Japan Mathematical Olympiad 2009 — Yosen (Preliminary)

Value of n^2+4n closest to 10000

Among the numbers expressible as $n^2+4n$ for a positive integer $n$, find the one whose absolute difference from $10000$ is smallest.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9996 Fonte: apri PDF

Valuta di n^2+4n più vicina a 10000

Tra i numeri espressi come $n^2+4n$ per un intero positivo $n$, trova quello la cui differenza assoluta da $10000$ è più piccola.

Risposta: 9996 src_jmo19yq_yosen__Q01

Externally tangent circles, collinear chord through tangency

A circle $O_1$ of radius $2$ and a circle $O_2$ of radius $4$ are externally tangent at the point $P$. Points $A,B$ different from $P$ are taken on the circumferences of $O_1$ and $O_2$ respectively, and it happens that $A,P,B$ lie on a single straight line. If the length of segment $AB$ is $4$, find the length of segment $PB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8/3 Fonte: apri PDF

Circoli tangenti esternamente, corda collineare attraverso la tangenza

Un cerchio $O_1$ di raggio $2$ e un cerchio $O_2$ di raggio $4$ sono tangenti esternamente al punto $P$. I punti $A,B$ diversi da $P$ vengono presi rispettivamente sulle circonferenze di $O_1$ e $O_2$, e accade che $A,P,B$ si trova su una singola linea retta. Se la lunghezza del segmento $AB$ è $4$, trovare la lunghezza del segmento $PB$.

Risposta: 8/3 src_jmo19yq_yosen__Q02

Positive integer triples solving two equations

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers satisfying $\{\begin{array}{l}ab+c=13\\ a+bc=23\end{array}$ Here triples that differ only in the order of the three numbers are regarded as distinct.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triplici interi positivi risolvendo due equazioni

Trova tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che soddisfano $\{\begin{array}{l}ab+c=13\\ a+bc=23\end{array}$ Qui i triples che differiscono solo nell’ordine dei tre numeri sono considerati distinti.

src_jmo19yq_yosen__Q03

Minimum angle BAC given AB=4 and median AM=1

In triangle $ABC$, let $M$ be the midpoint of side $BC$, with $AB=4$ and $AM=1$. Find the smallest possible value of the angle $\angle BAC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

BAC angolo minimo dato AB=4 e AM mediana=1

Nel triangolo $ABC$, $M$ sia il punto medio del lato $BC$, con $AB=4$ e $AM=1$. Trova il minimo valore possibile dell’angolo $\angle BAC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo19yq_yosen__Q04

Arrange colored balls so adjacent ones differ

Six red balls, three blue balls and three yellow balls are arranged in a row. In how many ways can they be arranged so that any two adjacent balls have different colors? Here balls of the same color are not distinguished.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Arrangere le palle di colore in modo che le adiacenti differiscano

Sei palle rosse, tre palle blu e tre palle gialle sono disposte in fila. In quanti modi possono essere disposte in modo che due palle adiacenti abbiano colori diversi? Qui non si distinguono le palle dello stesso colore.

src_jmo19yq_yosen__Q05

Volume of tetrahedron from edges and angles at O

The tetrahedron $OABC$ satisfies $OA=3$, $OB=4$, $OC=5$ and $\angle AOB=\angle AOC=45^{\circ }$, $\angle BOC=60^{\circ }$. Find the volume of the tetrahedron $OABC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Volume di tetraedro dai bordi e dagli angoli a O

Il tetraedro $OABC$ soddisfa $OA=3$, $OB=4$, $OC=5$ e $\angle AOB=\angle AOC=45^{\circ }$, $\angle BOC=60^{\circ }$. Trova il volume del tetraedro $OABC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo19yq_yosen__Q06

Find x1 from symmetric system of pairwise-product sums

Real numbers $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ satisfy the following five equations: $\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_1{x}_5=-1\\ x_2{x}_1+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_2{x}_5=-1\\ x_3{x}_1+x_3{x}_2+x_3{x}_4+x_3{x}_5=-1\\ x_4{x}_1+x_4{x}_2+x_4{x}_3+x_4{x}_5=-1\\ x_5{x}_1+x_5{x}_2+x_5{x}_3+x_5{x}_4=-1\end{array}$ Find all possible values of $x_1$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca x1 dal sistema simmetrico di somme di prodotti in coppia

