Japan Mathematical Olympiad 2010 — Yosen (Preliminary)

Count positive integer 6-tuples with strict order and equal pairwise sums 22

Find the number of 6-tuples $(a,b,c,d,e,f)$ of positive integers satisfying $a>b>c>d>e>f$ and $a+f=b+e=c+d=22$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Conta un intero positivo di 6 doppi con ordine rigoroso e pari somme in coppia 22

Trova il numero di 6 tupli $(a,b,c,d,e,f)$ di numeri interi positivi soddisfaci $a>b>c>d>e>f$ e $a+f=b+e=c+d=22$.

Risposta: 4 src_jmo20yq_yosen__Q01

Average of integers from 0 to 10000 whose decimal representation avoids digit 1

Find the average of all integers between $0$ and $10000$ (inclusive) whose decimal representation does not contain the digit $1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2469 Fonte: apri PDF

Medio di numeri interi da 0 a 10000 la cui rappresentazione decimale evita la cifra 1

Trova la media di tutti gli enti tra $0$ e $10000$ (inclusi) la cui rappresentazione decimale non contiene la cifra $1$.

Risposta: 2469 src_jmo20yq_yosen__Q02

Max GCD of all six permutations of a 3-digit number with distinct nonzero digits

Let $n$ be a 3-digit positive integer all of whose digits are distinct and nonzero. Let $g$ be the greatest common divisor of all six 3-digit numbers obtainable by permuting the digits of $n$. Find the maximum possible value of $g$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Max GCD di tutte e sei le permutazioni di un numero a 3 cifre con cifre distinte non a zero

Che $n$ sia un intero positivo a 3 cifre, tutti i cui numeri sono distinti e non zero. Che $g$ sia il più grande divisore comune di tutti e sei i numeri a 3 cifre ottenuti permutando i numeri di $n$. Trova il valore massimo possibile di $g$.

Risposta: 18 src_jmo20yq_yosen__Q03

Find all possible values of |BP - DP| for cyclic quadrilateral with given diagonal segments

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle of radius $1$, and the angle between the two diagonals is $60^{\circ }$. Let $P$ be the intersection point of the diagonals $AC$ and $BD$. Given $AP=\frac{1}{2}$ and $CP=\frac{3}{2}$, find all possible values of $|BP-DP|$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trova tutti i valori possibili di BP - DP di un quadrilaterale ciclico con segmenti diagonali dati

Il quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio di raggio $1$ e l’angolo tra le due diagonali è $60^{\circ }$. Il punto di intersezione di $P$ è il punto di intersezione dei diagonali $AC$ e $BD$. Date $AP=\frac{1}{2}$ e $CP=\frac{3}{2}$, trovare tutti i possibili valori di $|BP-DP|$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo20yq_yosen__Q04

Count triangles ABC (up to vertex relabeling) with all integer interior angles

Find the number of triangles $ABC$ whose three interior angles are all integer multiples of $1^{\circ }$. Two triangles that differ only by a permutation of the labels $A$, $B$, $C$ (i.e., that have the same multiset of angles) are counted as the same.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i triangoli ABC (fino alla rietichettatura delle verte) con tutti gli angoli interiori interiori

Trova il numero di triangoli $ABC$ i cui tre angoli interni sono tutti multipli interi di $1^{\circ }$. Due triangoli che differiscono solo per una permutazione delle etichette $A$, $B$, $C$ (cioè che hanno lo stesso multiset di angoli) vengono contati come uguali.

src_jmo20yq_yosen__Q05

Count bridge configurations among 9 color-island birds satisfying two graph conditions

There are $3$ red birds, $3$ blue birds, and $3$ yellow birds, each on its own island (giving $9$ islands in total). Bridges between islands are to be built satisfying the following two conditions:\n\n$\bullet$ Between any two islands there is at most one bridge; for any bridge, the two birds at its endpoints are of different colors.\n\n$\bullet$ For any two birds of the same color, their islands are not connected by any path of bridges (i.e., they are in different connected components).\n\nHow many ways are there to build the bridges? (The configuration with no bridges counts as $1$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 54 Fonte: apri PDF

Configurazioni di ponte di conteggio tra 9 uccelli colorati insulari che soddisfano due condizioni del grafico

Ci sono $3$ uccelli rossi, $3$ uccelli blu e $3$ uccelli gialli, ciascuno sulla propria isola (il che dà $9$ isole in totale). I ponti tra le isole devono essere costruiti soddisfacendo le seguenti due condizioni: tra le due isole c’è al massimo un ponte; per ogni ponte, i due uccelli nei suoi punti di fine sono di colori diversi. Per due uccelli dello stesso colore, le loro isole non sono collegate da alcun percorso di ponti (cioè, sono in componenti collegati diversi). (La configurazione senza ponti conta come $1$.)

