No n makes 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1 all squares
Show that there is no positive integer such that , , and are all perfect squares.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Non n rende 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1 tutti i quadrati
Mostrare che non esiste un intero positivo tale che , e siano tutti quadrati perfetti.
Find all real functions with f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y
Let be a real-valued function defined on the real numbers such that, for all real numbers and , holds. Find all possible functions .
Topic: Equazioni funzionali Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Ricerca tutte le funzioni reali con f(xf(x) + f(y))=f(x) ^2+y
Che sia una funzione a valore reale definita sui numeri reali in modo tale che, per tutti i numeri reali e , sia valida. Trova tutte le funzioni possibili .
Perpendicular planes; bisector meets circle, prove angle bisected
In space, there are two mutually perpendicular planes and . Let and be two distinct points on the line of intersection of and , and let be a point that lies on but not on . Let be the intersection of the bisector of with , and let be the circle in having as a diameter. Show that, for any plane containing , if and denote the intersection points of with , then is the bisector of .
Topic: Geometria solida, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Piani perpendicolari; bisettore incontra cerchio, prova angolo bisettato
nello spazio, ci sono due piani reciprocamente perpendicolari e . Se e sono due punti distinti sulla linea di intersezione di e , e se è un punto che si trova su ma non su . Il deve essere l’intersezione del bisettore di con , e deve essere il cerchio di con come diametro. Indicare che, per qualsiasi piano contenente , se e indicano i punti di intersezione di con , allora è il bisettore di .
Prove sum inequality for positive reals with a+b+c=1
For positive real numbers , , satisfying , prove that (You do not need to state the conditions for equality.)
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Prove la disuguaglianza della somma per i reali positivi con a+b+c=1
Per i numeri reali positivi , , che soddisfano , dimostrare che (Non è necessario indicare le condizioni per l’uguaglianza.)
Cubic graph: Hamiltonian cycle differing from given one and its reverse
On a certain island, every town is connected by roads to exactly three other towns. On last year’s trip, the traveler departed from a certain town, visited every town on the island exactly once, and returned to the starting town. This year, the traveler wishes to make a trip that, starting from the same town, again visits every town on the island exactly once and returns to it. However, the traveler wants to avoid both the exact same order as last year and the order that is simply its reverse. Show that this is possible.
Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Grafico cubico: ciclo di Hamilton differente da quello dato e il suo inverso
Su una certa isola, ogni città è collegata da strade ad esattamente altre tre città. Nel viaggio dell’anno scorso, il viaggiatore ha lasciato una certa città, visitato ogni città dell’isola esattamente una volta e tornato nella città di partenza. Quest’anno, il viaggiatore desidera fare un viaggio che, partendo dalla stessa città, visita di nuovo ogni città dell’isola esattamente una volta e ritorna lì. Tuttavia, il viaggiatore vuole evitare sia l’ordine esatto dello scorso anno che l’ordine che è semplicemente il suo contrario. Mostrate che è possibile.