Japan Mathematical Olympiad 2002 — Honsen (Final)

Product MPMQ constant for inscribed tangent circle*

On the circumference of a circle $C_0$ there are three distinct points $A$, $M$, $B$ with $AM=MB$. On the arc $AB$ lying on the opposite side of line $AB$ from $M$, take a point $P$. Let $C_1$ be the circle that is internally tangent to $C_0$ at $P$ and tangent to the chord $AB$, and let $Q$ be the point of tangency of $C_1$ with the chord $AB$. Show that, regardless of the choice of the point $P$, the product $MP\cdot MQ$ of $MP$ and $MQ$ is constant. (Here, for two points $X$, $Y$, the length of the segment $XY$ is denoted by $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Produzione MPMQ costante per il cerchio tangente inciso*

La circonferenza di un cerchio $C_0$ comprende tre punti distinti $A$, $M$, $B$ e $AM=MB$. Per l’arco $AB$ situato sul lato opposto della linea $AB$ da $M$, prendere un punto $P$. Il $C_1$ è il cerchio che è tangente internamente a $C_0$ a $P$ e tangente all’accordo $AB$, e il $Q$ è il punto di tangenza di $C_1$ con l’accordo $AB$. Indicare che, indipendentemente dalla scelta del punto $P$, il prodotto $MP\cdot MQ$ di $MP$ e $MQ$ è costante. (Qui, per due punti $X$, $Y$, la lunghezza del segmento $XY$ è indicata da $XY$.)

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Flipping coins on a circle by parity operation

Let $n$ be a natural number with $n\ge 3$. There are $n$ coins, each distinguishable as heads or tails, arranged around a circle. Consider the “operation” of simultaneously flipping all coins that satisfy the following condition. Condition: among the three coins consisting of that coin together with the two coins on either side of it, the number of coins showing heads is odd. Initially, exactly one of the coins is showing heads. Starting from this state, the above operation is repeated several times. Answer the following questions. (1) Show that if $n$ is odd, it is impossible for all coins to become tails (face down). (2) Determine for which $n$ it is possible, after performing the operation some number of times, for all coins to be facing down. Moreover, in those cases, express in terms of $n$ after how many operations all coins first become face down.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Flipping of coins on a circle by parity operation

$n$ sia un numero naturale con $n\ge 3$. Ci sono monete $n$, ognuna distinguibile come testa o coda, disposte attorno a un cerchio. Considerate l‘“operazione” di lanciare contemporaneamente tutte le monete che soddisfano la seguente condizione. Condizione: tra le tre monete costituite da quella moneta insieme alle due monete su entrambi i lati, il numero di monete con teste è strano. Inizialmente, esattamente una delle monete mostra teste. A partire da questo stato, l’operazione di cui sopra viene ripetuta più volte. Rispondete alle seguenti domande. 1) Indicare che se $n$ è impar, è impossibile che tutte le monete diventino coda (faccia in basso). (2) Determinare per quale $n$ è possibile, dopo aver eseguito l’operazione un certo numero di volte, che tutte le monete siano rivolte verso il basso. Inoltre, in tali casi, esprimere in termini di $n$ dopo quante operazioni tutte le monete diventano prima faccia a faccia.

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2002 distinct naturals with equal n plus digit sum

Let $S(n)$ denote the sum of the digits of a natural number $n$ when written in base ten. Show that there exist $2002$ pairwise distinct natural numbers $n_1,n_2,\dots ,n_{2002}$ such that $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=\cdots =n_{2002}+S(n_{2002}).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*2002 naturali distinti con n più somma di cifre uguali *

$S(n)$ indichi la somma delle cifre di un numero naturale $n$ quando è scritto in base dieci. Mostrare che esistono $2002$ numeri naturali separati in coppia $n_1,n_2,\dots ,n_{2002}$ in modo tale che $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=\cdots =n_{2002}+S(n_{2002}).$

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Cyclic sum inequality under two normalization constraints

Let $n$ be a natural number with $n\ge 3$. Suppose positive real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ satisfy $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ $b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2=1.$ Prove that the inequality $a_1(b_1+b_2)+a_2(b_2+b_3)+\cdots +a_n(b_n+b_1)<1$ holds.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza della somma ciclica in due limitazioni di normalizzazione

$n$ sia un numero naturale con $n\ge 3$. Supponiamo che i numeri reali positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ soddisfino $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ $b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2=1.$ Proviamo che la disuguaglianza $a_1(b_1+b_2)+a_2(b_2+b_3)+\cdots +a_n(b_n+b_1)<1$ sia valida.

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Max n guaranteeing a point-rich axis-aligned rectangle

On the $xy$-plane, place a set $S$ consisting of $2002$ points so as to satisfy the following condition. Condition: among the points of $S$, any two distinct points have distinct $x$-coordinates and also distinct $y$-coordinates. For two distinct points $P$, $Q$ of $S$, consider the rectangle having the segment $PQ$ as a diagonal and with each side parallel to the $x$-axis or the $y$-axis, and let $W_{PQ}$ be the number of points of $S$ lying in its interior (the points $P$, $Q$ not included). Find the largest natural number $n$ such that, no matter how the set $S$ is placed (subject to the above condition), there always exists at least one pair of points $P$, $Q$ of $S$ with $W_{PQ}\ge n$.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Max n che garantisce un rettangolo allineato ad assi ricchi di punti

Sul piano $xy$, inserire un insieme $S$ composto da punti $2002$ in modo da soddisfare la seguente condizione. Condizione: tra i punti di $S$, ogni due punti distinti hanno coordinate $x$ distinte e anche coordinate $y$ distinte. Per due punti distinti $P$, $Q$ di $S$, considerare il rettangolo che ha il segmento $PQ$ come diagonale e con ogni lato parallelo all’asse $x$ o all’asse $y$, e $W_{PQ}$ essere il numero di punti di $S$ situati all’interno (i punti $P$, $Q$ non inclusi). Trova il numero naturale più grande $n$ in modo tale che, indipendentemente dal modo in cui il set $S$ è posizionato (soggetto alla condizione di cui sopra), esista sempre almeno una coppia di punti $P$, $Q$ di $S$ con $W_{PQ}\ge n$.

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