Japan Mathematical Olympiad 2001 — Honsen (Final)

m×n grid coloring: each black cell has odd many black neighbours; show m,n odd

An $m\times n$ grid of unit squares is given. Each cell is coloured either black or white satisfying the following condition: for every black cell, the number of black cells sharing an edge with it is odd. Show that both $m$ and $n$ must be odd.

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Invarianti, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

m×n colorazione della griglia: ogni cella nera ha parecchi vicini neri; mostrare m,n odd

È data una griglia $m\times n$ di quadrati unitari. Ogni cellula è colorata in bianco o nero soddisfacendo la seguente condizione: per ogni cellula nera, il numero di cellule nere che condividono un bordo con essa è strano. Indicare che sia $m$ che $n$ devono essere pari.

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Digit-product map f(n); find all positive integers n with f(n)=n

For a positive integer $n$ written in decimal as $n=\overline{a_m{a}_{m-1}\cdots a_1}$ with $a_m\ne 0$ and $0\le a_i\le 9$, define $f(n)=(a_m+1)(a_{m-1}+1)\cdots (a_1+1).$ Find all positive integers $n$ satisfying $f(n)=n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mapa di prodotto digito f(n); trovare tutti gli integri positivi n con f(n)=n

Per un intero positivo $n$ scritto in decimale come $n=\overline{a_m{a}_{m-1}\cdots a_1}$ con $a_m\ne 0$ e $0\le a_i\le 9$, definire $f(n)=(a_m+1)(a_{m-1}+1)\cdots (a_1+1).$ Trovare tutti gli integri positivi $n$ soddisfacenti $f(n)=n$.

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For non-negative reals with a≥b≥c≥0, prove (a+b+c)(a³+b³+c³)≤4(a⁶+b⁶+c⁶); find equality cases

Let $a,b,c$ be non-negative real numbers with $a\ge b\ge c\ge 0$. Prove that $(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\le 4(a^6+b^6+c^6),$ and find all conditions under which equality holds.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i reali non negativi con un ≥b≥c≥0, provare (a+b+c)(a3+b3+c3)≤4(a6+b6+c6); trovare casi di uguaglianza

$a,b,c$ siano numeri reali non negativi con $a\ge b\ge c\ge 0$. Prove che $(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\le 4(a^6+b^6+c^6),$ e trova tutte le condizioni in cui l’uguaglianza esiste.

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Any prime p and positive m: some multiple of p has ≥m consecutive zeros in decimal

Let $p$ be a prime and $m$ a positive integer. Show that there exists a positive integer $n$ such that the decimal representation of $p\times n$ contains at least $m$ consecutive zeros.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Qualsiasi primo p e m positivo: qualche moltiplo di p ha ≥m zeri consecutivi in decimale

Lasciate che $p$ sia un primo e $m$ un intero positivo. Indicare che esiste un intero positivo $n$ tale che la rappresentazione decimale di $p\times n$ contenga almeno $m$ zeri consecutivi.

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Triangles ABC, PQR: midpoint and angle-bisector conditions; prove AB+AC=PQ+PR

In a plane, triangles $ABC$ and $PQR$ satisfy both of the following conditions:\n(1) Point $A$ is the midpoint of $QR$, and point $P$ is the midpoint of $BC$.\n(2) Line segment $QR$ is the angle bisector of $\angle BAC$, and line segment $BC$ is the angle bisector of $\angle QPR$.\nProve that $AB+AC=PQ+PR$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli ABC, PQR: condizioni di punto medio e angolo-bisettore; dimostrare AB+AC=PQ+PR

In un piano, i triangoli $ABC$ e $PQR$ soddisfano entrambe le seguenti condizioni:\n(1) Il punto $A$ è il punto medio di $QR$, e il punto $P$ è il punto medio di $BC$.\n(2) Il segmento di linea $QR$ è il bisettore angolare di $\angle BAC$, e il segmento di linea $BC$ è il bisettore angolare di $\angle QPR$.\nProva che $AB+AC=PQ+PR$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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