Japan Mathematical Olympiad 2007 — Yosen (Preliminary)

Area of convex quadrilateral with one right angle and given side lengths

A convex quadrilateral $ABCD$ satisfies $AB=3$, $BC=4$, $CD=5$, $DA=6$, and $\angle ABC=90^{\circ }$. Find the area of $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Area di quadrilaterali convexi con un angolo retto e lunghezze laterali date

Un quadrilaterale converso $ABCD$ soddisfa $AB=3$, $BC=4$, $CD=5$, $DA=6$ e $\angle ABC=90^{\circ }$. Trova la superficie di $ABCD$.

Risposta: 18 src_jmo17yq_yosen__Q01

Units digit of a power tower 11^(12^13)

Find the units digit of $11^{12^{13}}$. Here $11^{12^{13}}$ denotes $11$ raised to the power $12^{13}$ (not $(11^{12})\cdot 13$), and $11^{12}$ denotes $11$ raised to the power $12^{13}$, not the $13$th multiple of $11^{12}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF

*Unità di numero di una torre elettrica 11^(12^13) *

Trova la cifra di unità di $11^{12^{13}}$. Qui $11^{12^{13}}$ indica $11$ sollevato alla potenza $12^{13}$ (non $(11^{12})\cdot 13$), e $11^{12}$ indica $11$ sollevato alla potenza $12^{13}$, non il $13$th multiplo di $11^{12}$.

Risposta: 1 src_jmo17yq_yosen__Q02

Minimum product AP times BP for a point P at distance 3 from segment AB

A segment $AB$ of length $7$ lies on a plane. Let $P$ be a point on the plane such that the distance from $P$ to line $AB$ is $3$. Find the minimum value of $AP\times BP$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{85}{4}$ Fonte: apri PDF

Produzione minima AP volte BP per un punto P a distanza 3 dal segmento AB

Un segmento $AB$ di lunghezza $7$ si trova su un piano. Il $P$ deve essere un punto del piano tale che la distanza da $P$ alla linea $AB$ sia $3$. Trova il valore minimo di $AP\times BP$.

Risposta: $\frac{85}{4}$ src_jmo17yq_yosen__Q03

4-digit integers whose upper and lower 2-digit parts have product equal to divisor count

Let $n$ be a 4-digit positive integer whose tens digit is not $0$. Consider the integer $p$ formed by the hundreds and thousands digits of $n$ (the upper two digits) and the integer $q$ formed by the tens and units digits of $n$ (the lower two digits), where both $p$ and $q$ are 2-digit integers. The product $p\cdot q$ equals the number of positive divisors of $n$. Find all such $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieri a 4 cifre le cui parti superiori e inferiori a 2 cifre hanno il prodotto pari al numero di divisori

Che $n$ sia un intero positivo a 4 cifre la cui cifra decimale non è $0$. Considera il numero intero $p$ formato dalle centinaia e migliaia di cifre di $n$ (le due cifre superiori) e il numero intero $q$ formato dalle decine e dalle cifre di unità di $n$ (le due cifre inferiori), dove sia $p$ che $q$ sono numeri interi a 2 cifre. Il prodotto $p\cdot q$ è uguale al numero di divisori positivi di $n$. Trova tutte le $n$.

src_jmo17yq_yosen__Q04

Maximum regions the plane is divided into by 3 axis-aligned rectangles

Three rectangles are placed on a plane so that any two of them have mutually parallel sides (i.e., all sides are parallel to one of two fixed perpendicular directions). Into at most how many regions can these three rectangles divide the plane? Each rectangle’s interior and boundary are considered, and a region not contained in any rectangle is also counted as one region. (For example, a single rectangle divides the plane into $2$ regions.)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Regioni massime in cui il piano è diviso in 3 rettangoli allineati all’asse

Tre rettangoli sono posizionati su un piano in modo che due di essi abbiano lati reciprocamente paralleli (cioè, tutti i lati sono paralleli a una delle due direzioni perpendicolari fisse). In quante regioni al massimo questi tre rettangoli possono dividere il piano? L’interno e il confine di ogni rettangolo sono considerati, e una regione non contenuta in alcun rettangolo è anche considerata come una regione. (Per esempio, un singolo rettangolo divide il piano in regioni $2$.)

