Japan Junior Mathematical Olympiad 2009 — Yosen (Preliminary)

Area of triangle OAB given nested right isosceles triangles, area of OCD is 12

In the figure below, triangles $OAB$, $OBC$, $OCD$ are right isosceles triangles with right angles at $\angle OAB$, $\angle OBC$, $\angle OCD$ respectively. When the area of triangle $OCD$ is $12$, find the area of triangle $OAB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Area del triangolo OAB data la nidificazione dei triangoli a destra, area dell’OCD è di 12

Nella figura seguente, i triangoli $OAB$, $OBC$, $OCD$ sono triangoli a piega retta con angolazioni rette rispettivamente $\angle OAB$, $\angle OBC$ e $\angle OCD$. Quando l’area del triangolo $OCD$ è $12$, trovare l’area del triangolo $OAB$.

Risposta: 3 src_jjmo7yq_yosen__Q01

Count minimum-length paths A to B along diagonals in a 3×5 grid

There is a grid of $3$ rows and $5$ columns of unit squares (15 squares in total). Let $A$ be the top-right vertex and $B$ be the bottom-left vertex. In each square, a diagonal is drawn from the top-right vertex to the bottom-left vertex (as shown in the figure). Among all paths from $A$ to $B$ that travel only along these diagonals and along the sides of the squares, find the number of paths whose total length is minimum.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi di lunghezza minima A a B lungo diagonali in una griglia 3×5

C’è una griglia di righe $3$ e colonne $5$ di quadrati unitari (15 quadrati in totale). $A$ sia il vertice superiore a destra e $B$ sia il vertice inferiore a sinistra. In ogni quadrato, una diagonale viene tracciata dal vertice superiore a destra al vertice inferiore a sinistra (come mostrato nella figura). Tra tutti i percorsi da $A$ a $B$ che viaggiano solo lungo queste diagonali e lungo i lati dei quadrati, si trova il numero di percorsi la cui lunghezza totale è minima.

src_jjmo7yq_yosen__Q02

Integer part (floor) of a specific fraction with digit-pattern numerator and denominator

Find the integer part (i.e., round down to the nearest integer) of the following expression: $\frac{9+98+987+9876+98765+987654+9876543+98765432}{12345678+1234567+123456+12345+1234+123+12+1}.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Parte integrale (piano) di una frazione specifica con numeratore e denominatore di modello digitali

Trovare la parte integrale (cioè arrotondata verso il basso al numero intero più vicino) della seguente espressione: $\frac{9+98+987+9876+98765+987654+9876543+98765432}{12345678+1234567+123456+12345+1234+123+12+1}.$

Risposta: 8 src_jjmo7yq_yosen__Q03

Find all units digits of products of two 3-digit numbers both ending in 9

There are two $3$-digit positive integers, both of which end in the digit $9$. Find all possible values of the units digit of the product of these two numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le cifre di unità dei prodotti di due numeri a 3 cifre che terminano entrambi in 9

Ci sono due integri positivi $3$-cifre, entrambi finiti nella cifra $9$. Trova tutti i valori possibili della cifra unità del prodotto di questi due numeri.

Risposta: 1 src_jjmo7yq_yosen__Q04

Maximum area of convex pentagon with all sides 1 and two perpendicular diagonals

A convex pentagon has all sides of length $1$, and there exist two diagonals of the pentagon that are perpendicular to each other (forming a $90^{\circ }$ angle). Find the maximum possible area of such a pentagon. (A convex pentagon is one in which all interior angles are less than $180^{\circ }$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima di un pentagono converso con tutti i lati 1 e due diagonali perpendicolari

Un pentagono converso ha tutti i lati di lunghezza $1$, e esistono due diagonali del pentagono che sono perpendicolari l’uno all’altro (formando un angolo $90^{\circ }$). Trova la superficie massima possibile di un tale pentagono. (Un pentagono converso è quello in cui tutti gli angoli interni sono inferiori a $180^{\circ }$.)

src_jjmo7yq_yosen__Q05

Smallest n such that 14n, 16n, 18n, 20n all have equal number of positive divisors

Find the smallest positive integer $n$ such that $14n$, $16n$, $18n$, and $20n$ all have the same number of positive divisors.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N più piccolo in modo che 14n, 16n, 18n, 20n abbiano tutti uguali numeri di divisori positivi

Trova il più piccolo intero positivo $n$ in modo che $14n$, $16n$, $18n$ e $20n$ abbiano tutti lo stesso numero di divisori positivi.

src_jjmo7yq_yosen__Q06

Count lines through ≥2 vertices of a 2×2×2 arrangement of unit cubes

There are $8$ unit cubes (each with side length $1$). These are stacked together as shown in the figure to form a larger $2\times 2\times 2$ cube of side length $2$. How many lines in space pass through at least $2$ vertices of the original unit cubes (vertices of the small cubes)?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Line di conteggio attraverso ≥2 vertici di un’arrangimento di 2×2×2 di cubetti unitari

