Japan Mathematical Olympiad 2004 — Yosen (Preliminary)

Boxes of 10 and 6 apples totaling 38; count box combinations.

There are several boxes each containing 10 apples and several boxes each containing 6 apples. If the total number of apples is 38, how many ways can the boxes be combined?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF

Scatole di 10 e 6 mele per un totale di 38; combinazioni di scatole da contare.

Ci sono diverse scatole che contengono ciascuna 10 mele e diverse scatole che contengono ciascuna 6 mele. Se il numero totale di mele è di 38, in quanti modi possono essere combinate le scatole?

Risposta: 2 src_jmo14yq_yosen__Q01

Find CD in triangle ABC with point D on BC, given sides and equal angles.

In triangle $ABC$, let $D$ be a point on segment $BC$ such that $AB=AD=2$, $BD=1$, and $\angle BAD=\angle CAD$. Find the length $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Ricerca il CD nel triangolo ABC con il punto D su BC, dati lati e angoli uguali.

Nel triangolo $ABC$, $D$ deve essere un punto sul segmento $BC$ tale che $AB=AD=2$, $BD=1$ e $\angle BAD=\angle CAD$. Trova la lunghezza $CD$.

Risposta: 3 src_jmo14yq_yosen__Q02

Random coins thrown on desk; probability all removed within 4 operations.

Some number of coins are thrown onto a desk simultaneously. Consider the following operation: viewed from above, remove all coins that are visible from the top (those not covered by any other coin). Thinking of a situation where coins are stacked, repeat this operation starting from some initial arrangement, until all coins have been removed. The operation is performed repeatedly. Find the probability that all coins are removed in at most 4 operations.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Monete casuali gettate sulla scrivania; probabilità tutte rimosse entro 4 operazioni.

Alcune monete vengono gettate contemporaneamente su una scrivania. Considerate la seguente operazione: vista dall’alto, rimuovete tutte le monete che sono visibili dall’alto (quele che non sono coperte da altre monete). Pensando a una situazione in cui le monete sono impilate, ripeti questa operazione partendo da un qualche accordo iniziale, fino a quando tutte le monete sono state rimosse. L’operazione viene eseguita ripetutamente. Trova la probabilità che tutte le monete vengano rimosse in un massimo di 4 operazioni.

src_jmo14yq_yosen__Q03

Count positive integer pairs (m,n) with 7m+3n=10^2004 and m divides n.

Find the number of pairs $(m,n)$ of positive integers satisfying $7m+3n=10^{2004}$, such that $\frac{n}{m}$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare le coppie di numeri interi positivi (m,n) con 7m+3n=10^2004 e m divide n.

Trova il numero di coppie $(m,n)$ di integri positivi che soddisfano $7m+3n=10^{2004}$, in modo che $\frac{n}{m}$ sia un numero intero.

src_jmo14yq_yosen__Q04

Strictly increasing sequence of 2004 positive integers; no product of two terms equals another; minimize last term.

Let $a_1,a_2,\dots ,a_{2004}$ be positive integers satisfying the following conditions: \begin{itemize} \item $a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$. \item For any pairwise distinct positive integers $i,j,k$ each at most $2004$, we always have $a_i\times a_j\ne a_k$. \end{itemize} Find the minimum possible value of $a_{2004}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Strictamente crescente sequenza di interi positivi del 2004; nessun prodotto di due termini è uguale a un altro; ridurre al minimo l’ultimo termine.

$a_1,a_2,\dots ,a_{2004}$ siano numeri interi positivi che soddisfano le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item $a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$. \item Per tutti gli integri positivi separati in coppia $i,j,k$ ciascuno al massimo $2004$, abbiamo sempre $a_i\times a_j\ne a_k$. \end{itemize} Trova il valore minimo possibile di $a_{2004}$.

src_jmo14yq_yosen__Q05

Find f(x) satisfying f(x)+f(1/(1-x))=1/x for all x not 0 or 1.

Let $f(x)$ be a real-valued function defined for all real numbers $x$ other than $0$ and $1$, satisfying $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{x}$ for all real $x\ne 0,1$. Find $f(x)$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca f(x) soddisfacente f(x)+f(1/(1-x))=1/x per tutte le x non 0 o 1.

$f(x)$ sia una funzione a valore reale definita per tutti i numeri reali $x$ diversi da $0$ e $1$, soddisfacendo $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{x}$ per tutti i numeri reali $x\ne 0,1$. Trova $f(x)$.

src_jmo14yq_yosen__Q06

Area outside triangle ABC (sides 16, 5√5, 9) within distance 6 from both B and C.

In the plane, triangle $ABC$ satisfies $AB=16$, $BC=5\sqrt{5}$, $CA=9$. Find the area of the region that lies outside triangle $ABC$ and whose distance from $B$ and distance from $C$ are both at most $6$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area al di fuori del triangolo ABC (laterali 16, 5√5, 9) all’interno della distanza 6 sia da B che da C.

