Japan Mathematical Olympiad 2005 — Yosen (Preliminary)

Count two-digit integers with remainder 2 mod 3 and remainder 3 mod 5

How many two-digit positive integers leave a remainder of $2$ when divided by $3$ and a remainder of $3$ when divided by $5$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi a due cifre con il resto 2 mod 3 e il resto 3 mod 5

Quanti numeri interi positivi a due cifre lasciano un residuo di $2$ diviso per $3$ e un residuo di $3$ diviso per $5$?

Risposta: 6 src_jmo15yq_yosen__Q01

Minimum distance from line 4x+3y=1 to a lattice point not on the line

Consider the line $4x+3y=1$. Among all possible distances from a point on this line to a lattice point (a point with both coordinates integers) that does not lie on the line, find the minimum value. Here a lattice point is a point whose $x$- and $y$-coordinates are both integers.

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{1}{5}$ Fonte: apri PDF

Distanza minima dalla linea 4x+3y=1 a un punto della rete non sulla linea

Considera la riga $4x+3y=1$. Tra tutte le distanze possibili da un punto su questa linea a un punto della rete (un punto con entrambe le coordinate integri) che non si trova sulla linea, trova il valore minimo. Qui un punto reticolo è un punto le cui coordinate $x$- e $y$ sono entrambe enti.

Risposta: \frac{1}{5} src_jmo15yq_yosen__Q02

Find value a maximizing angle APB with B midpoint of OA on right triangle

Let $OA=2$ and let $\angle AOP=90^{\circ }$, so triangle $AOP$ is a right triangle with the right angle at $O$. Let $B$ be the midpoint of side $OA$. Let $OP=a$. Find the value of $a$ that maximizes $\angle APB$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{2}$ Fonte: apri PDF

Trova il valore di un angolo di massimizzazione APB con punto medio B di OA sul triangolo rettangolo

Lasciamo $OA=2$ e $\angle AOP=90^{\circ }$, quindi il triangolo $AOP$ è un triangolo rettangolo con l’angolo giusto a $O$. Il punto medio del lato $OA$ è $B$. Let $OP=a$. Trova il valore di $a$ che massimizza $\angle APB$.

Risposta: \sqrt{2} src_jmo15yq_yosen__Q03

Probability cumulative sum of dice equals exactly 6 at some point within 6 rolls

A fair die (with faces numbered $1$ through $6$) is rolled repeatedly. What is the probability that, at some point up to and including the 6th roll, the running total of all outcomes equals exactly $6$?

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{1}{3}$ Fonte: apri PDF

Probabilità somma cumulativa di dadi equivale esattamente a 6 a un certo punto all’interno di 6 rulli

Un dado equo (con facce numerate da $1$ a $6$) viene laminato ripetutamente. Qual è la probabilità che, ad un certo punto fino al 6° rollo e incluso, il totale di tutti i risultati corrispondenti sia esattamente $6$?

Risposta: \frac{1}{3} src_jmo15yq_yosen__Q04

Count unordered triples of distinct positive integers with product equal to 12 times sum

How many unordered triples of mutually distinct positive integers $\{a,b,c\}$ satisfy $abc=12(a+b+c)$? Here, triples that differ only in order (such as $\{3,6,18\}$ and $\{6,3,18\}$) are counted as the same triple.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF

*Contare triples non ordinati di numeri interi positivi distinti con prodotto pari a 12 volte la somma *

Quanti triples non ordinati di integri positivi reciprocamente distinti $\{a,b,c\}$ soddisfano $abc=12(a+b+c)$? Qui, i triples che differiscono solo nell’ordine (come $\{3,6,18\}$ e $\{6,3,18\}$) vengono contati come lo stesso triplo.

Risposta: 4 src_jmo15yq_yosen__Q05

Minimum of 2^a + 4^b for real a,b with a+b=17

For real numbers $a,b$ satisfying $a+b=17$, find the minimum value of $2^a+4^b$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $2^{35/3}$ Fonte: apri PDF

Minimum di 2^a + 4^b per a,b reale con a+b=17

Per i numeri reali $a,b$ che soddisfano $a+b=17$, trovare il valore minimo di $2^a+4^b$.

