Japan Junior Mathematical Olympiad 2008

Compute an arithmetic expression with products

Compute the following expression: $877\times 879-121\times 123.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione aritmetica con prodotti

Calcolare la seguente espressione: $877\times 879-121\times 123.$

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Max times 1004×1005×…×2008 is divisible by 2

How many times does $2$ divide $1004\times 1005\times 1006\times \cdots \times 2008$? (i.e., find the largest integer $k$ such that $2^k$ divides $1004\times 1005\times \cdots \times 2008$.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Max × 1004 ×1005 ×… ×2008 è divisibile per 2 *

Quante volte $2$ divide $1004\times 1005\times 1006\times \cdots \times 2008$? (cioè trovare il più grande intero $k$ tale che $2^k$ divida $1004\times 1005\times \cdots \times 2008$.)

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Find angle BFD on circle with six equal arcs and angle ACE=68°

Six points $A,B,C,D,E,F$ lie on a circle in this order such that arc $AB$, arc $BC$, arc $CD$, arc $DE$, arc $EF$, and arc $FA$ are all equal in length. Given that $\angle ACE=68^{\circ }$, find $\angle BFD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’angolo BFD su un cerchio con sei archi uguali e angolo ACE=68°

Sei punti $A,B,C,D,E,F$ si trovano su un cerchio in questo ordine in modo che l’arco $AB$, l’arco $BC$, l’arco $CD$, l’arco $DE$, l’arco $EF$ e l’arco $FA$ siano tutti uguali di lunghezza. Dato che $\angle ACE=68^{\circ }$, trovare $\angle BFD$.

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Count prices payable with 1000, 100, 10, 1 yen coins minimizing change

Taro has one 1000-yen bill, one 100-yen coin, one 10-yen coin, and one 1-yen coin, and he uses all four of them to buy an item. How many possible prices can the item have?

The condition is that Taro’s payment has no amount in common (as coins/bills) with the change he receives; among all payment methods satisfying this condition, he chooses one that minimises the number of coins/bills he holds after the transaction (i.e., minimises the total number of his remaining bills/coins after receiving change). Furthermore, change is always given with the minimum number of coins/bills, and it is also possible that the change is 0 yen.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prezzi da pagare con monete di 1000, 100, 10, 1 yen minimizzando la variazione

Taro ha una banconota di 1000 yen, una moneta di 100 yen, una moneta di 10 yen e una moneta di 1 yen, e le usa tutte e quattro per acquistare un oggetto. Quanti prezzi possibili può avere l’oggetto?

La condizione è che il pagamento di Taro non abbia alcun importo in comune (come monete/monete) con il cambio che riceve; tra tutti i metodi di pagamento che soddisfano questa condizione, sceglie uno che riduca al minimo il numero di monete/monete che detiene dopo la transazione (cioè riduce al minimo il numero totale delle sue monete/monete rimanenti dopo aver ricevuto il cambio). Inoltre, il cambio viene sempre dato con il numero minimo di monete/monete, ed è anche possibile che il cambio sia di 0 yen.

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Area of triangle CBE in unit square with inscribed circle tangent to CE

Let $ABCD$ be a unit square (side length $1$). Let $O$ be the centre of the circle with diameter $AD$, and let $E$ be a point on side $AB$. The line $CE$ is tangent to the circle with centre $O$. Find the area of triangle $CBE$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area del triangolo CBE in quadrato unitario con un cerchio inciso tangente a CE

Il $ABCD$ deve essere un quadrato unitario (lenghezza laterale $1$). Il $O$ deve essere il centro del cerchio con diametro $AD$ e il $E$ deve essere un punto laterale $AB$. La linea $CE$ è tangente al cerchio con il centro $O$. Trova l’area del triangolo $CBE$.

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Count win/loss records in 6-player tournament where all win totals differ

A kendo tournament has $6$ participants. Each person fought exactly once against each of the other $5$ participants, and exactly $1$ match per round was held. Furthermore, each person’s number of wins was different. How many possible win/loss records (sequences of outcomes) are there for the tournament?