Nel piano, il triangolo $ABC$ soddisfa $AB=16$, $BC=5\sqrt{5}$, $CA=9$. Trova l’area della regione che si trova al di fuori del triangolo $ABC$ e la cui distanza da $B$ e distanza da $C$ sono entrambi al massimo $6$.

src_jmo14yq_yosen__Q07

Maximize the minimum of a sum-of-fractions expression over positive reals summing to 1.

Let $n$ be a positive integer. For positive reals $a_1,a_2,\dots ,a_n$ with $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$, define $A=\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_1+a_2}+\cdots +\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}.$ Let $A$ depend on the choice of $a_1,\dots ,a_n$. Find the maximum value of the minimum of $A$ over all such choices.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maximizzare il minimo di un’espressione somma di frazioni su valori reali positivi sommati a 1.

$n$ sia un numero intero positivo. Per i valori positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ con $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$, definire $A=\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_1+a_2}+\cdots +\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}.$ Lasciate che $A$ dipenda dalla scelta di $a_1,\dots ,a_n$. Trovare il valore massimo del minimo di $A$ su tutte queste scelte.

src_jmo14yq_yosen__Q08

7 politicians, factions with coexistence condition; find maximum faction size.

There are 7 politicians, each belonging to one or more factions. A faction is a group of one or more politicians. It is given that for any two factions, there always exists a politician who belongs to both factions or a politician who belongs to neither faction. (Such a politician is said to mediate between the two factions.) Find the maximum possible number of members in a single faction.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

7 politici, fazioni con condizione di coesistenza; trovare la dimensione massima delle fazioni.

Ci sono 7 politici, ognuno appartenente a una o più fazioni. Una fazione è un gruppo di uno o più politici. È dato che per due fazioni esiste sempre un politico che appartiene a entrambe le fazioni o un politico che non appartiene a nessuna di esse. (Si dice che un tale politico sia mediatore tra le due fazioni.)

src_jmo14yq_yosen__Q09

Two polynomial operations applied to degree-2 polynomial; find constant k in result.

For a polynomial $f(x)$, define operation $A$ as: $f(x)\mapsto a(x-1{)}^2+b(x-1)+c$ where $f(x)=a{x}^2+bx+c$, and operation $B$ as: $f(x)\mapsto f(x+1)+(x-1{)}^3+(x^2+x+2)$. Starting from some degree-2 polynomial, after applying operations $A$ and $B$ a certain number of times (in some order), the result is $11x^2-9x+k$. Find the constant $k$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due operazioni polinomiche applicate al polinomio di grado 2; trovare la costante k nel risultato.

Per un polinomio $f(x)$, definire l’operazione $A$ come: $f(x)\mapsto a(x-1{)}^2+b(x-1)+c$ dove $f(x)=a{x}^2+bx+c$, e l’operazione $B$ come: $f(x)\mapsto f(x+1)+(x-1{)}^3+(x^2+x+2)$. A partire da un polinomio di qualche grado-2, dopo aver applicato le operazioni $A$ e $B$ un certo numero di volte (in qualche ordine), il risultato è $11x^2-9x+k$. Trova la costante $k$.

src_jmo14yq_yosen__Q10

Convex quadrilateral ABCD with AD=CD, BD=BC and given angles; find angle BAD.

In convex quadrilateral $ABCD$, we have $AD=CD$, $BD=BC$, $\angle ADC=168^{\circ }$, and $\angle ABC=66^{\circ }$. Find $\angle BAD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale convexa con AD=CD, BD=BC e angoli dati; trovare angolo BAD.

Nel quadrilaterale convex $ABCD$, abbiamo $AD=CD$, $BD=BC$, $\angle ADC=168^{\circ }$ e $\angle ABC=66^{\circ }$. Trova $\angle BAD$.

src_jmo14yq_yosen__Q11

Minimum N points in plane guaranteeing a 2004-point monotone-slope subsequence.

Find the minimum positive integer $N$ such that the following statement holds: for any placement of $N$ points in the $xy$-plane with no 3 collinear and no 2 sharing the same $x$-coordinate, one can always choose 2004 of these points $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{2004},y_{2004})$ with $x_1<x_2<\cdots <x_{2004}$ such that either $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}<\cdots <\frac{y_{2004}-y_{2003}}{x_{2004}-x_{2003}}$ or $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}>\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}>\cdots >\frac{y_{2004}-y_{2003}}{x_{2004}-x_{2003}}$ holds.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Induzione Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di N punti in piano che garantiscono una subsequenza monotone-inclinazione di 2004 punti.

Trova il numero intero positivo minimo $N$ in modo tale che la seguente affermazione sia valida: per qualsiasi posizionamento di punti $N$ nel piano $xy$ senza 3 collineari e senza 2 che condividono la stessa coordinata $x$, si può sempre scegliere 2004 di questi punti $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{2004},y_{2004})$ con $x_1<x_2<\cdots <x_{2004}$ in modo tale che sia $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}<\cdots <\frac{y_{2004}-y_{2003}}{x_{2004}-x_{2003}}$ o $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}>\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}>\cdots >\frac{y_{2004}-y_{2003}}{x_{2004}-x_{2003}}$ sia valida.

src_jmo14yq_yosen__Q12