Japan Junior Mathematical Olympiad 2011 — Honsen (Final)

Cyclic hexagon with three pairs of parallel sides; prove fourth pair also parallel

A hexagon $ABCDEF$ is inscribed in a circle. Suppose that $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, and $CD\parallel FA$. Prove that $AB\parallel CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Esagono ciclico con tre coppie di lati paralleli; dimostrare che anche la quarta coppia è parallela

Un esagono $ABCDEF$ è inserito in un cerchio. Supponiamo che $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$ e $CD\parallel FA$. Prove che $AB\parallel CD$.

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n a perfect square; find the n smallest integers expressible as product of two factors each at most n

Let $n$ be a perfect square. Consider all integers that can be expressed as a product $a\times b$ where $a$ and $b$ are positive integers each at most $n$ (not necessarily distinct). Among these integers, list the $n$ smallest ones (in increasing order), expressing them in terms of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

n un quadrato perfetto; trovare n numeri interi più piccoli espressi come prodotto di due fattori ciascuno al massimo n

Lascia che $n$ sia un quadrato perfetto. Si consideri tutti gli enti che possono essere espressi come un prodotto $a\times b$ dove $a$ e $b$ sono enteri positivi ciascuno al massimo $n$ (non necessariamente distinti). Tra questi enti, elencare i più piccoli $n$ (in ordine crescente), esprimendoli in termini di $n$.

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Acute triangle, orthocenter, two circumcircles meet altitude lines outside; prove AE = AF

Let $H$ be the orthocenter of an acute triangle $ABC$, and let $D$ be the intersection of lines $AH$ and $BC$. Let $E$ be the point (other than $A$ and $B$) at which the circumcircle of triangle $ABD$ meets line $CH$, where $E$ lies outside triangle $ABC$. Let $F$ be the point (other than $A$ and $C$) at which the circumcircle of triangle $ACD$ meets line $BH$, where $F$ lies outside triangle $ABC$. Prove that $AE=AF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, centro ortografico, due circoncircoli che incontrano le linee di altitudine all’esterno; dimostrare AE = AF

Che $H$ sia l’ortocentro di un triangolo acuto $ABC$, e che $D$ sia l’intersezione delle linee $AH$ e $BC$. $E$ deve essere il punto (diversi da $A$ e $B$) in cui il circoncircolo del triangolo $ABD$ incontra la linea $CH$, dove $E$ si trova fuori dal triangolo $ABC$. Il punto $F$ deve essere il punto (diversi da $A$ e $C$) in cui il circoncircolo del triangolo $ACD$ incontra la linea $BH$, dove $F$ si trova fuori dal triangolo $ABC$. Provare che $AE=AF$.

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Find all positive integer pairs p,q allowing indefinite blackboard operation avoiding multiples

Let $p$ and $q$ be positive integers. First, write the integer $1$ on a blackboard, then repeat the following operation:

\textbf{Operation:} Choose one of $p$ or $q$, and write on the blackboard the number obtained by adding the chosen value to the number currently on the blackboard.

Find all pairs $(p,q)$ of positive integers for which it is possible to repeat the operation indefinitely (for any number of steps, in any order of choices) without ever writing a multiple of $p$ or a multiple of $q$ on the blackboard.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Invarianti, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi p,q che consentono un’operazione di scheda nera indefinita evitando i multipli

Lasciate che $p$ e $q$ siano integri positivi. In primo luogo, scrivere il numero intero $1$ su una lavagna e poi ripetere la seguente operazione:

\textbf{Operazione:} Scegli uno di $p$ o $q$ e scrivi sulla lavagna il numero ottenuto aggiungendo il valore scelto al numero attualmente sulla lavagna.

Trova tutte le coppie $(p,q)$ di numeri interi positivi per le quali è possibile ripetere l’operazione a tempo indeterminato (per qualsiasi numero di passaggi, in qualsiasi ordine di scelte) senza mai scrivere un multiple di $p$ o un multiple di $q$ sulla scheda nera.

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Arrange 1..n each n times; determine for which n an arrangement avoiding a remainder condition exists

Let $n\ge 2$ be an integer. Consider arrangements of the integers $1,2,\dots ,n$, each appearing exactly $n$ times, in a row of $n^2$ terms. Determine for which values of $n$ there exists an arrangement satisfying the following condition:

\textbf{Condition:} For every integer $k$ with $1\le k\le n^2-1$, the remainder when the sum of the first $k$ terms is divided by $n$ is \emph{different} from the remainder when $k$ is divided by $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Arrangement 1..n ogni n volte; determinare per quale n esiste un’arrangimento che evita una condizione residuale

$n\ge 2$ sia un numero intero. Considerate le disposizioni dei numeri interi $1,2,\dots ,n$, ognuno apparendo esattamente $n$ volte, in una fila di termini $n^2$. Determinare per quali valori di $n$ esiste un sistema che soddisfa la seguente condizione:

\textbf{Condition:} Per ogni intero $k$ con $1\le k\le n^2-1$, il rimanente quando la somma dei primi termini $k$ è divisa da $n$ è \emph{differente} dal rimanente quando $k$ è divisa da $n$.

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