(Ties do not occur; draws are not possible.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i record di vittorie/perdite in tornei di 6 giocatori in cui tutti i totali di vittorie differiscono

Un torneo di kendo ha partecipanti $6$. Ogni persona ha combattuto esattamente una volta contro ciascuno degli altri partecipanti $5$, e esattamente $1$ match per round è stato tenuto. Inoltre, il numero di vittorie di ciascuna persona era diverso. Quanti record di vittorie/perdite possibili (sequenze di risultati) ci sono per il torneo?

(Le gare non si verificano; i disegni non sono possibili.)

src_jjmo6q__Q06

Count triples (a,b,c) of positive integers with lcm 720, all different

How many ordered triples of positive integers $(a,b,c)$ are there such that the least common multiple of $a$, $b$, and $c$ is $720$, and the three numbers $a$, $b$, $c$ are pairwise distinct (no two are equal)? (Triples that differ only in order are counted separately.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare triples (a,b,c) di numeri interi positivi con lcm 720, tutti diversi

Quanti triples ordinati di integri positivi $(a,b,c)$ esistono in modo tale che il più piccolo multiplo comune di $a$, $b$ e $c$ sia $720$, e i tre numeri $a$, $b$, $c$ siano parimenti distinti (nessuno di due è uguale)? (I triples che differiscono solo nell’ordine sono contati separatamente.)

src_jjmo6q__Q07

Find class sizes given tulip-planting constraints and counts 52, 64

A middle school decided to have students plant tulip bulbs. Each student plants at least one bulb. Students of the same grade plant the same number of bulbs, and each student plants the same number of bulbs as students of other grades do. The total number of bulbs that can be planted is at most $100$; the number of bulbs whose total is less than $100$ is $6$, and the two smallest such numbers are $52$ and $64$.

Find all possible combinations of the number of students in each of grades 1, 2, and 3 (i.e., middle-school years 1, 2, 3).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca le dimensioni delle classi date le restrizioni e i numeri di coltivazione di tulipani 52, 64

Una scuola media decise di far piantare i tulipani agli studenti. Ogni studente pianta almeno una lampadina. Gli studenti della stessa classe piantano lo stesso numero di lampadine, e ogni studente pianta lo stesso numero di lampadine come gli studenti di altre classi. Il numero totale di lampadine che possono essere piantate è massimo $100$; il numero di lampadine il cui totale è inferiore a $100$ è $6$, e i due numeri più piccoli sono $52$ e $64$.

Trovare tutte le possibili combinazioni del numero di studenti in ciascuno dei gradi 1, 2 e 3 (cioè anni di scuola media 1, 2, 3).

src_jjmo6q__Q08

Min rounds for 2008 boys and 2008 girls gift-exchange meeting

$2008$ boys and $2008$ girls gather and exchange presents. Each boy intends to give a flower to one girl, and each girl intends to give a chocolate to one boy. Everyone sits in a circle facing inward; in each round, everyone simultaneously passes their gift to the person on their right. A boy receives a chocolate (from a girl) and a girl receives a flower (from a boy) at the moment the gift reaches them.

What is the maximum number of rounds needed until everyone has given and received their gift?

(This is a proof problem; even if the answer is stated, it must be proved correct.)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Rondate min per la riunione di scambio di regali per ragazzi e ragazze del 2008

I ragazzi e le ragazze si riuniscono e si scambiano regali. Ogni ragazzo intende dare un fiore a una ragazza, e ogni ragazza intende dare un cioccolato a un ragazzo. Ognuno siede in un cerchio rivolto verso l’interno; in ogni giro, ognuno trasmette contemporaneamente il suo dono alla persona sulla sua destra. Un ragazzo riceve un cioccolato (da una ragazza) e una ragazza riceve un fiore (da un ragazzo) nel momento in cui il regalo li raggiunge.

Qual è il numero massimo di colpi necessari prima che ognuno abbia dato e ricevuto il suo dono?