src_jmo17yq_yosen__Q05

Count distinct sums achievable by selecting cards numbered 1 to 15

There are $15$ cards, each with a distinct integer written on it, one from each of $1,2,\dots ,15$. One or more cards are selected and the numbers on them are summed. How many distinct values can this sum take?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 120 Fonte: apri PDF

Contare somme distinte raggiungibili selezionando carte numerate da 1 a 15

Ci sono carte $15$, ciascuna con un numero intero distinto scritto su di essa, una da ciascuna di $1,2,\dots ,15$. Si selezionano una o più carte e si sommano i numeri. Quanti valori distinti può contenere questa somma?

Risposta: 120 src_jmo17yq_yosen__Q06

Count unordered ways to write 100 as sum of non-negative integers each at most 3

In how many ways can $100$ be expressed as a sum of some positive number of non-negative integers, each of which is at most $3$? Two expressions that differ only in the order of their terms are considered the same.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 884 Fonte: apri PDF

Contare modi non ordinati per scrivere 100 come somma di interi non negativi ciascuno al massimo 3

In quanti modi $100$ può essere espresso come somma di un certo numero positivo di integri non negativi, ognuno dei quali è al massimo $3$? Due espressioni che differiscono solo nell’ordine dei loro termini sono considerate uguali.

Risposta: 884 src_jmo17yq_yosen__Q07

Count triangulations of a cube into tetrahedra using only cube vertices

Let $S$ be a cube. In how many ways can $S$ be partitioned into a collection of tetrahedra $\{T_1,\dots ,T_k\}$ satisfying the following two conditions? \begin{itemize} \item[(1)] The vertices of each tetrahedron $T_i$ are all vertices of $S$. \item[(2)] For any $i\ne j$, if $T_i$ and $T_j$ share a common part, then that common part is either a common face, a common edge, or a common vertex of $T_i$ and $T_j$. \end{itemize}

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le triangolazioni di un cubo in tetraedri utilizzando solo vertici di cubo

Lasciate che $S$ sia un cubo. In quanti modi $S$ può essere suddiviso in una raccolta di tetraedri $\{T_1,\dots ,T_k\}$ che soddisfano le seguenti due condizioni? \begin{itemize} \item[(1)] I vertici di ogni tetraedro $T_i$ sono tutti vertici di $S$. \item[(2)] Per qualsiasi $i\ne j$, se $T_i$ e $T_j$ condividono una parte comune, allora quella parte comune è una faccia comune, un bordo comune o un vertice comune di $T_i$ e $T_j$. # Finire #

src_jmo17yq_yosen__Q08

Find all integer solutions to a^2 b^2 = 4a^3 + b^3

Find all pairs of integers $(a,b)$ satisfying $a^2{b}^2=4a^3+b^3.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali a^2 b^2 = 4a^3 + b^3

Trova tutte le coppie di integri $(a,b)$ soddisfacenti $a^2{b}^2=4a^3+b^3.$

src_jmo17yq_yosen__Q09

Count card multisets with sum 2007 allowing unique n-subset with sum divisible by n

There are some cards, each with a positive integer written on it, and the sum of all the written numbers is $2007$. For every integer $n$ with $1\le n\le 2006$, one can choose $n$ cards such that the sum of the numbers on the chosen cards is divisible by $n$, and moreover this choice is unique (where cards with the same number written on them are treated as indistinguishable). How many such collections of cards are possible?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Multiinsiemi di schede di conteggio con somma 2007 che consentono n-sottosette unici con somma divisibile da n

Ci sono alcune carte, ognuna con un intero positivo scritto su di essa, e la somma di tutti i numeri scritti è $2007$. Per ogni numero intero $n$ con $1\le n\le 2006$, si possono scegliere carte $n$ in modo tale che la somma dei numeri sulle carte scelte sia divisibile da $n$, e inoltre questa scelta è unica (in cui le carte con lo stesso numero scritto su di esse sono trattate come indistinguibili). Quante tali collezioni di carte sono possibili?

src_jmo17yq_yosen__Q10

Find medal-threshold triples so exactly 2 participant counts give a fixed no-medal count

