Japan Mathematical Olympiad 2007 — Honsen (Final)

Winning strategy in a number-calling game up to n

Let $n$ be a positive integer. Two players take turns saying integers between $1$ and $n$ inclusive (each integer may be said at most once). The game ends when no integers remain. If the sum of the integers said by the first player is divisible by $3$, the first player wins; otherwise the second player wins. Find all $n$ for which the first player has a winning strategy.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti, Congruenze Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Strategia vincente in un gioco di chiamate di numero fino a n *

$n$ sia un numero intero positivo. Due giocatori si alternano dicendo numeri interi tra $1$ e $n$ inclusivi (ogni numero intero può essere detto una volta al massimo). La partita finisce quando non restano numeri interi. Se la somma dei numeri interi indicati dal primo giocatore è divisibile per $3$, il primo giocatore vince; altrimenti il secondo giocatore vince. Trova tutte le $n$ per le quali il primo giocatore ha una strategia vincente.

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Characterize functions satisfying a double functional inequality

Let $f$ be a function defined on the positive reals and taking positive real values. Find all such $f$ satisfying: for every pair of positive reals $x,y$, $f(x)+f(y)\le \frac{f(x+y)}{2}+\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}\ge \frac{f(x+y)}{x+y}.$ (That is, simultaneously $f(x)+f(y)\le \frac{f(x+y)}{2}+\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}$ and $\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}\ge \frac{f(x+y)}{x+y}$.)

Topic: Equazioni funzionali, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Caricare le funzioni che soddisfano una doppia disuguaglianza funzionale

Lasciate che $f$ sia una funzione definita sui valori reali positivi e che prenda valori reali positivi. Trovare tutti tali $f$ soddisfacenti: per ogni coppia di valori reali positivi $x,y$, $f(x)+f(y)\le \frac{f(x+y)}{2}+\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}\ge \frac{f(x+y)}{x+y}.$ (cioè contemporaneamente $f(x)+f(y)\le \frac{f(x+y)}{2}+\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}$ e $\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}\ge \frac{f(x+y)}{x+y}$.)

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Four circles tangent to triangle sides meet at a point

Let $△ABC$ be a triangle. Let $\Gamma$ be its circumscribed circle (circumcircle). Let ${\Gamma }_A$ be the circle internally tangent to $\Gamma$ and tangent to sides $AB$ and $AC$; let ${\Gamma }_B$ be the circle internally tangent to $\Gamma$ and tangent to sides $AB$ and $BC$; let ${\Gamma }_C$ be the circle internally tangent to $\Gamma$ and tangent to sides $AC$ and $BC$. Denote the points of tangency of ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ with $\Gamma$ by $P$, $Q$, $R$ respectively. Prove that the lines $AP$, $BQ$, $CR$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro cerchi tangenti ai lati del triangolo si incontrano in un punto

Lasciate che $△ABC$ sia un triangolo. $\Gamma$ sia il suo circolo circonscritto (circolo circonscritto). Il ${\Gamma }_A$ deve essere il cerchio interno tangente a $\Gamma$ e tangente ai lati $AB$ e $AC$; ${\Gamma }_B$ deve essere il cerchio interno tangente a $\Gamma$ e tangente ai lati $AB$ e $BC$; ${\Gamma }_C$ deve essere il cerchio interno tangente a $\Gamma$ e tangente ai lati $AC$ e $BC$. Indicare rispettivamente i punti di tangenza di ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ con $\Gamma$ per $P$, $Q$ e $R$. Prove che le linee $AP$, $BQ$, $CR$ sono simultanee.

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Band of width sqrt(2) covering four given points in the plane

In the plane, call the set of all points whose distance from a given line is at most $\frac{d}{2}$ a “band of width $d$”. Let $A$, $B$, $C$, $D$ be four points in the plane. Suppose that for any choice of three of these four points, there exists a band of width $1$ containing all three. Prove that there exists a band of width $\sqrt{2}$ that contains all four points.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Band di larghezza sqrt(2) che copre quattro punti del piano

Nel piano, definire l’insieme di tutti i punti la cui distanza da una data linea è al massimo $\frac{d}{2}$ una “banda di larghezza $d$”. Se i punti $A$, $B$, $C$, $D$ sono quattro punti del piano. Supponiamo che per qualsiasi scelta di tre di questi quattro punti, esista una fascia di larghezza $1$ che contiene tutti e tre. Prove che esiste una banda di larghezza $\sqrt{2}$ che contiene tutti e quattro i punti.

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Irrational alpha such that beta in A(alpha) implies beta/alpha is an integer

For a real number $r$, let $\lfloor r\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $r$. For a positive real number $x$, define the set $A(x)=\{\lfloor nx\rfloor \mid n\text{ is a positive integer}\}.$ Find all irrational numbers $\alpha >1$ such that: whenever $\beta$ is a positive real with $A(\alpha )\supset A(\beta )$, the ratio $\frac{\beta }{\alpha }$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Congruenze, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Alfa irrazionale tale che beta in A(alfa) implica che beta/alfa è un intero

Per un numero reale $r$, $\lfloor r\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $r$. Per un numero reale positivo $x$, definire l’insieme $A(x)=\{\lfloor nx\rfloor \mid n\text{ is a positive integer}\}.$ Trovare tutti i numeri irrazionali $\alpha >1$ in modo tale che: ogni volta che $\beta$ è un vero positivo con $A(\alpha )\supset A(\beta )$, il rapporto $\frac{\beta }{\alpha }$ è un intero.

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