Japan Mathematical Olympiad 2002 — Yosen (Preliminary)

3-digit numbers with equal hundreds and units digit

Consider the 3-digit natural numbers from $100$ to $999$. Among these, how many numbers, such as $202$ or $999$, have the hundreds digit equal to the units digit?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 90 Fonte: apri PDF

numeri a 3 cifre uguali a centinaia e unità di cifra

Considerate i numeri naturali a 3 cifre da $100$ a $999$. Tra questi, quanti numeri, come $202$ o $999$, hanno la cifra centinaia uguale alla cifra di unità?

Risposta: 90 src_jmo12yq_yosen__Q01

Pairs from 1..14 with absolute difference at most 3

From the integers between $1$ and $14$ inclusive, choose two distinct numbers. How many pairs of two numbers are there such that the absolute value of their difference is at most $3$? Here, choosing the two numbers in either order is regarded as the same pair.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 36 Fonte: apri PDF

Coppie da 1,14 con differenza assoluta non superiore a 3

Tra i numeri interi tra $1$ e $14$ inclusi, scegliere due numeri distinti. Quante coppie di due numeri esistono tali che il valore assoluto della loro differenza sia al massimo $3$? Qui, scegliere i due numeri in entrambi gli ordini è considerato come la stessa coppia.

Risposta: 36 src_jmo12yq_yosen__Q02

5-digit numbers with digits in {1,2,3} divisible by 3

Consider the 5-digit natural numbers in which each digit is one of $1,2,3$. Among these natural numbers, how many in total are divisible by $3$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 81 Fonte: apri PDF

numeri a 5 cifre con cifre di {1,2,3} divisibili per 3

Considerate i numeri naturali a 5 cifre in cui ogni cifra è uno di $1,2,3$. Tra questi numeri naturali, quanti in totale sono divisibili per $3$?

Risposta: 81 src_jmo12yq_yosen__Q03

Volume ratio of regular octahedron to regular tetrahedron

How many times the volume of a regular tetrahedron with edge length $1$ is the volume of a regular octahedron with edge length $1$?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Rapporto di volume di ottaedro regolare a tetraedro regolare

Quante volte il volume di un tetraedro regolare con lunghezza di bordo $1$ è il volume di un ottaedro regolare con lunghezza di bordo $1$?

Risposta: 4 src_jmo12yq_yosen__Q04

Find m where (m-2)^2 and m^2-1 are digit-swap pairs

Let $m$ be a natural number. Both $(m-2{)}^2$ and $m^2-1$ are 3-digit natural numbers, and swapping the hundreds digit and the units digit of one of them yields the other. Find all possible values of $m$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova m dove (m-2) ^2 e m^2-1 sono coppie di cambio di numeri

$m$ sia un numero naturale. Sia $(m-2{)}^2$ che $m^2-1$ sono numeri naturali a 3 cifre, e scambiando la cifra di centinaia e la cifra di unità di uno di essi si ottiene l’altro. Trova tutti i valori possibili di $m$.

src_jmo12yq_yosen__Q05

Minimize an expression in two positive reals

For positive real numbers $x,y$, find the minimum value of the following expression: $x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare un’espressione in due reali positivi

Per i numeri reali positivi $x,y$, trovare il valore minimo della seguente espressione: $x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}.$

src_jmo12yq_yosen__Q06

Numerator of factorial sum reduced fraction, mod 2002

Express the following expression as a single irreducible fraction (a fraction that cannot be reduced further). When its numerator is divided by $2002$, find the remainder. $\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots +\frac{11}{12!}$ Here, for a natural number $n$, $n!$ denotes $1\times 2\times \cdots \times (n-1)\times n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numeratore di frazione ridotta della somma fattoriale, mod 2002

Esprimere la seguente espressione come una singola frazione irriducibile (una frazione che non può essere ridotta ulteriormente). Quando il suo numeratore è diviso per $2002$, trova il rimanente. Qui, per un numero naturale $n$, $n!$ indica $1\times 2\times \cdots \times (n-1)\times n$.

src_jmo12yq_yosen__Q07

Find angle BAC given bisector and AB+CD=AC

There is a triangle $ABC$. Let $D$ be the intersection of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$. We have $\angle BAC:\angle BCA=2:3$, and moreover $AB+CD=AC$. Find the measure of $\angle BAC$ in degrees. Here, for two points $X,Y$, the length of segment $XY$ is denoted by $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angolo BAC dato bisector e AB+CD=AC

