Japan Mathematical Olympiad 2003 — Yosen (Preliminary)

Pay 777 yen with fewest coins; change is allowed

Using 1-yen, 5-yen, 10-yen, 50-yen, 100-yen, and 500-yen coins, pay exactly $777$ yen so that the total number of coins paid is as small as possible. Find this minimum total number of coins. You may use any number of coins of each denomination; you need not use every denomination. You may also receive change (i.e., you may overpay and receive the difference back).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Pagare 777 yen con il minor numero di monete; è consentito il cambio

Utilizzando le monete di 1 yen, 5 yen, 10 yen, 50 yen, 100 yen e 500 yen, pagate esattamente $777$ yen in modo che il numero totale di monete pagate sia il più piccolo possibile. Trova questo numero totale minimo di monete. È possibile utilizzare qualsiasi numero di monete di ciascuna denominazione; non è necessario utilizzare tutte le monete. Potete anche ricevere cambiamenti (cioè potete pagare in eccesso e ricevere la differenza).

Risposta: 6 src_jmo13yq_yosen__Q01

Smallest positive integer n such that last three digits of 2003n equal 113

Find the smallest positive integer $n$ such that the last three digits of $2003n$ (i.e., the remainder when $2003n$ is divided by $1000$) equal $113$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo n tale che le ultime tre cifre del 2003n siano uguali a 113

Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ in modo tale che le ultime tre cifre di $2003n$ (cioè il rimanente quando $2003n$ è diviso da $1000$) siano uguali $113$.

src_jmo13yq_yosen__Q02

Find all primes p for which 2003 has a base-p digit sum of 15

Let $p$ be a prime and $m$ a positive integer. Suppose the $m$ digits $a_{m-1},a_{m-2},\dots ,a_0$ in base $p$ (each satisfying $0\le a_i\le p-1$) satisfy $\{\begin{array}{l}{a}_{m-1}{p}^{m-1}+a_{m-2}{p}^{m-2}+\cdots +a_0=2003,\\ a_{m-1}+a_{m-2}+\cdots +a_0=15.\end{array}$ Find all primes $p$ for which such digits exist.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le prime p per le quali 2003 ha una somma di base-p di 15

Che $p$ sia un primo e $m$ un intero positivo. Supponiamo che le cifre $m$ $a_{m-1},a_{m-2},\dots ,a_0$ nella base $p$ ( ciascuna soddisfa $0\le a_i\le p-1$) soddisfino $\{\begin{array}{l}{a}_{m-1}{p}^{m-1}+a_{m-2}{p}^{m-2}+\cdots +a_0=2003,\\ a_{m-1}+a_{m-2}+\cdots +a_0=15.\end{array}$ Trovare tutte le prime $p$ per le quali tali cifre esistono.

src_jmo13yq_yosen__Q03

Find x^3+y^3+z^3 given three symmetric power-sum equations

Three real numbers $x,y,z$ satisfy $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=15.\end{array}$ Find the value of $x^3+y^3+z^3$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova x^3+y^3+z^3 data tre equazioni simmetriche potenza-somma

Tre numeri reali $x,y,z$ soddisfano $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=15.\end{array}$ Trova il valore di $x^3+y^3+z^3$.

src_jmo13yq_yosen__Q04

Find BD/BC in parallelogram ABCD with angle bisector meeting BC

In parallelogram $ABCD$, let $BC=7$, $CA=8$, $AB=5$. Let $E$ be the point where the angle bisector of $\angle BAC$ meets side $BC$. The condition $BE+BC=BD$ holds. Find the value of $\frac{BD}{BC}$. (For points $X,Y$, the notation $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca BD/BC in parallelo ABCD con angolo bisector incontrazione BC

Nel parallelo $ABCD$, $BC=7$, $CA=8$, $AB=5$. $E$ deve essere il punto in cui il bisettore angolare di $\angle BAC$ incontra il lato $BC$. La condizione $BE+BC=BD$ è valida. Trova il valore di $\frac{BD}{BC}$. (Per i punti $X,Y$, la notazione $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_jmo13yq_yosen__Q05

Smallest n≥2 so 1,…,n can be arranged with every adjacent product a perfect square

Find the smallest integer $n\ge 2$ such that the integers $1,2,\dots ,n$ can be arranged in a row so that the product of every pair of adjacent integers is a perfect square.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Grafi, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più piccolo n≥2 quindi 1,…,n può essere organizzato con ogni prodotto adiacente un quadrato perfetto

Trova il numero intero più piccolo $n\ge 2$ in modo che gli enti $1,2,\dots ,n$ possano essere disposti in una riga in modo che il prodotto di ogni coppia di numeri interi adiacenti sia un quadrato perfetto.

src_jmo13yq_yosen__Q06

Count circular arrangements of 3 red, 3 blue, 3 yellow pegs; rotations identified, reflections distinct

There are $9$ pegs: $3$ red, $3$ blue, and $3$ yellow. Count the number of ways to place these $9$ pegs at equally spaced positions around a circular table. Two arrangements are considered the same if one can be obtained from the other by rotation. However, an arrangement and its mirror image (i.e., the arrangement seen after reversing the rotational direction) are counted as two distinct arrangements.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le arrangiamenti circolari di 3 colpi rossi, 3 blu e 3 gialli; rotazioni identificate, riflessioni distinte