I numeri reali $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ soddisfano le seguenti cinque equazioni: $\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_1{x}_5=-1\\ x_2{x}_1+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_2{x}_5=-1\\ x_3{x}_1+x_3{x}_2+x_3{x}_4+x_3{x}_5=-1\\ x_4{x}_1+x_4{x}_2+x_4{x}_3+x_4{x}_5=-1\\ x_5{x}_1+x_5{x}_2+x_5{x}_3+x_5{x}_4=-1\end{array}$ Trova tutti i valori possibili di $x_1$.

src_jmo19yq_yosen__Q07

Least-degree polynomial in identity f(x^3)+g(x)=f(x)+x^5 g(x)

Let $f(x)$ and $g(x)$ both be nonzero polynomials with real coefficients satisfying $f(x^3)+g(x)=f(x)+x^{5}g(x).$ Among the polynomials $f(x)$ that can occur in this way, find one of smallest degree.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio di grado minimo nell’identità f(x^3)+g(x)=f(x)+x^5 g(x)

Che $f(x)$ e $g(x)$ siano entrambi polinomi non zero con coefficienti reali soddisfacenti $f(x^3)+g(x)=f(x)+x^{5}g(x).$ Tra i polinomi $f(x)$ che possono verificarsi in questo modo, trova uno del grado più piccolo.

src_jmo19yq_yosen__Q08

Pair interpreters into rooms sharing a common language

Ten interpreters are invited to an international mathematics conference. Each interpreter can speak exactly two of the following five languages: Greek, Slovenian, Vietnamese, Spanish, German. Moreover, no two interpreters have the same combination of languages. These interpreters are to be lodged two per room in five rooms, in such a way that the two interpreters in each room can speak a common language. In how many ways can this be done? Here, two room assignments that give exactly the same groupings of people are counted as the same (merely swapping which room a pair occupies does not create a different assignment).

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Interpretatori in coppia in stanze che condividono una lingua comune

Dieci interpreti sono invitati a una conferenza internazionale di matematica. Ogni interprete può parlare esattamente due delle cinque seguenti lingue: greco, sloveno, vietnamita, spagnolo e tedesco. Inoltre, non ci sono due interpreti che abbiano la stessa combinazione di lingue. Tali interpreti devono essere alloggiati due a stanza in cinque stanze, in modo che i due interpreti in ciascuna stanza possano parlare una lingua comune. In quanti modi si può farlo? Qui, due assegnazioni di stanza che danno esattamente gli stessi gruppi di persone sono contate come le stesse (solo scambiando quale stanza una coppia occupa non crea un’assegnazione diversa).

src_jmo19yq_yosen__Q09

Ratio of two sums of nested square roots

Compute $\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots +\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots +\sqrt{10-\sqrt{99}}}.$ Here the denominator is the sum of $\sqrt{10-\sqrt{n}}$ as $n$ ranges over the integers from $1$ to $99$, and the numerator is the sum of $\sqrt{10+\sqrt{n}}$ as $n$ ranges over the integers from $1$ to $99$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ratio di due somme di radici quadrate incastonate

Calcolare $\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots +\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots +\sqrt{10-\sqrt{99}}}.$ Qui il denominatore è la somma di $\sqrt{10-\sqrt{n}}$ come $n$ si estende sui numeri interi da $1$ a $99$, e il numeratore è la somma di $\sqrt{10+\sqrt{n}}$ come $n$ si estende sui numeri interi da $1$ a $99$.

src_jmo19yq_yosen__Q10

Sum of solutions of a floor-function equation

Find the sum of all solutions of the following equation in the real variable $x$: $[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]+[6x]+[7x]+[8x]+[9x]=44x.$ Here $[r]$ denotes the greatest integer not exceeding the real number $r$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di soluzioni di un’equazione funzionale a pavimento

Trova la somma di tutte le soluzioni della seguente equazione nella variabile reale $x$: $[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]+[6x]+[7x]+[8x]+[9x]=44x.$ Qui $[r]$ indica il numero intero più grande non superiore al numero reale $r$.

src_jmo19yq_yosen__Q11

Subsets of 10 points cut off by a half-space

A plane in space divides space into two parts; one of these parts (not including the plane itself) is called a half-space. Let $S$ be a set of $10$ points in space such that no four of them are coplanar. Find the number of subsets of $S$ that arise as the intersection of $S$ with some half-space.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Sottoinsiemi di 10 punti tagliati da mezzo spazio

Un piano nello spazio divide lo spazio in due parti; una di queste parti (senza includere il piano stesso) è chiamata mezzo spazio. Che $S$ sia un insieme di punti $10$ nello spazio in modo tale che nessuno di loro sia coplanare. Trovare il numero di sottoinsiemi di $S$ che si formano come intersezione di $S$ con qualche mezzo spazio.

src_jmo19yq_yosen__Q12