Japan Mathematical Olympiad 2001 — Yosen (Preliminary)

Smallest divisor giving remainder 114

When $2001$ is divided by a certain positive integer $n$, the remainder is $114$. Among such $n$, find the smallest one. Note that $n>114$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 629 Fonte: apri PDF

Il divisore più piccolo che dà il rimanente 114

Quando $2001$ è diviso da un certo intero positivo $n$, il rimanente è $114$. Tra tali $n$, trova il più piccolo. Si noti che $n>114$.

Risposta: 629 src_jmo11yq_yosen__Q01

Side of 5 congruent squares packed in 8 by 7 rectangle

Inside a rectangle of height $8$ and width $7$, five congruent squares are packed as shown in the figure below. Find the length of a side of one of the squares.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’insieme di 5 quadrati congruenti confezionati in rettangolo 8 x 7

All’interno di un rettangolo di altezza $8$ e larghezza $7$, sono imballati cinque quadrati congruenti come mostrato nella figura seguente. Trova la lunghezza di un lato di uno dei quadrati.

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Subsets of 1..2001 with odd sum

From the $2001$ natural numbers $1,2,3,\dots ,2001$, several numbers are chosen all at once. How many ways are there to choose them so that the total sum of the chosen numbers is odd? By convention, when no number is chosen the sum is $0$; also, choosing all $2001$ numbers is allowed.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2^{2000}$ Fonte: apri PDF

Sottosette di 1..2001 con somma impar

Dalle cifre naturali $2001$ $1,2,3,\dots ,2001$ vengono scelte diverse cifre contemporaneamente. Quanti modi ci sono per sceglierne in modo che la somma totale dei numeri scelti sia strana? Per convenzione, quando nessun numero è scelto, la somma è $0$; inoltre, è consentito scegliere tutti i numeri $2001$.

Risposta: 2^{2000} src_jmo11yq_yosen__Q03

Inradius of triangle AFE with inscribed equilateral triangle

There is an equilateral triangle $ABC$ with side length $a$. Points $D,E,F$ lie on sides $BC,CA,AB$ respectively, and triangle $DEF$ is an equilateral triangle with side length $b$ (where $b<a$). Find the radius of the inscribed circle of triangle $AFE$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Radiale del triangolo AFE con triangolo equilaterale inciso

C’è un triangolo equilaterale $ABC$ con lunghezza laterale $a$. I punti $D,E,F$ si trovano rispettivamente sui lati $BC,CA,AB$ e il triangolo $DEF$ è un triangolo equilaterale con lunghezza laterale $b$ (dove $b<a$). Trova il raggio del cerchio del triangolo $AFE$.

src_jmo11yq_yosen__Q04

Sum of 2001st powers mod 13

Find the remainder when $1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots +2000^{2001}+2001^{2001}$ is divided by $13$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0 Fonte: apri PDF

Somma dei poteri del 2001 mod 13

Trova il rimanente quando $1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots +2000^{2001}+2001^{2001}$ è diviso da $13$.

Risposta: 0 src_jmo11yq_yosen__Q05

Max distance from fixed point to line PQ with fixed quadrilateral area

On the coordinate plane there are the origin $O(0,0)$ and the point $A(1,0)$. The point $P$ moves along the half-line $x=0,y\ge 1$, and the point $Q$ moves along the half-line $x=1,y\ge 1$, in such a way that the area of the quadrilateral $OAQP$ is always $2$. Find the maximum possible value of the distance from the point $B\left(\frac{1}{4},0\right)$ to the line $PQ$. Here, the distance from $B$ to the line $PQ$ means the length of the perpendicular dropped from $B$ to the line $PQ$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Maxima distanza dal punto fisso alla linea PQ con superficie quadrilaterale fissa

Sul piano delle coordinate si trovano l’origine $O(0,0)$ e il punto $A(1,0)$. Il punto $P$ si muove lungo la metà $x=0,y\ge 1$ e il punto $Q$ si muove lungo la metà $x=1,y\ge 1$, in modo tale che l’area del quadrilaterale $OAQP$ sia sempre $2$. Trova il valore massimo possibile della distanza dal punto $B\left(\frac{1}{4},0\right)$ alla linea $PQ$. Qui, la distanza da $B$ alla linea $PQ$ significa la lunghezza della perpendicolare scesa da $B$ alla linea $PQ$.