Risposta: 2^{35/3} src_jmo15yq_yosen__Q06

Count positive integers n<50 expressible as a^2-b^2 with a,b>=1 integers

How many positive integers $n$ less than $50$ satisfy the following condition: there exist integers $a\ge 1$ and $b\ge 1$ such that $a^2-b^2=n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 33 Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi positivi n<50 espressi come a^2-b^2 con a,b>=1 numeri interi

Quanti integri positivi $n$ inferiori a $50$ soddisfano la seguente condizione: esistono integri $a\ge 1$ e $b\ge 1$ tali da $a^2-b^2=n$?

Risposta: 33 src_jmo15yq_yosen__Q07

Count valid seatings of 7 people at circular table where no one sits next to another’s assigned chair

$7$ people are seated one per chair at a circular table with $7$ chairs. Each person has their own assigned chair. However, while there are still unoccupied chairs, no person may sit in a chair that is adjacent to any other person’s chair. (People who have not yet been seated may sit only if no adjacent chair is occupied.) Find the number of possible orders in which all $7$ people can be seated.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i sedili validi di 7 persone a tavola circolare dove nessuno siede accanto alla sedia assegnata da un altro

Le persone $7$ sono sedute una per sedia a un tavolo circolare con sedie $7$. Ogni persona ha la propria sedia assegnata. Tuttavia, mentre ci sono ancora sedie non occupate, nessuna persona può sedersi in una sedia adiacente alla sedia di un’altra persona. (Le persone che non sono state ancora sedute possono sedersi solo se non è occupata una sedia adiacente.)

src_jmo15yq_yosen__Q08

Find angle PAC with point P inside regular pentagon satisfying given angle conditions

Let $P$ be a point inside a regular pentagon $ABCDE$ such that $\angle ABP=6^{\circ }$ and $\angle AEP=12^{\circ }$. Find the measure of $\angle PAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $24^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Ricerca un PAC ad angolo con punto P all’interno di un pentagono regolare che soddisfa determinate condizioni di angolo

$P$ deve essere un punto all’interno di un pentagono regolare $ABCDE$ tale che $\angle ABP=6^{\circ }$ e $\angle AEP=12^{\circ }$. Trova la misura di $\angle PAC$.

Risposta: 24^\circ src_jmo15yq_yosen__Q09

Count ordered triples of 3-digit numbers summing to 2005 with maximum digit-sum

For a positive integer $n$, let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n$. For example, $S(611)=6+1+1=8$. Let $a,b,c$ be three-digit positive integers satisfying $a+b+c=2005$. Let $M$ be the maximum possible value of $S(a)+S(b)+S(c)$. How many ordered triples $(a,b,c)$ achieve $S(a)+S(b)+S(c)=M$? (Triples that differ in the order of $a,b,c$ are counted as distinct.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Contare i triples ordinati di numeri a 3 cifre che sommano al 2005 con somma massima di cifre *

Per un intero positivo $n$, $S(n)$ indica la somma delle cifre di $n$. Ad esempio, $S(611)=6+1+1=8$. $a,b,c$ siano numeri interi positivi a tre cifre che soddisfino $a+b+c=2005$. $M$ è il valore massimo possibile di $S(a)+S(b)+S(c)$. Quanti triples $(a,b,c)$ ordinati raggiungono $S(a)+S(b)+S(c)=M$? (I triples che differiscono nell’ordine di $a,b,c$ sono contati come distinti.)

