Japan Mathematical Olympiad 2009 — Honsen (Final)

Find all positive integers n with 2^n+n dividing 8^n+n^n

Find all positive integers $n$ such that $2^n+n$ divides $8^n+n^n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n con 2^n+n dividendo 8^n+n^n

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $2^n+n$ divida $8^n+n^n$.

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Blackboard integers with even sum: prove circle-cross labeling equates partial sums

Let $N$ be a positive integer. On a blackboard, finitely many integers are written satisfying the following three conditions: \begin{itemize} \item Every number written is at least $1$ and at most $N$. \item For every integer $m$ with $1\le m\le N$, at least one copy of $m$ is written. \item The sum of all the numbers written is even. \end{itemize} Prove that one can label each written number with either $◯$ or $\times$ so that the sum of the $◯$-labeled numbers equals the sum of the $\times$-labeled numbers.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tanti interi della lavagna con somma pari: dimostra che l’etichettatura a croce circolare equivale a somme parziali

$N$ sia un numero intero positivo. Su una lavagna, finitamente molti numeri interi sono scritti soddisfacendo le seguenti tre condizioni: \begin{itemize} \item Ogni numero scritto è almeno $1$ e al massimo $N$. \item Per ogni numero intero $m$ con $1\le m\le N$, è scritta almeno una copia di $m$. \item La somma di tutti i numeri scritti è pari. \end{itemize} Prova che si può etichettare ogni numero scritto con $◯$ o $\times$ in modo che la somma dei numeri etichettati $◯$ sia uguale alla somma dei numeri etichettati $\times$.

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Find all triples (n1,n2,n3) of positive integers with b1b2=b3*

Let $k\ge 2$ be an integer, let $n_1,n_2,n_3$ be positive integers, and let $a_1,a_2,a_3$ be integers each satisfying $1\le a_i\le k-1$. Define $b_i=a_i{\sum }_{j=0}^{n_i}{k}^j(i=1,2,3).$ Find all triples $(n_1,n_2,n_3)$ such that $b_1{b}_2=b_3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i triples (n1,n2,n3) di numeri interi positivi con b1b2=b3*

Che $k\ge 2$ sia un intero, che $n_1,n_2,n_3$ sia un intero positivo e che $a_1,a_2,a_3$ sia un intero che soddisfa $1\le a_i\le k-1$. Definire $b_i=a_i{\sum }_{j=0}^{n_i}{k}^j(i=1,2,3).$ Trovare tutti i triples $(n_1,n_2,n_3)$ in modo tale che $b_1{b}_2=b_3$.

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Circle tangent to BC and circumcircle: prove angle bisector property at A

Let $\Gamma$ be the circumcircle of triangle $ABC$. Let $\omega$ be a circle centered at $O$ that is internally tangent to $\Gamma$ and tangent to side $BC$ at point $P$. Let $Q$ be the point on arc $BC$ of $\Gamma$ not containing $A$. Given that $\angle BAO=\angle CAO$ (i.e., $AO$ bisects $\angle BAC$), prove that $\angle PAO=\angle QAO$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a BC e circoncircolo: prova la proprietà del bisettore angolare a A

$\Gamma$ sia il circoncircolo del triangolo $ABC$. Il $\omega$ deve essere un cerchio centrato a $O$ che sia tangente internamente a $\Gamma$ e tangente lateralmente a $BC$ al punto $P$. Il $Q$ deve essere il punto sull’arco $BC$ di $\Gamma$ non contenente $A$. Dato che $\angle BAO=\angle CAO$ (cioè $AO$ bisecta $\angle BAC$), dimostrare che $\angle PAO=\angle QAO$.

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Find all non-negative real-valued functions satisfying a functional equation

Find all functions $f$ defined on the non-negative real numbers taking non-negative real values such that for any non-negative real numbers $x$ and $y$, $f(x^2)+f(y)=f\left(x^2+y+xf(4y)\right)$ holds.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni a valore reale non negativo che soddisfano un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali non negativi che assumono valori reali non negativi in modo tale che per tutti i numeri reali non negativi $x$ e $y$, $f(x^2)+f(y)=f\left(x^2+y+xf(4y)\right)$ sia valido.

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