(Questo è un problema di prova; anche se la risposta è dichiarata, deve essere dimostrata corretta.)

src_jjmo6q__Q09

Prove X<Y for shared areas between overlapping squares on 3×3 grid

Consider a $3\times 3$ grid of unit squares. Each cell is numbered as shown below: $\begin{array}{ccc}\stackrel{◯}{1}& \stackrel{◯}{2}& \stackrel{◯}{3}\\ \stackrel{◯}{8}& & \stackrel{◯}{4}\\ \stackrel{◯}{7}& \stackrel{◯}{6}& \stackrel{◯}{5}\end{array}$ $A$, $B$, $C$, $D$ are interior points (not on the boundary) of unit squares $\stackrel{◯}{1}$, $\stackrel{◯}{3}$, $\stackrel{◯}{5}$, $\stackrel{◯}{7}$ respectively. Let $X$ be the sum of the areas of the intersections of square $ABCD$ with each of squares $\stackrel{◯}{1}$, $\stackrel{◯}{3}$, $\stackrel{◯}{5}$, $\stackrel{◯}{7}$, and let $Y$ be the sum of the areas of the intersections of square $ABCD$ with each of squares $\stackrel{◯}{2}$, $\stackrel{◯}{4}$, $\stackrel{◯}{6}$, $\stackrel{◯}{8}$. Prove that $X<Y$.

(This is a proof problem.)

Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove X<Y per le aree condivise tra quadrati che si sovrappongono sulla griglia 3×3

Considera una griglia $3\times 3$ di quadrati unitari. Ogni cella è numerata come indicato di seguito: $\begin{array}{ccc}\stackrel{◯}{1}& \stackrel{◯}{2}& \stackrel{◯}{3}\\ \stackrel{◯}{8}& & \stackrel{◯}{4}\\ \stackrel{◯}{7}& \stackrel{◯}{6}& \stackrel{◯}{5}\end{array}$ $A$, $B$, $C$, $D$ sono punti interni (non sul confine) delle unità quadrate $\stackrel{◯}{1}$, $\stackrel{◯}{3}$, $\stackrel{◯}{5}$ e $\stackrel{◯}{7}$ rispettivamente. $X$ è la somma delle superfici delle intersezioni di quadrato $ABCD$ con ciascuno dei quadrati $\stackrel{◯}{1}$, $\stackrel{◯}{3}$, $\stackrel{◯}{5}$, $\stackrel{◯}{7}$, e $Y$ è la somma delle superfici delle intersezioni di quadrato $ABCD$ con ciascuno dei quadrati $\stackrel{◯}{2}$, $\stackrel{◯}{4}$, $\stackrel{◯}{6}$, $\stackrel{◯}{8}$. Prova che $X<Y$.

(Questo è un problema di prova.)

src_jjmo6q__Q10

Color m×n grid red/blue/black so each color neighbors both others; find valid (m,n)

Let $m,n$ be positive integers. We want to color each cell of an $m\times n$ grid red, blue, or black so that all of the following conditions hold:

• Every red cell is adjacent to at least one blue cell and at least one black cell.
• Every blue cell is adjacent to at least one black cell and at least one red cell.
• Every black cell is adjacent to at least one red cell and at least one blue cell.

(Two distinct cells are called adjacent if they share a side.)

Answer the following:

(1) In the case $m=3$, $n=4$: find one valid coloring satisfying all the conditions above. (An answer/example suffices; no proof needed.)

(2) Find all pairs $(m,n)$ for which a valid coloring exists.

(This is a proof problem for part (2).)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Colore m×n griglia rosso/blu/nero in modo che ogni colore sia vicino agli altri; trovare valido (m,n) *

Lasciate che $m,n$ siano numeri interi positivi. Vogliamo colorare ogni cella di una griglia $m\times n$ rosso, blu o nero in modo che tutte le seguenti condizioni si applichino:

• Ogni cellula rossa è adiacente ad almeno una cellula blu e ad almeno una cellula nera. - Ogni cellula blu è adiacente ad almeno una cellula nera e ad almeno una cellula rossa. - Ogni cellula nera è adiacente ad almeno una cellula rossa e ad almeno una cellula blu.

(Due cellule distinte sono chiamate adiacenti se condividono un lato.)

Rispondi alle seguenti domande:

(1) Nel caso $m=3$, $n=4$: trovare un colore valido che soddisfi tutte le condizioni di cui sopra. (Una risposta/esempio è sufficiente; non è necessaria alcuna prova.)

(2) Trova tutte le coppie $(m,n)$ per le quali esiste un colore valido.

(Questo è un problema di prova per la parte (2).)

src_jjmo6q__Q11