Japan Junior Mathematical Olympiad 2009 — Honsen (Final)

Sum of integers coprime to n; find when sum is prime

For a positive integer $n$, let $S(n)$ denote the sum of all integers from $1$ to $n$ whose greatest common divisor with $n$ is $1$.

(1) Find $S(30)$. (Proof is not required.)

(2) Find all positive integers $n$ such that $S(n)$ is prime. Here, a prime is an integer greater than or equal to $2$ that has no positive divisors other than $1$ and itself, and is not equal to $1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa di numeri interi copriamo a n; trovare quando la somma è primo

Per un intero positivo $n$, $S(n)$ indichi la somma di tutti gli enti da $1$ a $n$ il cui più grande divisore comune con $n$ è $1$.

(1) Trova $S(30)$. (Non è necessaria alcuna prova).

(2) Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $S(n)$ sia primo. Qui, un primo è un numero intero maggiore o uguale a $2$ che non ha divisori positivi diversi da $1$ e se stesso, e non è uguale a $1$.

src_jjmo7mq_honsen__Q01

Angle in triangle with BP+CQ=PQ and circumcircle intersection

Let $P$ and $Q$ be points on sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$, respectively, satisfying $BP+CQ=PQ$. Let $R$ be the intersection of the angle bisector of $\angle BAC$ with the circumcircle of triangle $ABC$, other than $A$. Set $\angle BAC=\alpha$.

Find $\angle PRQ$ in terms of $\alpha$.

Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Angolo triangolare con BP+CQ=PQ e intersezione di circolo *

I punti $P$ e $Q$ devono essere i punti sui lati $AB$ e $AC$ del triangolo $ABC$, rispettivamente, che soddisfano $BP+CQ=PQ$. Il $R$ deve essere l’intersezione del bisettore angolare di $\angle BAC$ con il circoncircolo del triangolo $ABC$, diverso da $A$. Set $\angle BAC=\alpha$.

Trova $\angle PRQ$ in termini di $\alpha$.

Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jjmo7mq_honsen__Q02

Assign 1 to 2n to vertices of 2n-gon; adjacent difference bounds

Let $n\ge 2$ be an integer. Assign the integers $1,2,\dots ,2n$ to the vertices of a regular $2n$-gon, one integer per vertex, each integer used exactly once.

(1) Show that there exists an assignment such that the absolute difference of the integers assigned to any two adjacent vertices is at least $n-1$.

(2) Show that there is no assignment such that the absolute difference of the integers assigned to any two adjacent vertices is at least $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Atribuire da 1 a 2n ai vertici di 2n-gon; confini di differenza adiacenti

$n\ge 2$ sia un numero intero. Assegnare i numeri interi $1,2,\dots ,2n$ ai vertici di un normale $2n$-gon, un intero per ogni vertice, ogni intero utilizzato esattamente una volta.

(1) Indicare che esiste un’assegnazione tale che la differenza assoluta dei numeri interi assegnati a due vertici adiacenti sia almeno $n-1$.

(2) Indicare che non esiste una assegnazione tale che la differenza assoluta dei numeri interi assegnati a due vertici adiacenti sia almeno $n$.

src_jjmo7mq_honsen__Q03

Double inequality for cyclic expression in positive reals a,b,c

For positive real numbers $a,b,c$, prove that $\frac{3}{2}<\frac{4a+b}{a+4b}+\frac{4b+c}{b+4c}+\frac{4c+a}{c+4a}<9.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Doppia disuguaglianza per l’espressione ciclica nei reali positivi a,b,c

Per i numeri reali positivi $a,b,c$, dimostrare che $\frac{3}{2}<\frac{4a+b}{a+4b}+\frac{4b+c}{b+4c}+\frac{4c+a}{c+4a}<9.$

src_jjmo7mq_honsen__Q04

Perimeter of convex hexagon ≥ sum of three main diagonals at 60°

In a convex hexagon $ABCDEF$, any two of the three main diagonals $AD$, $BE$, $CF$ form an angle of $60^{\circ }$ with each other. Prove that $AB+BC+CD+DE+EF+FA\ge AD+BE+CF.$ A polygon is called convex if all its interior angles are less than $180^{\circ }$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Perimetro dell’esagono converso ≥ somma di tre diagonali principali a 60°

In un esagono converso $ABCDEF$, due delle tre diagonali principali $AD$, $BE$, $CF$ formano un angolo di $60^{\circ }$ tra loro. Prova che un poligono $AB+BC+CD+DE+EF+FA\ge AD+BE+CF.$ è chiamato convex se tutti gli angoli interni sono inferiori a $180^{\circ }$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jjmo7mq_honsen__Q05