Japan Junior Mathematical Olympiad 2010 — Yosen (Preliminary)

Two-digit number stays 3 digits after multiplying by 7 twice

There is a two-digit positive integer. When it is multiplied by $7$, it becomes a three-digit number. When it is multiplied by $7$ again, it is still a three-digit number. How many values are possible for the original integer?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Un numero a due cifre rimane a 3 cifre dopo essere moltiplicato per 7 due volte

C’è un intero positivo a due cifre. Quando viene moltiplicato per $7$, diventa un numero a tre cifre. Quando viene moltiplicato di nuovo per $7$, è ancora un numero a tre cifre. Quanti valori sono possibili per il numero intero originale?

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Pick one card per suit so sum is multiple of 7

There are $4$ spade cards labeled with the numbers $1,2,3,4$ (one each), $6$ heart cards labeled with the numbers $1,2,3,\dots ,6$ (one each), and $8$ diamond cards labeled with the numbers $1,2,3,\dots ,8$ (one each). When one card is chosen from each suit, for a total of $3$ cards, in how many ways can the choice be made so that the sum of the numbers on the chosen $3$ cards is a multiple of $7$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Scegli una carta per costume in modo che la somma sia multiplo di 7

Ci sono le schede di spade $4$ etichettate con i numeri $1,2,3,4$ (una ciascuna), le schede di cuore $6$ etichettate con i numeri $1,2,3,\dots ,6$ (una ciascuna) e le schede di diamante $8$ etichettate con i numeri $1,2,3,\dots ,8$ (una ciascuna). Quando una carta viene scelta da ciascuna combinazione, per un totale di carte $3$, in quanti modi può essere fatta la scelta in modo che la somma dei numeri sulle carte $3$ scelte sia un multiple di $7$?

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Square with internal division points; find length BV

There is a square $ABCD$ with side length $3$. Let $P$ be the point dividing $AB$ in the ratio $2:1$. Let $Q,R$ be the points dividing $CD$ in the ratios $1:2$ and $2:1$ respectively. Let $S,T$ be the points dividing $DA$ in the ratios $1:2$ and $2:1$ respectively. Let $U$ be the intersection of line $PR$ and line $QT$, and let $V$ be the intersection of line $SU$ and line $BC$. Find the length of segment $BV$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrato con punti di divisione interna; trovare lunghezza BV

C’è un quadrato $ABCD$ con lunghezza laterale $3$. $P$ sia il punto di divisione $AB$ nel rapporto $2:1$. $Q,R$ siano i punti che dividono $CD$ nei rapporti $1:2$ e $2:1$ rispettivamente. $S,T$ siano i punti che dividono $DA$ nei rapporti $1:2$ e $2:1$ rispettivamente. Il $U$ è l’intersezione della linea $PR$ e della linea $QT$, e il $V$ è l’intersezione della linea $SU$ e della linea $BC$. Trova la lunghezza del segmento $BV$.

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Three-digit m, n differing in one digit, n multiple of m

There are three-digit positive integers $m,n$ such that $m$ and $n$ differ in exactly one digit (in the same position). Moreover, $n$ is a multiple of $m$. How many pairs $(m,n)$ are possible?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

M a tre cifre, n differente in una cifra, n multiple di m

Esistono numeri interi positivi a tre cifre $m,n$ in modo tale che $m$ e $n$ differiscono esattamente in una cifra (nella stessa posizione). Inoltre, $n$ è un multiple di $m$. Quante coppie $(m,n)$ sono possibili?

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Count pairs with sqrt(2)n < m, given count for m<sqrt(2)n<2m

It is known that the number of pairs $(m,n)$ of positive integers at most $100$ satisfying $m<\sqrt{2}n<2m$ is exactly $2958$. How many pairs $(m,n)$ of positive integers at most $100$ satisfy $\sqrt{2}n<m$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio di coppie con sqrt(2)n < m, dato il conteggio per m<sqrt(2)n<2m

È noto che il numero di coppie $(m,n)$ di integri positivi al massimo $100$ soddisfa $m<\sqrt{2}n<2m$ è esattamente $2958$. Quante coppie $(m,n)$ di integri positivi al massimo $100$ soddisfano $\sqrt{2}n<m$?

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Balance scale: remove weights from lower pan until balanced and empty

There is a balance scale. On the left pan there are weights of mass $22,24,26,28$ (one each), and on the right pan there are weights of mass $23,25,27,29$ (one each). The pan whose total mass of the weights on it is larger tips down; when the totals are equal, the scale balances. At each moment, one weight is removed from the pan that is currently tipped down; this is repeated until the scale balances. In how many ways can the removals be carried out so that, at the moment the scale balances, all the weights have been removed?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Scala di equilibrio: rimuovere i pesi dalla vasca inferiore fino a che non siano bilanciati e svuotati

C’è una scala di equilibrio. Sul pannello sinistro ci sono pesi di massa $22,24,26,28$ (uno ciascuno) e sul pannello destro ci sono pesi di massa $23,25,27,29$ (uno ciascuno). La padella la cui massa totale dei pesi su di essa è più grande punta verso il basso; quando i totali sono uguali, la scala si bilancia. A ogni momento, un peso viene rimosso dalla padella che è attualmente inclinata verso il basso; questo viene ripetuto fino a quando la scala si bilancia. In quanti modi si possono effettuare le rimozioni in modo che, al momento in cui le bilanci della bilancia sono state eliminate tutte le pesate?