src_jmo11yq_yosen__Q06

Count 4x4 Latin squares with 2x2 block condition

Make a $4\times 4$ grid of cells and write in the digits from $1$ to $4$, four of each (one digit per cell), subject to the following three conditions: (i) In each row, $1,2,3,4$ each appear exactly once. (ii) In each column, $1,2,3,4$ each appear exactly once. (iii) When the whole grid is divided into four parts by the bold lines as shown in the figure below (the four $2\times 2$ blocks), each part contains $1,2,3,4$ each exactly once. How many such ways of writing in the digits are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 288 Fonte: apri PDF

Contare quadrati latini 4x4 con condizione di blocco 2x2

Fare una griglia di celle $4\times 4$ e scrivere in cifre da $1$ a $4$, quattro di ciascuna (una cifra per cella), fatte salve le seguenti tre condizioni: (i) In ogni riga, $1,2,3,4$ appaiono ciascuna esattamente una volta. (ii) In ogni colonna, $1,2,3,4$ appaiono esattamente una volta. (iii) Quando l’intera griglia è divisa in quattro parti con le linee in grasso come illustrato nella figura seguente (i quattro blocchi $2\times 2$), ciascuna parte contiene $1,2,3,4$ esattamente una volta. Quanti sono questi modi di scrivere in cifre?

Risposta: 288 src_jmo11yq_yosen__Q07

Common real roots of two polynomial equations

Find all real numbers $x$ that satisfy both of the following equations simultaneously: $x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0$ $x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rede reali comuni di due equazioni polinomiche

Trova tutti i numeri reali $x$ che soddisfano contemporaneamente entrambe le seguenti equazioni: $x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0$ $x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0$

src_jmo11yq_yosen__Q08

Find angle BAC given AB=CD and angle bisector

In a triangle $ABC$ with $\angle ABC=2\angle ACB$, let $D$ be the intersection of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$. When $AB=CD$, how many degrees is $\angle BAC$? Here, the length of a segment $XY$ is denoted by $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Ricerca l’angolo BAC dato AB=CD e il bisettore d’angolo *

In un triangolo $ABC$ con $\angle ABC=2\angle ACB$, $D$ deve essere l’intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$. Quando $AB=CD$, quanti gradi è $\angle BAC$? Qui, la lunghezza di un segmento $XY$ è indicata da $XY$.

src_jmo11yq_yosen__Q09

Regions cut by 10 planes in general position

In space there are $10$ distinct planes. Every $2$ of the planes share exactly one line, every $3$ of the planes share exactly one point, and no $4$ of the planes have a common point. Into how many parts do these $10$ planes divide space?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 176 Fonte: apri PDF

Regioni tagliate di 10 piani in posizione generale

Nel spazio ci sono $10$ piani distinti. Ogni $2$ dei piani condivide esattamente una linea, ogni $3$ dei piani condivide esattamente un punto e nessun $4$ dei piani ha un punto comune. In quante parti dividono gli aerei $10$ lo spazio?

Risposta: 176 src_jmo11yq_yosen__Q10

Count 3-digit n with S(6n) >= 12 S(n)

For a positive integer $n$, let $S(n)$ denote the sum of the positive divisors of $n$. How many three-digit positive integers $n$ satisfy $S(6n)\ge 12S(n)$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Contare n a 3 cifre con S(6n) >= 12 S(n) *

Per un intero positivo $n$, $S(n)$ indica la somma dei divisori positivi di $n$. Quanti numeri interi positivi a tre cifre $n$ soddisfano $S(6n)\ge 12S(n)$?

src_jmo11yq_yosen__Q11

Min S for 5x9 grid summing to 1 with bounded 2x3 blocks

There is a $5\times 9$ grid of cells. In each cell we write one nonnegative real number (a real number $\ge 0$), so that the following conditions are satisfied: (i) The total sum of the $45$ written real numbers is $1$. (ii) However a $2\times 3$ rectangular frame is placed onto the grid (oriented either vertically or horizontally, in any aligned position), the sum of the $6$ numbers inside it is at most $S$. Find the minimum value of the real number $S$ for which such a way of writing the numbers exists.

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Min S per una griglia 5x9 sommata a 1 con blocchi 2x3 delimitati

C’è una griglia di cellule $5\times 9$. In ogni cella si scrive un numero reale non negativo (un numero reale $\ge 0$), in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni: (i) La somma totale dei numeri reali scritti $45$ è $1$. (ii) Tuttavia, se sulla griglia è posta una cornice rettangolare $2\times 3$ (orientata verticalmente o orizzontalmente, in qualsiasi posizione allineata), la somma dei numeri $6$ all’interno è al massimo $S$. Trova il valore minimo del numero reale $S$ per il quale esiste un tale modo di scrivere i numeri.

src_jmo11yq_yosen__Q12