Risposta: 54 src_jmo20yq_yosen__Q06

Maximum value of a_0 in positive-integer sequence with divisibility and bounded differences

An infinite sequence of positive integers $a_0,a_1,a_2,\dots$ satisfies the following two conditions for every non-negative integer $n$:\n\n$\bullet$ $a_0$ divides $a_n$.\n\n$\bullet$ $|a_n-a_{n+1}|\le 5$.\n\nFind the maximum possible value of $a_0$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Valore massimo di a_0 in sequenza di numeri interi positivi con divisibilità e differenze limitate

Una sequenza infinita di interi positivi $a_0,a_1,a_2,\dots$ soddisfa le seguenti due condizioni per ogni intero non negativo $n$:\n\n$\bullet$ $a_0$ divide $a_n$.\n\n$\bullet$ $|a_n-a_{n+1}|\le 5$.\n\nRicerca il valore massimo possibile di $a_0$.

src_jmo20yq_yosen__Q07

Find area of triangle ABC with interior point P, given distances AP, BP, CP and angle BAC

There is a point $P$ inside triangle $ABC$. Given that $AP=\sqrt{3}$, $BP=5$, $CP=2$, $AB:AC=2:1$, and $\angle BAC=60^{\circ }$, find the area of triangle $ABC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo ABC con il punto interno P, date le distanze AP, BP, CP e angolo BAC

C’è un punto $P$ all’interno del triangolo $ABC$. Poiché $AP=\sqrt{3}$, $BP=5$, $CP=2$, $AB:AC=2:1$ e $\angle BAC=60^{\circ }$, si trova l’area del triangolo $ABC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo20yq_yosen__Q08

Count row arrangements of 2010 white and 2010 black stones with an odd number of adjacent white-then-black pairs

In how many ways can $2010$ white stones and $2010$ black stones be arranged in a single row such that the following condition holds?\n\nCondition: The number of adjacent pairs (consecutive positions) in which the white stone is immediately to the left of the black stone is odd.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Arrangamenti di fila di calcoli bianchi e neri del 2010 con un numero impar di coppie adiacenti di calcoli bianchi e di calcoli neri

In quanti modi le pietre bianche $2010$ e le pietre nere $2010$ possono essere disposte in una singola riga in modo tale che la seguente condizione sia valida?\n\nCondizione: Il numero di coppie adiacenti (posizioni consecutive) in cui la pietra bianca è immediatamente a sinistra della pietra nera è strano.

src_jmo20yq_yosen__Q09

Maximum digit sum of n^2 given that digit sum of n equals 5

For a positive integer $n$, let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n$ in base $10$. Given that $S(n)=5$, find the maximum possible value of $S(n^2)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa massima di n^2 data la somma di n è pari a 5

Per un intero positivo $n$, $S(n)$ indica la somma delle cifre di $n$ nella base $10$. Dato che $S(n)=5$, trovare il valore massimo possibile di $S(n^2)$.

src_jmo20yq_yosen__Q10

Find angle APC in quadrilateral with given angles and a midpoint-ratio point condition

In quadrilateral $ABCD$, $\angle DAB=110^{\circ }$, $\angle ABC=50^{\circ }$, $\angle BCD=70^{\circ }$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $AB$ and $CD$ respectively. Take a point $P$ on segment $MN$ such that $AM:CN=MP:NP$ and $AP=CP$. Find the measure of $\angle APC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angle APC in quadrilaterale con angoli dati e una condizione di punto di rapporto punto medio

In quadrilaterali $ABCD$, $\angle DAB=110^{\circ }$, $\angle ABC=50^{\circ }$, $\angle BCD=70^{\circ }$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti intermedi di $AB$ e $CD$. Prendere un punto $P$ sul segmento $MN$ in modo tale che $AM:CN=MP:NP$ e $AP=CP$. Trova la misura di $\angle APC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo20yq_yosen__Q11

Max new routes opened after closing one bridge in a 2010-node tree network

There are $2010$ airports. Some pairs of airports are connected by direct two-way flights, satisfying the following two conditions:\n\n(1) For any two airports $A$ and $B$, one can travel from $A$ to $B$ using one or more direct flights.\n\n(2) Closing any single open direct flight would cause condition (1) to fail.\n\nOne day, one of the open routes is closed. New direct routes (each different from the closed one, and each is a two-way flight) are then opened one by one so that conditions (1) and (2) are satisfied again. Find the maximum possible number of new routes that need to be opened.\n\nNote: A direct flight from airport $X$ to airport $Y$ also serves as a direct flight from $Y$ to $X$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maxime nuove rotte aperte dopo la chiusura di un ponte in una rete di alberi di nodo 2010

Ci sono aeroporti $2010$. Alcune coppie di aeroporti sono collegate da voli diretti bidirezionali, che soddisfano le seguenti due condizioni: 1) Per due aeroporti $A$ e $B$, si può viaggiare da $A$ a $B$ utilizzando uno o più voli diretti. Le nuove rotte dirette (che differiscono da quelle chiuse, e ciascuna è un volo bidirezionale) vengono quindi aperte una per una in modo da soddisfare di nuovo le condizioni (1) e (2). Trovare il numero massimo possibile di nuove rotte da aprire.\n\nNota: Un volo diretto da aeroporto $X$ a aeroporto $Y$ serve anche come volo diretto da $Y$ a $X$.

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