Japan Junior Mathematical Olympiad 2011 — Yosen (Preliminary)

Max value of xy with z two-digit, y one-digit, all digits distinct

Let $z$ be a 2-digit positive integer, $y$ a 1-digit positive integer, and $x$ a 1-digit positive integer. The tens digit of $z$, the units digit of $z$, and $y$ are all different from each other. Find the maximum value of $xy$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Valore massimo di xy con z a due cifre, y a una cifra, tutti cifre distinte

$z$ sia un intero positivo a 2 cifre, $y$ un intero positivo a 1 cifre e $x$ un intero positivo a 1 cifre. Le decine di $z$, le unità di $z$ e $y$ sono tutte diverse tra loro. Trova il valore massimo di $xy$.

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Find BC in quadrilateral with two 60-degree angles and a right angle

In quadrilateral $ABCD$, $\angle DAB=90^{\circ }$, $\angle ABC=\angle BCD=60^{\circ }$, $AB=5$, $CD=4$. Find $BC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca BC in quadrilaterale con due angoli di 60 gradi e un angolo retto

In quadrilaterali $ABCD$, $\angle DAB=90^{\circ }$, $\angle ABC=\angle BCD=60^{\circ }$, $AB=5$, $CD=4$. Trova $BC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Smallest positive integer divisible by 2011 with last four digits 9999

Among positive integers whose last four digits are $9999$, find the smallest one that is divisible by $2011$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero intero positivo più piccolo divisibile entro il 2011 con le ultime quattro cifre 9999

Tra i numeri interi positivi le cui ultime quattro cifre sono $9999$, trova il più piccolo che sia divisibile da $2011$.

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Find area of triangle ADE given areas of quadrilaterals DMNE and MBCN

In triangle $ABC$, let $D$ be a point on side $AB$ and $E$ a point on side $AC$ such that line $DE$ is parallel to $BC$. Let $M$ be the midpoint of $BD$ and $N$ the midpoint of $CE$. Given that the area of quadrilateral $DMNE$ is $1$ and the area of quadrilateral $MBCN$ is $2$, find the area of triangle $ADE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo ADE con le aree dei quadrilaterali DMNE e MBCN

Nel triangolo $ABC$, $D$ sia un punto sul lato $AB$ e $E$ un punto sul lato $AC$ in modo tale che la linea $DE$ sia parallela a $BC$. Il $M$ deve essere il punto medio di $BD$ e $N$ il punto medio di $CE$. Poiché l’area del quadrilaterale $DMNE$ è $1$ e l’area del quadrilaterale $MBCN$ è $2$, trovare l’area del triangolo $ADE$.

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Minimum grapes after spells restore apples and grapes to 2011 with mandarins exceeding 2011

A magician can use any of the following three spells any number of times:\n\nSpell A: Change 1 mandarin and 1 grape into 2 apples.\nSpell B: Change 1 grape and 1 apple into 3 mandarins.\nSpell C: Change 1 apple and 1 mandarin into 4 grapes.\n\nStarting from a state with $2011$ apples, $2011$ mandarins, and $2011$ grapes, the magician uses the spells (each at least once) and ends up with exactly $2011$ apples, exactly $2011$ grapes, and at least $2011$ mandarins. What is the minimum number of mandarins at the end?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di uve dopo le stagioni ripristinare le mele e le uve al 2011 con mandarine superiori al 2011

Un mago può utilizzare uno dei seguenti tre incantesimi in qualsiasi numero di volte:\n\nL’incantesimo A: Cambia 1 mandarino e 1 uva in 2 mele.\nL’incantesimo B: Cambia 1 uva e 1 mela in 3 mandarini.\nL’incantesimo C: Cambia 1 mela e 1 mandarino in 4 uve.\n\nA partire da uno stato con mele $2011$, mandarini $2011$ e uve $2011$, il mago utilizza gli incantesimi (ogni una almeno una volta) e termina con mele $2011$, esattamente $2011$ uve, e almeno $2011$ mandarini. Qual è il numero minimo di mandarini alla fine?

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Find all 4-card sets with distinct 1-digit integers giving 4 distinct sums and 3 distinct products

There are 4 cards, each with a distinct positive single-digit integer written on it. When any 2 of the 4 cards are chosen and their numbers are added, exactly $4$ distinct sums can be obtained in total. When any 2 of the 4 cards are chosen and their numbers are multiplied, exactly $3$ distinct products can be obtained in total. Find all possible sets of 4 integers that could be written on the cards.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli insiemi di carte a 4 con numeri interi a 1 cifra distinti che danno 4 somme distinte e 3 prodotti distinti

Ci sono 4 carte, ognuna con un numero intero positivo singolo-cifrato scritto su di essa. Quando si scelgono due delle quattro carte e si aggiungono i loro numeri, possono essere ottenute somme distinte esattamente $4$ in totale. Quando si scelgono due delle quattro carte e si moltiplicano i loro numeri, si possono ottenere esattamente $3$ prodotti distinti in totale. Trova tutte le possibili serie di 4 enti che potrebbero essere scritte sulle carte.

