Japan Junior Mathematical Olympiad 2010 — Honsen (Final)

Equiangular n-gon with angles 120 or 240 and equal sides

Let $n$ be an integer with $n\ge 3$. Find all $n$ such that there exists an $n$-gon in which every interior angle is either $120^{\circ }$ or $240^{\circ }$ and all of whose sides have equal length.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

N-gon equangolare con angoli 120 o 240 e lati uguali

$n$ sia un numero intero con $n\ge 3$. Trova tutti $n$ in modo tale che esista un $n$-gon in cui ogni angolo interno sia $120^{\circ }$ o $240^{\circ }$ e tutti i cui lati hanno la stessa lunghezza.

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Largest k so truncating a perfect square keeps squares

Find the largest nonnegative integer $k$ for which there exists a positive integer $n$ satisfying the following condition.

Condition: $n$ is a perfect square with at least $k+1$ digits, and for every positive integer $i$ with $i\le k$, the number obtained from $n$ by deleting its last $i$ digits is also a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La k più piccola così truncando un quadrato perfetto mantiene quadrati

Trova il più grande intero non negativo $k$ per il quale esiste un intero positivo $n$ che soddisfa la seguente condizione.

Condizione: $n$ è un quadrato perfetto con almeno $k+1$ cifre, e per ogni intero positivo $i$ con $i\le k$, il numero ottenuto da $n$ eliminando le sue ultime cifre $i$ è anche un quadrato perfetto.

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Five segments: 9 acute triples force the 10th to be a triangle

There are $5$ line segments. There are $10$ ways to choose $3$ of them, and in $9$ of these ways the $3$ chosen segments can be used as the sides of an acute triangle. Show that, for the remaining $1$ way, the $3$ chosen segments can also be used as the sides of a triangle.

Topic: Geometria piana, Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Casework, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

5 segmenti: 9 triples acuti costringono il decimo a essere un triangolo

Ci sono segmenti di linea $5$. Ci sono $10$ modi per scegliere $3$ di essi, e in $9$ di questi modi i segmenti scelti $3$ possono essere utilizzati come lati di un triangolo acuto. Mostrare che, per il rimanente modo $1$, i segmenti $3$ scelti possono essere utilizzati anche come lati di un triangolo.

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Concyclicity of A, incenter I, and two circle points P, Q

Consider a triangle $ABC$. A circle $O$ passing through the points $B$ and $C$ meets the segments $AB$ and $AC$ (excluding their endpoints) at points $D$ and $E$ respectively, and $AD+AE=BC$ holds. Let $I$ be the incenter of triangle $ABC$, and let the lines $BI$ and $CI$ meet the circle $O$ at the points $P$ and $Q$ (other than $B$ and $C$) respectively. Show that $A$, $I$, $P$, $Q$ lie on a single circle.

Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Conciclicità di A, incentro I e due punti di cerchio P, Q

Considerate un triangolo $ABC$. Un cerchio $O$ che attraversa i punti $B$ e $C$ incontra i segmenti $AB$ e $AC$ (esclusi i loro punti terminali) rispettivamente ai punti $D$ e $E$, e $AD+AE=BC$ si ferma. Il punto $I$ deve essere l’incentro del triangolo $ABC$ e le linee $BI$ e $CI$ devono incontrare rispettivamente il cerchio $O$ nei punti $P$ e $Q$ (diversi da $B$ e $C$). Indicare che $A$, $I$, $P$, $Q$ si trovano su un singolo cerchio.

Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Draw 2n white-black segments forming one tour with few crossings

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. On a circle there are $n$ white points and $n$ black points, $2n$ points in total. For these points, consider drawing $2n$ segments so as to satisfy the following conditions.

(1) Every segment has one white point and one black point as its endpoints.

(2) By following these segments in order, one can pass through every point exactly once and make one full loop (i.e. the segments form a single closed cycle through all the points).

Show that, for any arrangement of the points, the segments can be drawn so that the number of intersections between the segments is at most $n-1$. Here, an endpoint of a segment is not regarded as an intersection.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Disegnare 2 segmenti bianchi e neri che formano un giro con poche traversate

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Su un cerchio ci sono punti bianchi $n$ e punti neri $n$, punti $2n$ in totale. Per questi punti, considerare il disegno di segmenti $2n$ in modo da soddisfare le seguenti condizioni.

(1) Ogni segmento ha un punto bianco e un punto nero come punti di fine.

(2) Seguendo questi segmenti in ordine, si può attraversare ogni punto esattamente una volta e fare un ciclo completo (cioè i segmenti formano un singolo ciclo chiuso attraverso tutti i punti).

Mostrare che, per qualsiasi disposizione dei punti, i segmenti possono essere disegnati in modo tale che il numero di intersezioni tra i segmenti sia massimo $n-1$. Qui, un punto di fine di un segmento non è considerato un incrocio.

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