Japan Mathematical Olympiad 2006 — Yosen (Preliminary)

Max value of n-m for 3-digit number with digit sum condition

Let $n$ be a positive integer that is not a multiple of $10$ and whose hundreds digit is not $0$. When the hundreds digit and the units digit of $n$ are swapped, let the resulting integer be $m$. Find the maximum value of $n-m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 792 Fonte: apri PDF

Valore massimo di n-m per un numero a 3 cifre con condizione somma di cifre

Che $n$ sia un intero positivo che non è un multiple di $10$ e la cui cifra di centinaia non è $0$. Quando si scambiano la cifra centinaia e la cifra unità di $n$, il numero intero risultante deve essere $m$. Trova il valore massimo di $n-m$.

Risposta: 792 src_jmo16yq_yosen__Q01

Side length of equilateral triangle with interior point and given foot distances

Let $P$ be a point inside an equilateral triangle. The lengths of the perpendiculars dropped from $P$ to each side are $1$, $2$, and $3$ respectively. Find the side length of this equilateral triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2\sqrt{7}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza laterale di un triangolo equilaterale con punto interno e date distanze a piedi

Che $P$ sia un punto all’interno di un triangolo equilaterale. Le lunghezze delle perpendicolari abbassate da $P$ a ciascun lato sono rispettivamente $1$, $2$ e $3$. Trova la lunghezza laterale di questo triangolo equilaterale.

Risposta: $2\sqrt{7}$ src_jmo16yq_yosen__Q02

Count ways to fill 3×4 grid with 1–4 so no value repeats in any row or column

In how many ways can each cell of a $3\times 4$ grid be filled with one of the numbers $1,2,3,4$ so that both of the following conditions are satisfied? \begin{itemize} \item The same number does not appear more than once in any row. \item The same number does not appear more than once in any column. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 36 Fonte: apri PDF

Contare i modi per riempire la griglia 3 ×4 con 14 in modo che nessun valore si ripeta in nessuna riga o colonna

In quanti modi ogni cella di una griglia $3\times 4$ può essere riempita con uno dei numeri $1,2,3,4$ in modo da soddisfare entrambe le seguenti condizioni? \begin{itemize} \item Lo stesso numero non appare più di una volta in nessuna riga. \item Lo stesso numero non appare più di una volta in nessuna colonna. # Finire #

Risposta: 36 src_jmo16yq_yosen__Q03

Find pairs of distinct positive integers whose sum of two is a perfect square and whose minimum is minimized

Among all sets of three distinct positive integers such that the sum of any two of them is a perfect square, find all such sets for which the smallest element is as small as possible. Two sets are considered the same if they contain the same elements regardless of order (e.g., $\{1,2,3\}$ and $\{3,2,1\}$ are the same).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\{41,80,104\}$ Fonte: apri PDF

Ricerca coppie di numeri interi positivi distinti la cui somma di due è un quadrato perfetto e il cui minimo è minimizzato

Tra tutti gli insiemi di tre diversi interi positivi in modo tale che la somma di due di essi sia un quadrato perfetto, trovare tutti tali insiemi per i quali l’elemento più piccolo è il più piccolo possibile. Due set sono considerati uguali se contengono gli stessi elementi indipendentemente dall’ordine (ad esempio, $\{1,2,3\}$ e $\{3,2,1\}$ sono uguali).

Risposta: $\{41,80,104\}$ src_jmo16yq_yosen__Q04

Find all real triples satisfying a system of three equations

Find all triples of real numbers $(x,y,z)$ satisfying the following system of equations: $x^2-3y-z=-8$ $y^2-5x-z=-12$ $z^2-x-y=6$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $(1,2,3)$ Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli reali che soddisfano un sistema di tre equazioni

Trova tutti i triples dei numeri reali $(x,y,z)$ che soddisfano il seguente sistema di equazioni: $x^2-3y-z=-8$ $y^2-5x-z=-12$ $z^2-x-y=6$

Risposta: $(1,2,3)$ src_jmo16yq_yosen__Q05

Count ways to color 3×3 grid red/blue avoiding monochromatic 2×2 squares

A $3\times 3$ grid has each cell colored either red or blue. In how many ways can this be done so that: \begin{itemize} \item No $2\times 2$ subgrid is entirely red. \item No $2\times 2$ subgrid is entirely blue. \end{itemize} Colorings that differ by rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri PDF

Contare i modi per colorare 3×3 grid rosso/blu evitando la monocromatica 2×2 quadrati

Una griglia $3\times 3$ ha ogni cella di colore rosso o blu. In quanti modi può essere fatto in modo che: \begin{itemize} \item No $2\times 2$ sottogrid è interamente rosso. La sottorretto $2\times 2$ è interamente blu. \end{itemize} I colori che differiscono per rotazione o riflessione sono contati come distinti.