C’è un triangolo $ABC$. Il $D$ deve essere l’intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$. Abbiamo $\angle BAC:\angle BCA=2:3$, e inoltre $AB+CD=AC$. Trova la misura di $\angle BAC$ in gradi. Qui, per due punti $X,Y$, la lunghezza del segmento $XY$ è indicata da $XY$.

src_jmo12yq_yosen__Q08

Count integer solutions of a quadratic Diophantine equation

How many pairs of integers $x,y$ satisfy the equation $x{y}^2+xy+x^2-2y-1=0?$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare le soluzioni di numeri interi di un’equazione diofantina quadrata

Quante coppie di integri $x,y$ soddisfano l’equazione $x{y}^2+xy+x^2-2y-1=0?$

src_jmo12yq_yosen__Q09

Max number of 3-cycles in a 14-player round robin

When $14$ people play a round-robin tournament of shogi (each person plays exactly one game against each of the other $13$ people), at most how many “three-way cycles” (sansukumi) can there be? Here, a “three-way cycle” means a set of $3$ people satisfying the following condition: among these $3$ people, the results are such that each of the $3$ has exactly one win and one loss. Assume that no game ends in a draw.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nombre massimo di 3 cicli in un round robin da 14 giocatori

Quando le persone $14$ giocano a un torneo rotondo di shogi (ogni persona gioca esattamente una partita contro ciascuna delle altre persone $13$), quante “cicli a tre vie” (sansukumi) possono esserci al massimo? Qui, un “ciclo a tre vie” significa un insieme di persone $3$ che soddisfano la seguente condizione: tra queste persone $3$, i risultati sono tali che ciascuna delle $3$ ha esattamente una vittoria e una sconfitta. Supponiamo che nessuna partita finisca in pareggio.

src_jmo12yq_yosen__Q10

Color 7 sectors of a disk with 4 colors, rotations equivalent

One face of a disk is divided into $7$ congruent sectors. There are $4$ colored pencils: red, blue, yellow, and green. Using these, we want to color each sector with one color. The same color may be used multiple times, and it is not necessary to use all $4$ colors, but two adjacent sectors must be colored with different colors. How many ways of coloring are there? Here, two colorings of the disk that can be obtained from one another by rotation are regarded as the same coloring.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\foreach \a in {0,...,6} {
  \draw (0,0) -- (\a*360/7:2cm);
}
\end{tikzpicture}

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colore 7 settori di un disco con 4 colori, rotazioni equivalenti

Una faccia di un disco è suddivisa in settori congruenti $7$. Ci sono le matite $4$ di colore: rosso, blu, giallo e verde. Usando questi, vogliamo colorare ogni settore con un colore. Lo stesso colore può essere utilizzato più volte e non è necessario utilizzare tutti i colori $4$, ma due settori adiacenti devono essere colorati con colori diversi. Quanti tipi di colorazione ci sono? Qui, due colori del disco che possono essere ottenuti l’uno dall’altro mediante rotazione sono considerati come lo stesso colore.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\foreach \a in {0,...,6} {
  \draw (0,0) -- (\a*360/7:2cm);
}
\end{tikzpicture}

src_jmo12yq_yosen__Q11

Functional equation over rationals; solve f(x)=2002

A function $f(x)$ is defined for every rational number and takes rational values, and satisfies the following conditions $(1)$, $(2)$, $(3)$.

$(1)$ $f(0)=2,f(1)=3$.

$(2)$ For any rational number $x$ and any integer $n$, the following holds: $f(x+n)-f(x)=n\{f(x+1)-f(x)\}.$

$(3)$ For any nonzero rational number $x$, the following holds: $f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right).$

Under these conditions, find all rational numbers $x$ satisfying $f(x)=2002$.

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale sui razionali; risolvere f(x)=2002

Una funzione $f(x)$ è definita per ogni numero razionale e assume valori razionali e soddisfa le seguenti condizioni $(1)$, $(2)$, $(3)$.

$(1)$ $f(0)=2,f(1)=3$.

$(2)$ Per qualsiasi numero razionale $x$ e per qualsiasi numero intero $n$, il seguente vale: $f(x+n)-f(x)=n\{f(x+1)-f(x)\}.$

$(3)$ Per qualsiasi numero razionale non zero $x$, il valore seguente è: $f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right).$

In queste condizioni, trovare tutti i numeri razionali $x$ che soddisfano $f(x)=2002$.

src_jmo12yq_yosen__Q12