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Regular heptagon with marked points; find angle PTS

There is a regular heptagon $ABCDEFG$ with side length $1$. The points $P,Q,R,S$ lie on segments $AB,BC,CD,EF$ respectively, and satisfy $BP=CQ=DR=FS=\frac{1}{3}$. Let $T$ be the intersection of segment $PR$ and segment $QS$. Find the measure of $\angle PTS$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Eptagone regolare con punti segnati; angolo di ricerca PTS

C’ è un heptagone regolare $ABCDEFG$ con lunghezza laterale $1$. I punti $P,Q,R,S$ si trovano rispettivamente sui segmenti $AB,BC,CD,EF$ e soddisfano $BP=CQ=DR=FS=\frac{1}{3}$. Il segmento $T$ è l’intersezione del segmento $PR$ e del segmento $QS$. Trova la misura di $\angle PTS$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Fill 3x4 grid with 1-12 preserving row/column relations of reference grid

On the left there is a grid of $4$ rows and $3$ columns, and on the right there is a grid of $3$ rows and $4$ columns. The left grid is filled with numbers as shown below, row by row: $1,2,3$ / $4,5,6$ / $7,8,9$ / $10,11,12$. The right grid is initially empty. Into each cell of the right grid write one integer between $1$ and $12$ inclusive, so that the following two conditions hold: \begin{itemize} \item If $n$ and $m$ are written in the same row of the right grid, then in the left grid $n$ is also written in the same row as $m$. \item If $n$ and $m$ are written in the same column of the right grid, then in the left grid $n$ is also written in the same column as $m$. \end{itemize} How many possible results of the filling are there? (Note: a number may be written two or more times in the right grid, and some numbers need not be written at all.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Riempire la griglia 3x4 con 1-12 per preservare le relazioni riga/colonna della griglia di riferimento

A sinistra è una griglia di righe $4$ e colonne $3$, e a destra è una griglia di righe $3$ e colonne $4$. La griglia sinistra è riempita di numeri come mostrato di seguito, riga per riga: $1,2,3$ / $4,5,6$ / $7,8,9$ / $10,11,12$. La griglia destra è inizialmente vuota. In ogni cella della griglia destra scrivere un intero tra $1$ e $12$ inclusi, in modo che si applichino le seguenti due condizioni: \begin{itemize} \item Se $n$ e $m$ sono scritte nella stessa riga della griglia destra, allora nella griglia sinistra $n$ è anche scritto nella stessa riga come $m$. \item Se $n$ e $m$ sono scritte nella stessa colonna della griglia destra, nella griglia sinistra $n$ è anche scritta nella stessa colonna di $m$. Quanti possibili risultati del riempimento ci sono? (Nota: un numero può essere scritto due o più volte nella griglia destra, e alcuni numeri non devono essere scritti affatto.)

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Count n<=999 with digit sum of 9n equal to 27

For a positive integer $n$, let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n$. Find the number of positive integers $n$ at most $999$ that satisfy $S(9n)=27$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta n<=999 con somma di 9n uguale a 27

Per un intero positivo $n$, $S(n)$ indica la somma delle cifre di $n$. Trova il numero di integri positivi $n$ al massimo $999$ che soddisfano $S(9n)=27$.

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Possible multisets of 30 scores when each of 3 problems solved by 10

Thirty students took a test consisting of $3$ problems. Solving the problems correctly is worth $1$ point, $2$ points, and $4$ points respectively, and an incorrect answer is worth $0$ points. Given that, in the test results, each of the $3$ problems was solved correctly by exactly $10$ students, how many possibilities are there for the collection of the $30$ students’ scores? (Collections that differ only in the order of the scores are regarded as the same.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Multiinsiemi possibili di 30 punteggi quando ciascuno dei 3 problemi è risolto da 10

Trenta studenti hanno fatto un test composto da problemi $3$. Risolvere correttamente i problemi vale rispettivamente $1$ punti, $2$ punti e $4$ punti, e una risposta errata vale $0$ punti. Dato che, nei risultati dei test, ciascuno dei problemi $3$ è stato risolto correttamente da studenti $10$, quante possibilità ci sono per la raccolta dei punteggi $30$ degli studenti? (Le collezioni che differiscono solo nell’ordine dei punteggi sono considerate uguali.)

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Ordered triples (a,b,c)<=2010 with a+b+c a multiple of each

How many triples $(a,b,c)$ of positive integers at most $2010$ are there such that $a+b+c$ is a multiple of each of $a$, $b$, and $c$? (Triples in which the three numbers appear in different orders are counted as distinct.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triplici ordinati (a,b,c) <=2010 con a+b+c un multiple di ciascuno

Quanti triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi al massimo $2010$ esistono tali che $a+b+c$ sia un multiple di ciascuno di $a$, $b$ e $c$? (I tre numeri in cui i tre numeri figurano in ordini diversi vengono contati come distinti.)

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Express circumradius of triangle APQ via two inradii, angle A=60

There is a triangle $ABC$ with $\angle BAC=60^{\circ }$. The bisectors of $\angle ABC$ and $\angle ACB$ meet sides $AC$ and $AB$ at points $P$ and $Q$ respectively. Let $r_1$ be the inradius of triangle $ABC$ and let $r_2$ be the inradius of triangle $APQ$. Express the circumradius of triangle $APQ$ in terms of $r_1$ and $r_2$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Espresso il circonradio del triangolo APQ attraverso due radii, angolo A=60

C’è un triangolo $ABC$ con $\angle BAC=60^{\circ }$. I bisettori di $\angle ABC$ e $\angle ACB$ incontrano la parte $AC$ e $AB$ rispettivamente ai punti $P$ e $Q$. Il $r_1$ deve essere il raggio del triangolo $ABC$ e il $r_2$ deve essere il raggio del triangolo $APQ$. Esprimere il radio circundante del triangolo $APQ$ in termini di $r_1$ e $r_2$.

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