Japan Mathematical Olympiad 2003 — Honsen (Final)

Find angle BRC in triangle ABC with equal-length conditions

Let $P$ be a point inside triangle $ABC$. Let $Q$ be the intersection of line $BP$ with side $AC$, and let $R$ be the intersection of line $CP$ with side $AB$. Suppose that $AR=RB=CP\text{and}CQ=PQ.$ Find the measure of $\angle BRC$.

(Here, for two points $X$ and $Y$, the length of segment $XY$ is denoted by $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trova l’angolo BRC nel triangolo ABC con condizioni di lunghezza uguale

Il punto $P$ deve essere un punto all’interno del triangolo $ABC$. Il $Q$ è l’intersezione della linea $BP$ con il lato $AC$ e il $R$ è l’intersezione della linea $CP$ con il lato $AB$. Supponiamo che $AR=RB=CP\text{and}CQ=PQ.$ Trova la misura di $\angle BRC$.

(Qui, per due punti $X$ e $Y$, la lunghezza del segmento $XY$ è indicata da $XY$.)

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Find all pairs of positive integers with digit and divisibility conditions

Let $a,b$ be positive integers each expressible in base 10 with $2n$ digits, where the leading digit is not zero. Moreover, the following three conditions all hold:

(1) The upper $n$ digits of $a$ and the lower $n$ digits of $b$ are equal, and the lower $n$ digits of $a$ and the upper $n$ digits of $b$ are equal.

(2) $a<b$.

(3) $b$ is a multiple of $a$.

Find all such pairs $(a,b)$.

For example, when $a=1234$ and $b=3412$, conditions (1) and (2) hold but (3) does not.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi con condizioni digitali e di divisibilità

Lasciate che $a,b$ siano numeri interi positivi espressi in base 10 con cifre $2n$, dove la cifra principale non è zero. Inoltre, tutte le seguenti tre condizioni si applicano:

(1) Le cifre superiori $n$ di $a$ e le cifre inferiori $n$ di $b$ sono uguali, e le cifre inferiori $n$ di $a$ e le cifre superiori $n$ di $b$ sono uguali.

(2) $a<b$.

(3) $b$ è un multiple di $a$.

Trova tutte le coppie $(a,b)$.

Per esempio, quando $a=1234$ e $b=3412$, le condizioni (1) e (2) si appoggiano ma (3) non lo fanno.

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Find the largest real k such that an inequality holds for all positive reals

Find the largest real number $k$ such that for every triple of positive real numbers $a,b,c$ satisfying $a^2>bc$, the inequality $(a^2-bc{)}^2>k(b^2-ca)(c^2-ab)$ holds.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la k reale più grande in modo tale che una disuguaglianza si verifichi per tutti i reali positivi

Trova il numero reale più grande $k$ in modo tale che per ogni triplo dei numeri reali positivi $a,b,c$ soddisfa $a^2>bc$, la disuguaglianza $(a^2-bc{)}^2>k(b^2-ca)(c^2-ab)$ sia valida.

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Sum of weights of all continued fraction expansions of p/q equals q

Let $p$ and $q$ be integers with $q\ge 2$, and suppose $p$ and $q$ are mutually coprime. We say that the sequence of integers $(r;a_1,a_2,\dots ,a_n)$ is a continued fraction expansion of $\frac{p}{q}$ if all of $a_1,a_2,\dots ,a_n$ have absolute value at least $2$, and $\frac{p}{q}=r+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{a_n}}}}.$ For example, $\frac{-10}{7}=-1+\frac{1}{-3+\frac{1}{2+\frac{1}{-2}}}$ so $(-1,-3,2,-2)$ is a continued fraction expansion of $\frac{-10}{7}$.

The weight of a continued fraction expansion $(r;a_1,a_2,\dots ,a_n)$ is defined to be $(|a_1|-1)\times (|a_2|-1)\times \cdots \times (|a_n|-1).$ For example, the weight of the continued fraction expansion $(-1;-3,2,-2)$ of $\frac{-10}{7}$ is $2$.

Prove that the sum of the weights of all continued fraction expansions of $\frac{p}{q}$ equals $q$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa dei pesi di tutte le espansioni continue delle frazioni di p/q = q

Lasciamo che $p$ e $q$ siano integri con $q\ge 2$, e supponiamo che $p$ e $q$ siano reciprocamente copriemi. Diciamo che la sequenza di enti $(r;a_1,a_2,\dots ,a_n)$ è un ** continua espansione frazione ** di $\frac{p}{q}$ se tutti $a_1,a_2,\dots ,a_n$ hanno valore assoluto almeno $2$, e $\frac{p}{q}=r+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{a_n}}}}.$ Per esempio, $\frac{-10}{7}=-1+\frac{1}{-3+\frac{1}{2+\frac{1}{-2}}}$ quindi $(-1,-3,2,-2)$ è una continua espansione frazione di $\frac{-10}{7}$.

Il peso di un’espansione di frazione continua $(r;a_1,a_2,\dots ,a_n)$ è definito come $(|a_1|-1)\times (|a_2|-1)\times \cdots \times (|a_n|-1).$ Per esempio, il peso dell’espansione di frazione continua $(-1;-3,2,-2)$ di $\frac{-10}{7}$ è $2$.

Prova che la somma dei pesi di tutte le espansioni continuate delle frazioni di $\frac{p}{q}$ è uguale a $q$.

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Find max N points in plane 3-colored satisfying triangle interior conditions

Let $N$ be a positive integer. There are $N$ points in general position in the plane (no three collinear). Each point is colored red, blue, or yellow, and the following conditions all hold:

• For any three distinct red points, the interior of the triangle with those three points as vertices contains at least one blue point.
• For any three distinct blue points, the interior of the triangle with those three points as vertices contains at least one yellow point.
• For any three distinct yellow points, the interior of the triangle with those three points as vertices contains at least one red point.

Find the largest possible value of $N$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Ricerca i punti N massimi in un triangolo di 3 colori che soddisfa le condizioni interne *

$N$ sia un numero intero positivo. Ci sono punti $N$ in posizione generale nel piano (nessun tre collineari). Ogni punto è di colore rosso, blu o giallo e tutte le seguenti condizioni sono valide:

• Per ogni tre punti rossi distinti, l’interno del triangolo con quei tre punti come vertici contiene almeno un punto blu. - Per ogni tre punti blu distinti, l’interno del triangolo con quei tre punti come vertici contiene almeno un punto giallo. - Per i tre punti gialli distinti, l’interno del triangolo con questi tre punti come vertici contiene almeno un punto rosso.

Trova il massimo valore possibile di $N$.

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