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Smallest integer n ≥ 11 with exactly 23 perfect squares in [n, n+2011]

Find the smallest positive integer $n\ge 11$ such that among the integers $n,n+1,n+2,\dots ,n+2011$, there are exactly $23$ perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il numero intero più piccolo n ≥ 11 con esattamente 23 quadrati perfetti in [n, n+2011]

Trova il più piccolo intero positivo $n\ge 11$ in modo che tra gli interi $n,n+1,n+2,\dots ,n+2011$, ci siano esattamente $23$ quadrati perfetti.

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Area of triangle ABQ: two right isosceles triangles with collinear vertex triples

Triangle $ABC$ and triangle $PQR$ are both right isosceles triangles with $\angle ACB=\angle PQR=90^{\circ }$, $AB=5$, $PR=3$. The three points $B$, $Q$, $R$ are collinear, and the three points $A$, $P$, $C$ are collinear. Find the area of triangle $ABQ$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area del triangolo ABQ: due triangoli a destra con triangoli di vertici collineari

Il triangolo $ABC$ e il triangolo $PQR$ sono entrambi triangoli a destra con $\angle ACB=\angle PQR=90^{\circ }$, $AB=5$, $PR=3$. I tre punti $B$, $Q$, $R$ sono collineari e i tre punti $A$, $P$, $C$ sono collineari. Trova l’area del triangolo $ABQ$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_jjmo9yq_yosen__Q08

Smallest n with S(n²) = S(n) − 7, where S is the sum-of-divisors function

For a positive integer $k$, let $S(k)$ denote the sum of all positive divisors of $k$. Find the smallest positive integer $n$ such that $S(n^2)=S(n)-7$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N più piccolo con S(n2) = S(n) − 7, dove S è la funzione somma dei divisori

Per un intero positivo $k$, $S(k)$ indica la somma di tutti i divisori positivi di $k$. Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ tale da $S(n^2)=S(n)-7$.

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Count integers up to 1000 whose digit sum is unchanged when multiplied by 5

How many positive integers not exceeding $1000$ have the property that the sum of their digits does not change when the number is multiplied by $5$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi fino a 1000 la cui somma di cifre è invariata quando moltiplicata per 5

Quanti integri positivi non superiori $1000$ hanno la proprietà che la somma delle loro cifre non cambia quando il numero è moltiplicato per $5$?

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Count colorings of 8×8 grid symmetric about both diagonals with at most one per row and column

Unit squares of side length $1$ are arranged in $8$ rows and $8$ columns to form an $8\times 8$ square $ABCD$. Some of these unit squares are to be colored (painted) subject to the following three conditions:\n\n$\bullet$ The arrangement of colored squares is symmetric with respect to both diagonals $AC$ and $BD$ of the square.\n$\bullet$ In every row, at most one unit square is colored.\n$\bullet$ In every column, at most one unit square is colored.\n\nHow many such colorings are possible (including the coloring where no square is colored)?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggiamento di colori di 8 ×8 in griglia simmetrica su entrambe le diagonali con al massimo una per riga e colonna

I quadrati di unità di lunghezza laterale $1$ sono disposti in righe $8$ e colonne $8$ per formare un quadrato $8\times 8$ $ABCD$. Alcuni di questi quadrati unitari devono essere colorati (pintati) soggetti alle seguenti tre condizioni:\n\n$\bullet$ L’arrangiamento dei quadrati colorati è simmetrico rispetto a entrambe le diagonali $AC$ e $BD$ del quadrato.\n$\bullet$ In ogni riga, al massimo un quadrato unitario è colorato.\n$\bullet$ In ogni colonna, al massimo un quadrato unitario è colorato.\n\nQuante colorazioni sono possibili (compresa la colorazione in cui nessun quadrato è colorato)?

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Area of triangle ABC given incenter I, circumcenter O, AB=2, AC=3, angle AIO=90°

Let $I$ be the incenter and $O$ the circumcenter of triangle $ABC$. Given $AB=2$, $AC=3$, and $\angle AIO=90^{\circ }$, find the area of triangle $ABC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area del triangolo ABC dato incentro I, circoncentro O, AB=2, AC=3, angolo AIO=90°

$I$ sia l’incentro e $O$ il circoncentro del triangolo $ABC$. Date $AB=2$, $AC=3$ e $\angle AIO=90^{\circ }$, si trova l’area del triangolo $ABC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_jjmo9yq_yosen__Q12