Esistono cubetti unitari $8$ (ciascuno con lunghezza laterale $1$). Questi sono impilati insieme come mostrato nella figura per formare un cubo più grande $2\times 2\times 2$ di lunghezza laterale $2$. Quante linee nello spazio attraversano almeno $2$ vertici dei cubetti unitari originali (vertici dei piccoli cubetti)?

src_jjmo7yq_yosen__Q07

Last 3 digits of the product of all odd numbers from 1 to 100

Find the last $3$ digits of the product of all odd numbers from $1$ to $100$ (inclusive), i.e., find $1\times 3\times 5\times \cdots \times 99(\mathrm{mod}1000)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le ultime 3 cifre del prodotto di tutti i numeri odd da 1 a 100

Trova le ultime cifre $3$ del prodotto di tutti i numeri dispari da $1$ a $100$ (inclusi), vale a dire trova $1\times 3\times 5\times \cdots \times 99(\mathrm{mod}1000)$.

src_jjmo7yq_yosen__Q08

Volume of tetrahedron O-ABC with given distances and equal angles from interior point X

In tetrahedron $O$-$ABC$, let $X$ be a point in the base face $ABC$ such that $OA=2$, $OB=3$, $OC=4$, $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA$, and $\angle AOX=\angle BOX=\angle COX=30^{\circ }$. Find the volume of tetrahedron $O$-$ABC$. (Here $PQ$ denotes the length of segment $PQ$.)

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Volume di tetraedro O-ABC con determinate distanze e angoli uguali dal punto interno X

Nel tetraedro $O$-$ABC$, $X$ deve essere un punto nella faccia di base $ABC$ tale che $OA=2$, $OB=3$, $OC=4$, $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA$ e $\angle AOX=\angle BOX=\angle COX=30^{\circ }$. Trova il volume del tetraedro $O$- $ABC$. (Qui $PQ$ indica la lunghezza del segmento $PQ$.)

src_jjmo7yq_yosen__Q09

Find product value at 2009 given three equations with shifted real variables

Real numbers $a,b,c,d,e,f$ satisfy: $\{\begin{array}{l}(a+1999)(b-1999)(c+1999)(d-1999)(e+1999)(f-1999)=1,\\ (a+2000)(b-2000)(c+2000)(d-2000)(e+2000)(f-2000)=10,\\ (a+2001)(b-2001)(c+2001)(d-2001)(e+2001)(f-2001)=100.\end{array}$ Find the value of $(a+2009)(b-2009)(c+2009)(d-2009)(e+2009)(f-2009)$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping, Simmetria Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il valore del prodotto nel 2009 data tre equazioni con variabili reali spostate

Numeri reali $a,b,c,d,e,f$ soddisfano: $\{\begin{array}{l}(a+1999)(b-1999)(c+1999)(d-1999)(e+1999)(f-1999)=1,\\ (a+2000)(b-2000)(c+2000)(d-2000)(e+2000)(f-2000)=10,\\ (a+2001)(b-2001)(c+2001)(d-2001)(e+2001)(f-2001)=100.\end{array}$ Trova il valore di $(a+2009)(b-2009)(c+2009)(d-2009)(e+2009)(f-2009)$.

src_jjmo7yq_yosen__Q10

Count selections of balls labeled 1–9 satisfying a box-difference condition

There are $9$ balls, labeled with the integers $1$ through $9$ (one integer per ball). Choose some of these balls. The rule is: place the chosen balls in a red box and the remaining balls in a blue box, such that for any two balls in the same box, the absolute difference of their labels is at least $3$. Find the number of ways to choose balls satisfying this condition. (Choosing no balls counts as $1$ way.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggiamo le selezioni di palle etichettate 19 che soddisfano la condizione di differenziazione fra caselle

Ci sono sfere $9$, etichettate con i numeri interi $1$ fino a $9$ (un intero per sfera). Scegli un po’ di queste palle. La regola è: inserire le palle scelte in una scatola rossa e le palle rimanenti in una scatola blu, in modo che per due palle nella stessa scatola la differenza assoluta delle etichette sia almeno $3$. Trova il numero di modi per scegliere le palle che soddisfano questa condizione. (La scelta di nessuna palla conta come modo $1$.)

src_jjmo7yq_yosen__Q11

Count positive integers ≤2009 expressible as a^2009 + b^2009 for integers a, b

Using integers $a$ and $b$, consider all positive integers that can be expressed in the form $a^{2009}+b^{2009}$. Among these, find the number of such positive integers that are at most $2009$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare gli integri positivi ≤2009 espressi come a^2009 + b^2009 per gli integri a, b

Utilizzando gli integri $a$ e $b$, considera tutti gli integri positivi che possono essere espressi nella forma $a^{2009}+b^{2009}$. Tra questi, trovare il numero di tali integri positivi che sono al massimo $2009$.

src_jjmo7yq_yosen__Q12