Risposta: 56 src_jmo16yq_yosen__Q06

Count triples of mutually coprime 2-digit integers sharing digit-equality conditions

Let $x,y,z$ be mutually coprime two-digit positive integers such that the tens digit of $x$ equals the tens digit of $y$, the units digit of $y$ equals the units digit of $z$, and the tens digit of $z$ equals the units digit of $x$. How many such triples $(x,y,z)$ are there, counting triples with the same set of values but different orderings as distinct?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i triplici di numeri interi a 2 cifre reciprocamente coprimari condividendo condizioni di uguaglianza digitali

Che $x,y,z$ siano reciprocamente coprime interi positivi a due cifre in modo tale che la decina di $x$ sia pari alla decina di $y$, la decina di unità di $y$ sia pari alla decina di unità di $z$, e la decina di $z$ sia pari alla decina di unità di $x$. Quanti treplici $(x,y,z)$ esistono, contando treplici con lo stesso insieme di valori ma ordinamenti diversi come distinti?

src_jmo16yq_yosen__Q07

Minimum days for Jiro and Saburo to finish reading a 120-page book together

There is a book. Jiro reads it at $2$ pages per day, and Saburo reads it at $3$ pages per day. However, when either of them reaches the end of a chapter, he stops for the day even if he has not read the required number of pages. The book has $10$ chapters and $120$ pages in total. Each person starts reading from the first page of a new chapter each day. Find the minimum possible number of days that it can take from when Jiro starts reading until Saburo finishes reading. Note that both may start reading on the same day.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum di giorni per Jiro e Saburo per finire di leggere insieme un libro di 120 pagine

C’è un libro. Jiro lo legge a $2$ pagine al giorno, e Saburo lo legge a $3$ pagine al giorno. Tuttavia, quando uno di essi arriva alla fine di un capitolo, si ferma per il giorno anche se non ha letto il numero richiesto di pagine. Il libro ha capitoli $10$ e pagine $120$ in totale. Ogni giorno ogni persona inizia a leggere dalla prima pagina di un nuovo capitolo. Trova il minimo numero possibile di giorni da quando Jiro inizia a leggere fino a quando Saburo finisce di leggere. Si noti che entrambi possono iniziare a leggere nello stesso giorno.

src_jmo16yq_yosen__Q08

Find common circumradius of triangles OBC, OCA, OAB given side lengths

In triangle $ABC$ with $BC=5$, $CA=7$, $AB=8$, let $O$ be a point inside the triangle. The circumradii of triangles $OBC$, $OCA$, and $OAB$ are all equal. Find this common circumradius.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{35}{\sqrt{759}}$ Fonte: apri PDF

Ricerca il circondario comune dei triangoli OBC, OCA, OAB dati lunghezze laterali

Nel triangolo $ABC$ con $BC=5$, $CA=7$, $AB=8$, $O$ sia un punto all’interno del triangolo. Le circondazioni dei triangoli $OBC$, $OCA$ e $OAB$ sono tutte uguali. Trova questo circondario comune.

Risposta: $\frac{35}{\sqrt{759}}$ src_jmo16yq_yosen__Q09

Count ant paths on dodecahedron edges from vertex X back to X

Let $X$ be one vertex of a regular dodecahedron. An ant starts at $X$, travels along the edges of the dodecahedron, and returns to $X$. The ant passes through every vertex exactly once and traverses every edge at most once. Count the number of such paths, where paths that are traversed in reverse are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi di formiche sui bordi del dodecaedro dal vertice X indietro a X

Che $X$ sia uno vertex di un dodecaedro regolare. Una formica inizia a $X$, viaggia lungo i bordi del dodecaedro e ritorna a $X$. La formica attraversa ogni vertice esattamente una volta e attraversa ogni bordo al massimo una volta. Conteggi il numero di tali percorsi, dove i percorsi percorsi in senso inverso vengono contati come diversi.

src_jmo16yq_yosen__Q10

Find minimum constant c for functional inequality involving f(x,y) on unit square

For real numbers $x,y$ with $0\le x,y\le 1$, define $f(x,y)=xy\sqrt{1-x^2}-x^{2}y\sqrt{1-y^2}.$ Find the minimum constant $c$ such that: for every integer $n\ge 2$ and every real numbers $0\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le 1$, $f(a_1,a_2)+f(a_2,a_3)+\cdots +f(a_{n-1},a_n)<c.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ Fonte: apri PDF

Ricerca la costante minima c per le disuguaglianze funzionali che coinvolgono f ((x,y) sul quadrato unitario

Per i numeri reali $x,y$ con $0\le x,y\le 1$, definire $f(x,y)=xy\sqrt{1-x^2}-x^{2}y\sqrt{1-y^2}.$ Trovare la costante minima $c$ tale che: per ogni intero $n\ge 2$ e per ogni numero reale $0\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le 1$, $f(a_1,a_2)+f(a_2,a_3)+\cdots +f(a_{n-1},a_n)<c.$

Risposta: $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ src_jmo16yq_yosen__Q11

Count 20-tuples of positive integers satisfying product inequality conditions

Let $(p_1,p_2,\dots ,p_{10},q_1,q_2,\dots ,q_{10})$ be a $20$-tuple of positive integers with $p_1=q_{10}=1$, and for each $i=1,2,\dots ,9$, the condition $p_i{q}_i-p_{i+1}{q}_{i+1}\ge 1$ holds. How many such $20$-tuples are there?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare 20 volte dei numeri interi positivi che soddisfano le condizioni di disuguaglianza dei prodotti

$(p_1,p_2,\dots ,p_{10},q_1,q_2,\dots ,q_{10})$ sia un $20$-topo di integri positivi con $p_1=q_{10}=1$, e per ogni $i=1,2,\dots ,9$, la condizione $p_i{q}_i-p_{i+1}{q}_{i+1}\ge 1$ è valida. Quanti sono tali “$20$-tupli”?

src_jmo16yq_yosen__Q12