Japan Mathematical Olympiad 2006 — Honsen (Final)

Circle geometry: prove two arc-midpoint chords are equal

Let $O$ be a circle, and let five points $A,M,B,C,D$ lie on $O$ in this order. Suppose the arc $MA$ and the arc $MB$ are bisected (i.e., their midpoints are taken). Let $P$ and $Q$ be the intersections of line $AC$ with line $MD$ and of line $BD$ with line $MC$, respectively, and let $X$ and $Y$ be the two intersection points of line $PQ$ with circle $O$. Prove that $MX=MY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Geometria del cerchio: dimostrare che due accordi a punto medio dell’arco sono uguali

Lasciate che $O$ sia un cerchio, e lasciate che cinque punti $A,M,B,C,D$ si trovino su $O$ in questo ordine. Supponiamo che l’arco $MA$ e l’arco $MB$ siano divisi (cioè si prendono i loro punti medi). Il $P$ e il $Q$ siano rispettivamente le intersezioni della linea $AC$ con la linea $MD$ e della linea $BD$ con la linea $MC$, e il $X$ e il $Y$ siano i due punti di intersezione della linea $PQ$ con il cerchio $O$. Prove che $MX=MY$.

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Find all integers k with infinitely many integer solutions to the equation

Find all integers $k$ for which there exist infinitely many triples of integers $(a,b,c)$ satisfying $(a^2-k)(b^2-k)=c^2-k.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti i numeri interi k con infinite soluzioni di numeri interi all’equazione

Trova tutti gli integri $k$ per i quali esistono infiniti triples di integri $(a,b,c)$ soddisfacendo $(a^2-k)(b^2-k)=c^2-k.$

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Find all real functions satisfying a given functional equation

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ defined on the reals such that for all real numbers $x,y$, $f(x{)}^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definite sui numeri reali in modo tale che per tutti i numeri reali $x,y$, $f(x{)}^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)).$

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Count lattice path crossing configurations; find all valid tuples

Let integers $m,n$ satisfy $2\le m\le n$. Consider an $m\times n$ grid of streets: there are $m$ horizontal streets running east–west and $n$ vertical streets running north–south. A path is a route that travels only east along horizontal streets. There is a rectangular region of the grid. We say a pair $(a,a^{\prime })$ with $a\ne a^{\prime }$ and a pair $(b,b^{\prime })$ with $b\ne b^{\prime }$ satisfy the condition if: starting from the west end of horizontal street $a$ (resp.\ $a^{\prime }$), among all north–south intersections, the crossing points of the path from street $a$ and the path from street $a^{\prime }$ with north–south streets $b$ and $b^{\prime }$ (respectively) are such that, counting from the beginning (including the start) to the end, each crossing point is visited exactly once. Find all tuples $(m,n,a,b,a^{\prime },b^{\prime })$ of positive integers satisfying this condition.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le configurazioni di incrocio del percorso della rete; trovare tutti i tupli validi

Lasciate che gli integri $m,n$ soddisfino $2\le m\le n$. Considerate una griglia di strade $m\times n$: ci sono $m$ strade orizzontali che vanno da est a ovest e $n$ strade verticali che vanno da nord a sud. Un sentiero è un percorso che percorre solo l’est lungo strade orizzontali. La griglia ha una regione rettangolare. Diciamo che una coppia $(a,a^{\prime })$ con $a\ne a^{\prime }$ e una coppia $(b,b^{\prime })$ con $b\ne b^{\prime }$ soddisfano la condizione se: a partire dall’estremità occidentale della strada orizzontale $a$ (resp.\ $a^{\prime }$), tra tutte le intersezioni nord/sud, i punti di attraversamento del percorso da strada $a$ e dal percorso da strada $a^{\prime }$ con strade nord/sud $b$ e $b^{\prime }$ (respectivamente) sono tali che, contando dall’inizio (compreso l’inizio) alla fine, ogni punto di attraversamento viene visitato esattamente una volta. Trova tutti i tuppi $(m,n,a,b,a^{\prime },b^{\prime })$ di numeri interi positivi che soddisfano questa condizione.

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Find maximum A in a symmetric inequality for positive reals

For positive real numbers $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,z_1,z_2,z_3$, find the maximum value of the constant $A$ such that the inequality $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)(z_1^2+z_2^2+z_3^2)\ge A(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)(x_3+y_3+z_3)$ holds for all such positive reals. Also find all conditions under which equality holds.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo di A in una disuguaglianza simmetrica per i reali positivi

Per i numeri reali positivi $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,z_1,z_2,z_3$, trovare il valore massimo della costante $A$ in modo tale che l’ineguaglianza $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)(z_1^2+z_2^2+z_3^2)\ge A(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)(x_3+y_3+z_3)$ sia valida per tutti tali numeri reali positivi. Trova anche tutte le condizioni in cui l’uguaglianza si verifica.

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