At a mathematics competition, each participant receives at most one medal: gold, silver, or bronze. When $n$ people participate, the number of gold medals awarded is $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$, the number of silver medals is $\lfloor \frac{n}{b}\rfloor$, and the number of bronze medals is $\lfloor \frac{n}{c}\rfloor$, where $a,b,c$ are positive integers with $a\ge b\ge c$. No person receives more than one medal. For a given non-negative integer $k$, suppose that for every integer $n\ge 3$, the number of values of $n$ for which exactly $k$ people receive no medal is exactly $2$. Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers satisfying this condition. (Here $\lfloor r\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding the real number $r$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova il triple della soglia di medaglia in modo che esattamente 2 numeri di partecipanti danno un numero fisso senza medaglie

In una competizione di matematica, ogni partecipante riceve al massimo una medaglia: oro, argento o bronzo. Quando partecipano persone $n$, il numero di medaglie d’oro assegnate è $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$, il numero di medaglie d’argento è $\lfloor \frac{n}{b}\rfloor$, e il numero di medaglie di bronzo è $\lfloor \frac{n}{c}\rfloor$, dove $a,b,c$ sono numeri interi positivi con $a\ge b\ge c$. Nessuna persona riceve più di una medaglia. Per un dato numero intero non negativo $k$, supponiamo che per ogni numero intero $n\ge 3$, il numero di valori di $n$ per i quali esattamente $k$ le persone non ricevono medaglie è esattamente $2$. Trova tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che soddisfano questa condizione. (Qui $\lfloor r\rfloor$ indica il più grande numero intero non superiore al numero reale $r$.)

src_jmo17yq_yosen__Q11

Maximum guaranteed honest-candidate votes in a village with liars using one instruction

A village has $2007$ people. A god (神様) wishes to determine the name of a candidate by polling the villagers. Each villager can write letters: in each letter, a villager writes one candidate name and sends it to the god. Letters are collected each evening and delivered the next morning. Each villager is either an honest person (正直者) or a liar (嘘つき). The god knows the total number of honest people and liars, but not which specific individuals are honest. It is known that at least $3$ people are honest. You may, on one particular day, give a single instruction to all villagers. Honest people will follow your instruction; liars may do anything. Find the maximum value of $k$ such that you can guarantee the following: if you give the appropriate instruction, and there exists a candidate name that every honest person would independently send to the god, then at least $k$ honest people all send that same candidate name to the god.

More precisely, the two rules are: \begin{itemize} \item At the end of the process, every honest person sends the god a letter, and all honest persons send the same candidate. \item If all honest persons, after computing independently, agree on the same candidate name, then that is the name every honest person sends to the god. \end{itemize} Find the maximum value of $k$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimi voti garantiti da candidati onesti in un villaggio con bugiardi che utilizzano una sola istruzione

Un villaggio ha $2007$ persone. Un dio (神) vuole determinare il nome di un candidato facendo un sondaggio ai villaggi. Ogni abitante del villaggio può scrivere lettere: in ogni lettera, un abitante del villaggio scrive un nome candidato e lo invia al dio. Le lettere vengono raccolte ogni sera e consegnate la mattina dopo. Ogni abitante del villaggio è o una persona onesta, o un bugiardo. Dio conosce il numero totale di persone oneste e di bugiardi, ma non quali singole persone siano oneste. È noto che almeno le persone $3$ sono oneste. Potete, in un giorno particolare, dare un’unica istruzione a tutti i villaggi. Le persone oneste seguiranno le tue istruzioni; i bugiardi possono fare qualsiasi cosa. Trova il valore massimo di $k$ in modo da poter garantire quanto segue: se dai le istruzioni appropriate, e esiste un nome candidato che ogni persona onesta invierebbe indipendentemente al dio, allora almeno $k$ persone oneste inviano tutti lo stesso nome candidato al dio.

Più precisamente, le due regole sono: alla fine del processo, ogni persona onesta invia al dio una lettera, e tutte le persone oneste inviano lo stesso candidato. Se tutte le persone oneste, dopo aver calcolato indipendentemente, concordano sullo stesso nome del candidato, allora questo è il nome che ogni persona onesta invia al dio. \end{itemize} Trova il valore massimo di $k$.

src_jmo17yq_yosen__Q12