src_jmo15yq_yosen__Q10

Minimum cos(angle QPR) for varying division point k in triangle ABC

In triangle $ABC$ with $BC=12$, $CA=11$, $AB=5$, let $k$ be a real number with $0<k<1$. Define the following six points:\n\n- On side $BC$: let $P_1$ be the point dividing $BC$ in the ratio $k:(1-k)$ from $B$, and $P_2$ the point dividing $BC$ in the ratio $(1-k):k$ from $B$.\n- On side $CA$: let $Q_1$ be the point dividing $CA$ in the ratio $6:1$ from $C$, and $Q_2$ the point dividing $CA$ in the ratio $1:6$ from $C$.\n- On side $AB$: let $R_1$ be the point dividing $AB$ in the ratio $2:5$ from $A$, and $R_2$ the point dividing $AB$ in the ratio $5:2$ from $A$.\n\nWhen there exists a triangle $PQR$ with $Q=Q_1$, $R=R_1$, $P=P_2$; $QR=Q_1{R}_0$, $RP=R_1{P}_2$, $PQ=P_1{Q}_2$ (i.e., the side lengths of triangle $PQR$ equal $|Q_1{R}_0|$, $|R_1{P}_2|$, $|P_1{Q}_2|$ for varying $k$), find the minimum value of $\cos \angle QPR$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Minimum cos(angle QPR) for varying division point k in triangle ABC

In triangle $ABC$ with $BC=12$, $CA=11$, $AB=5$, let $k$ be a real number with $0<k<1$. Define the following six points:\n\n- On side $BC$: let $P_1$ be the point dividing $BC$ in the ratio $k:(1-k)$ from $B$, and $P_2$ the point dividing $BC$ in the ratio $(1-k):k$ from $B$.\n- On side $CA$: let $Q_1$ be the point dividing $CA$ in the ratio $6:1$ from $C$, and $Q_2$ the point dividing $CA$ in the ratio $1:6$ from $C$.\n- On side $AB$: let $R_1$ be the point dividing $AB$ in the ratio $2:5$ from $A$, and $R_2$ the point dividing $AB$ in the ratio $5:2$ from $A$.\n\nWhen there exists a triangle $PQR$ with $Q=Q_1$, $R=R_1$, $P=P_2$; $QR=Q_1{R}_0$, $RP=R_1{P}_2$, $PQ=P_1{Q}_2$ (i.e., the side lengths of triangle $PQR$ equal $|Q_1{R}_0|$, $|R_1{P}_2|$, $|P_1{Q}_2|$ for varying $k$), find the minimum value of $\cos \angle QPR$.

src_jmo15yq_yosen__Q11

Maximum number of ways to destroy bridges so all islands have even degree

There are $80$ islands and $2005$ bridges. Each pair of islands is connected by at most one bridge, and some pairs may have no bridge. From any island, it is possible to reach any other island by crossing a sequence of bridges (i.e., the graph is connected). We wish to destroy some of the $2005$ bridges so that after destruction, every island has an even number of bridges remaining. (Destroying $0$ bridges is allowed; after destruction the graph need not remain connected; and after destruction, it is also acceptable if some island becomes unreachable from another.) For each island, the number of remaining bridges must be even (possibly zero). Over all connected graphs on $80$ vertices with $2005$ edges, find the maximum number of ways to choose which bridges to destroy.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Induzione, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2^{1926}$ Fonte: apri PDF

Il numero massimo di modi per distruggere ponti in modo che tutte le isole abbiano un grado pari

Ci sono isole $80$ e ponti $2005$. Ogni coppia di isole è collegata da un ponte al massimo, e alcune coppie potrebbero non avere un ponte. Da qualsiasi isola, è possibile raggiungere qualsiasi altra isola attraversando una sequenza di ponti (cioè il grafico è collegato). Desideriamo distruggere alcuni dei ponti$2005$così che dopo la distruzione, ogni isola abbia un numero pari di ponti rimasti. (La distruzione di ponti $0$ è consentita; dopo la distruzione il grafico non deve rimanere connesso; e dopo la distruzione, è anche accettabile se un’isola diventa irraggiungibile da un’altra). Su tutti i grafici collegati su vertici $80$ con bordi $2005$, trovare il numero massimo di modi per scegliere quali ponti distruggere.

Risposta: 2^{1926} src_jmo15yq_yosen__Q12