Sono presenti $9$ colligatori: $3$ rosso, $3$ blu e $3$ giallo. Conteggi il numero di modi per posizionare le prese $9$ in posizioni spaziate ugualmente intorno a una tavola circolare. Due dispositivi sono considerati uguali se uno può essere ottenuto dall’altro mediante rotazione. Tuttavia, una disposizione e la sua immagine speculare (cioè la disposizione vista dopo aver invertito la direzione di rotazione) sono considerati come due disposizioni distinte.

src_jmo13yq_yosen__Q07

Find all m in [2,2003] that maximize the number of steps to reach 1 under odd→+1, even→÷2

For a positive integer $n$, define the following operation: if $n$ is odd, replace $n$ by $n+1$; if $n$ is even, replace $n$ by $n/2$. Starting from an integer $m\ge 2$, apply this operation repeatedly until the value first becomes $1$; let $k$ denote the number of operations required. For example, starting from $m=10$: $10\to 5\to 6\to 3\to 4\to 2\to 1$, so $k=6$. Among all integers $m$ with $2\le m\le 2003$, find all values of $m$ for which $k$ is largest.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Estremalità, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova tutti i m in [2,2003] che massimizzano il numero di passi per raggiungere 1 sotto odd→+1, anche→÷2

Per un intero positivo $n$, definire la seguente operazione: se $n$ è pari, sostituire $n$ con $n+1$; se $n$ è pari, sostituire $n$ con $n/2$. A partire da un numero intero $m\ge 2$, applicare questa operazione ripetutamente fino a quando il valore diventa prima $1$; $k$ indichi il numero di operazioni richieste. Per esempio, a partire da $m=10$: $10\to 5\to 6\to 3\to 4\to 2\to 1$, quindi $k=6$. Tra tutti gli integri $m$ con $2\le m\le 2003$, trovare tutti i valori di $m$ per i quali $k$ è più grande.

src_jmo13yq_yosen__Q08

Minimum length QR as P moves on BC with angle QPR=60°, Q on CA, R on AB

In triangle $ABC$ with $BC=7$, $CA=8$, $AB=5$, let $P$, $Q$, $R$ be points on segments $BC$, $CA$, $AB$ respectively, none at a vertex, with $\angle QPR=60^{\circ }$. As $Q$ and $R$ vary subject to these conditions, find the minimum value of $QR$. (For points $X,Y$, the notation $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza minima QR mentre P si muove su BC con angolo QPR=60°, Q su CA, R su AB

Nel triangolo $ABC$ con $BC=7$, $CA=8$, $AB=5$, $P$, $Q$, $R$ siano punti sui segmenti $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente, nessuno in un vertice, con $\angle QPR=60^{\circ }$. Poiché $Q$ e $R$ variano in base a queste condizioni, trovare il valore minimo di $QR$. (Per i punti $X,Y$, la notazione $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_jmo13yq_yosen__Q09

Count bad-relation pairs among 8 people given friendship/enmity constraints

There are $8$ people. Among any $3$ of them, at least $2$ have a good relationship with each other. Among any $4$ of them, at least $2$ have a bad relationship with each other. Find all possible values for the number of pairs of people who have a bad relationship.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Grafi Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le coppie di cattive relazioni tra 8 persone con vincoli di amicizia/inimicizia

Ci sono persone $8$. Tra le $3$, almeno $2$ hanno una buona relazione tra loro. Tra i $4$ di essi, almeno $2$ hanno una cattiva relazione tra loro. Trova tutti i valori possibili per il numero di coppie di persone che hanno una cattiva relazione.

src_jmo13yq_yosen__Q10

Count planes through exactly 3 vertices of a regular icosahedron

Among all planes that pass through at least $3$ of the $12$ vertices of a regular icosahedron, how many pass through exactly $3$ vertices (i.e., do not contain $4$ or more vertices)?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i piani attraverso esattamente 3 vertici di un icosahedro regolare

Tra tutti i piani che passano almeno $3$ delle vertici $12$ di un icosahedro regolare, quanti passano esattamente $3$ vertici (cioè non contengono $4$ o più vertici)?

src_jmo13yq_yosen__Q11

Find minimum-degree integer-polynomial f(x) with (f(x))^3 - 2 = g(x)h(x), g,h degree ≥ 1

A polynomial $f(x)$ with integer coefficients has degree at least $1$. There also exist integer-coefficient polynomials $g(x)$ and $h(x)$, each of degree at least $1$, such that $(f(x){)}^3-2=g(x)h(x).$ Among all such polynomials $f(x)$, find the one of smallest degree.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trovare un polinomio intero di grado minimo f(x) con (f(x))^3 - 2 = g(x) h(x), grado g,h ≥ 1

Un polinomio $f(x)$ con coefficienti interi ha grado almeno $1$. Esistono anche polinomi a coefficiente intero $g(x)$ e $h(x)$, ciascuno di grado almeno $1$, in modo tale che $(f(x){)}^3-2=g(x)h(x).$ tra tutti tali polinomi $f(x)$, trovi quello di grado più piccolo.

src_jmo13yq_yosen__Q12