Japan Mathematical Olympiad 2010 — Honsen (Final)

H is circumcenter of triangle APQ

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB\ne AC$, and let $H$ be the foot of the perpendicular from $A$ to $BC$. Points $P$ and $Q$ are taken so that $A$, $B$, $P$ lie on a line in this order and $A$, $C$, $Q$ lie on a line in this order, in such a way that the four points $B$, $C$, $P$, $Q$ are concyclic and $HP=HQ$. Prove that $H$ is the circumcenter of triangle $APQ$.

(Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

H è il circondario del centro del triangolo APQ

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB\ne AC$, e il $H$ deve essere il piede della perpendicolare da $A$ a $BC$. I punti $P$ e $Q$ sono presi in modo che $A$, $B$, $P$ si trovino su una linea di questo ordine e $A$, $C$, $Q$ si trovino su una linea di questo ordine, in modo tale che i quattro punti $B$, $C$, $P$, $Q$ siano conciclici e $HP=HQ$. Prove che $H$ è il circoncentro del triangolo $APQ$.

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Existence of n with n^n - m divisible by 2^k

Let $k$ be a positive integer and let $m$ be an odd number. Prove that there exists a positive integer $n$ such that $n^n-m$ is divisible by $2^k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza di n con n^n - m divisibile per 2^k

Che $k$ sia un numero intero positivo e che $m$ sia un numero impar. Prova che esiste un intero positivo $n$ tale che $n^n-m$ sia divisibile da $2^k$.

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Tree of islands sending letters: fixed point or mutual exchange exists

There are $2010$ islands, joined by $2009$ bridges. Any two islands are either joined by exactly one bridge or not joined at all, and the two endpoints of each bridge are two distinct islands. Moreover, from any island one can travel to any other island by crossing some bridges. (Thus the bridges form a connected graph, namely a tree.)

Now each island sends one letter to some island (it is allowed for an island to send a letter to itself). It then turns out that the following fact holds:

Whenever island $A$ and island $B$ are joined by a bridge, the island to which $A$ sends its letter and the island to which $B$ sends its letter are either joined by a bridge or are the same island.

Prove that at least one of the following statements (1), (2) holds: (1) There exists an island that sent a letter to itself. (2) There exist two islands, joined by a bridge, that exchanged letters with each other (each sent its letter to the other).

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Albero delle isole che inviano lettere: punto fisso o scambio reciproco esiste

Ci sono isole $2010$, collegate da ponti $2009$. Qualsiasi due isole sono collegate da un unico ponte o non sono affatto collegate, e i due punti di fine di ogni ponte sono due isole distinte. Inoltre, da qualsiasi isola si può viaggiare verso qualsiasi altra isola attraversando alcuni ponti. (In questo modo i ponti formano un grafico collegato, cioè un albero.)

Ora ogni isola invia una lettera ad un’altra isola (è permesso ad un’isola di inviare una lettera a se stessa). Si scopre quindi che il seguente fatto è vero:

Ogni volta che l’isola $A$ e l’isola $B$ sono collegate da un ponte, l’isola a cui $A$ invia la sua lettera e l’isola a cui $B$ invia la sua lettera sono collegate da un ponte o sono la stessa isola.

Prove che almeno una delle seguenti affermazioni (1), (2) è vera: (1) Esiste un’isola che ha inviato una lettera a se stessa. (2) Esistono due isole, collegate da un ponte, che si scambiavano lettere (ciascuno inviava la sua lettera all’altro).

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Cyclic inequality in three positive reals

For positive real numbers $x$, $y$, $z$, prove that $\frac{1+xy+xz}{(1+y+z{)}^2}+\frac{1+yz+yx}{(1+z+x{)}^2}+\frac{1+zx+zy}{(1+x+y{)}^2}\ge 1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ineguaglianza ciclica in tre valori positivi *

Per i numeri reali positivi $x$, $y$, $z$, dimostrare che $\frac{1+xy+xz}{(1+y+z{)}^2}+\frac{1+yz+yx}{(1+z+x{)}^2}+\frac{1+zx+zy}{(1+x+y{)}^2}\ge 1.$

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Max self-intersections of closed diagonal tour of convex 2010-gon

A convex $2010$-gon is given in which no three diagonals have a common point other than the vertices. Consider a closed broken line that consists of $2010$ diagonals (sides of the polygon are not allowed) and passes through every vertex exactly once. Find the maximum possible number of self-intersections of such a closed broken line.

(For a broken line $P_1{P}_2\cdots P_n{P}_{n+1}$ with $P_1=P_{n+1}$, we call it a closed broken line.)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Maximi intersezioni di rotta diagonale chiusa di convex 2010-gon

Si dà un convex $2010$-gon in cui non ci sono tre diagonali che abbiano un punto comune diverso dai vertici. Considera una linea chiusa rotta che è costituita da diagonali $2010$ (i lati del poligono non sono ammessi) e attraversa ogni vertice esattamente una volta. Trova il numero massimo possibile di intersezioni di una linea rotta chiusa.

(Per una linea rotta $P_1{P}_2\cdots P_n{P}_{n+1}$ con $P_1=P_{n+1}$, la chiamiamo una linea rotta chiusa.)

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