomio $R(x,y,z)$ tale che $P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z)$.

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5×5 grid numbered 1–16; find minimum m for a column-sum condition

There is a $5\times 5$ grid. The numbers $1,2,\dots ,16$ are written into the top-left $4\times 4$ portion of cells (one number per cell) in some order. For each of the four rows (rows $1$–$4$), the running cumulative sum of the four entries in that row, read left to right, is recorded in the rightmost cell of that row (marked $♣$). Similarly, for each of the four columns, the cumulative sum from row $1$ to row $4$ is recorded in the bottom cell of that column. The bottom-right cell is left blank. The following condition must be satisfied:

\textbf{Condition ($♣$):} At the moment when the running sums for a given row are being recorded, if the cumulative total reaches $m$ or more in the rightmost entry, then at least $2$ of the cells in that row’s running sums are $m$ or more. Furthermore, in row $5$ (the bottom row), at least $2$ of the four column sums are $m$ or more.

Find the smallest integer $m$ satisfying this condition.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

5×5 griglia numerata 116; trovare m minimo per una condizione colonna-somma

C’è una griglia $5\times 5$. I numeri $1,2,\dots ,16$ sono scritti nella parte superiore sinistra $4\times 4$ delle celle (un numero per cella) in un certo ordine. Per ciascuna delle quattro righe (righe 1$$4), la somma cumulativa in corso delle quattro voci di quella riga, letta da sinistra a destra, è registrata nella cella più a destra di quella riga (marcato $♣$). Allo stesso modo, per ciascuna delle quattro colonne, la somma cumulativa dalla riga $1$ alla riga $4$ è registrata nella cella inferiore di tale colonna. La cella in basso a destra è lasciata vuota. Occorre soddisfare la seguente condizione:

\textbf{Condition ($♣$):} Nel momento in cui vengono registrate le somme correnti per una data riga, se il totale cumulativo raggiunge $m$ o più nella voce più a destra, allora almeno $2$ delle celle di quella riga le somme correnti sono $m$ o più. Inoltre, nella riga $5$ (la riga inferiore), almeno $2$ delle quattro somme di colonne è $m$ o più.

Trova il numero intero più piccolo $m$ che soddisfa questa condizione.

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Triangle medians given; find area

In triangle $ABC$, let $D$, $E$, $F$ be the midpoints of $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Given that $AD=3$, $BE=3$, $CF=5$, find the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mediani triangolari dati; area di ricerca

Nel triangolo $ABC$, $D$, $E$, $F$ siano rispettivamente i punti medi di $BC$, $CA$ e $AB$. Dato che $AD=3$, $BE=3$, $CF=5$, si trova l’area del triangolo $ABC$.

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Quadrilateral with intersecting diagonals at 60°; minimize perimeter

In quadrilateral $ABCD$, the diagonals $AC$ and $BD$ intersect at an interior point $P$. Given $AC=2$, $BD=3$, and $\angle APB=60^{\circ }$, find the minimum value of $AB+BC+CD+DA$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Quadrilaterale con diagonali che si intersecano a 60°; ridurre al minimo il perimetro *

In quadrilaterale $ABCD$, le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano in un punto interno $P$. Date $AC=2$, $BD=3$ e $\angle APB=60^{\circ }$, si trova il valore minimo di $AB+BC+CD+DA$.

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4-digit number: product of top-2 and bottom-2 digit parts divides n

Let $n$ be a 4-digit positive integer whose tens digit is not $0$. Write $n$ in decimal; let $a$ be the 2-digit integer formed by the hundreds digit and thousands digit of $n$ (the top two digits), and let $b$ be the 2-digit integer formed by the tens digit and units digit of $n$ (the bottom two digits). If the product $a\times b$ is a divisor of $n$, find all such $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

numero a 4 cifre: prodotto delle parti a 2 cifre superiori e inferiori divide n

Che $n$ sia un intero positivo a 4 cifre la cui cifra decimale non è $0$. Scrivi $n$ in decimale; lasciamo che $a$ sia il numero intero a 2 cifre formato dalla cifra di centinaia e migliaia di cifre di $n$ (le due cifre superiori), e lasciamo che $b$ sia il numero intero a 2 cifre formato dalla cifra di decina e dalla cifra di unità di $n$ (le due cifre inferiori). Se il prodotto $a\times b$ è un divisore di $n$, trovare tutti tali $n$.

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19×19 grid: min n so any 9 removed cells leave ≤n good rectangles

There is a $19\times 19$ grid of unit squares. Call a rectangle whose all four sides lie along grid lines a ”good rectangle.” Find the smallest positive integer $n$ satisfying the following condition:

\textbf{Condition:} No matter which $9$ unit squares are removed from the grid, the remaining region can always be partitioned into at most $n$ good rectangles.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

19×19 griglia: min n in modo che ogni 9 cellule rimosse lasci ≤n buoni rettangoli

C’è una griglia $19\times 19$ di quadrati unitari. Chiamare un rettangolo i cui quattro lati si trovano lungo le linee della griglia un “buono rettangolo”. Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ che soddisfa la seguente condizione:

\textbf{Condition:} Non importa quali $9$ unità quadrati vengono rimossi dalla griglia, la regione rimanente può sempre essere suddivisa in almeno $n$ buoni rettangoli.

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