Japan Mathematical Olympiad 2011 — Honsen (Final)

Acute triangle: prove AM·PM = BM² with centroid and midpoint

Let $H$ be the centroid of an acute triangle $ABC$, $M$ the midpoint of $BC$. Let $P$ be the foot of the perpendicular from $H$ to the line $AM$. Prove that $AM\cdot PM=B{M}^2$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto: prova AM·PM = BM2 con centroid e punto medio

Il punto medio di un triangolo acuto è $H$ e il punto medio di un triangolo acuto $ABC$ è $M$. Il $P$ deve essere il piede della perpendicolare da $H$ alla linea $AM$. Dimostra che $AM\cdot PM=B{M}^2$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

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Find all positive integer quadruples satisfying a^n-1 factored product

Find all quadruples $(a,n,p,q,r)$ of positive integers satisfying the equation $a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i quadrupli di interi positivi che soddisfano il prodotto facoltato a^n-1

Trova tutti i quadrupli $(a,n,p,q,r)$ di numeri interi positivi che soddisfano l’equazione $a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1).$

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Grid game: B can always terminate the game regardless of A’s moves

Let $N$ be a positive integer. Consider a row of $N$ squares. Players A and B play the following game:

(1) First, A writes one non-negative integer in each of the $N$ squares.

(2) For any integer $i$ with $1\le i\le N-1$, whenever the integer written in the $i$-th square from the left is greater than or equal to the integer written in the $(i+1)$-th square from the left (i.e., the squares are in non-increasing order from the left), the game ends. Otherwise, the following steps are repeated:

(a) A designates one non-negative integer.

(b) B chooses one of the $N$ squares and replaces the integer written in that square with the integer designated by A in step (a).

Prove that B can always force the game to end, regardless of A’s strategy.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di griglia: B può sempre terminare il gioco indipendentemente dalle mosse di A

$N$ sia un numero intero positivo. Considerate una fila di quadrati $N$. I giocatori A e B giocano la seguente partita:

(1) In primo luogo, A scrive un intero non negativo in ciascuno dei quadrati $N$.

(2) Per qualsiasi numero intero $i$ con $1\le i\le N-1$, ogni volta che l’intero scritto nel quadrato $i$-a sinistra è maggiore o uguale al numero intero scritto nel quadrato $(i+1)$-a sinistra (cioè che i quadrati sono in ordine non crescente da sinistra), la partita termina. In caso contrario si ripetono le seguenti fasi:

(a) A designa un intero non negativo.

b) B sceglie uno dei quadrati $N$ e sostituisce il numero intero scritto in quel quadrato con il numero intero designato da A nel passaggio (a).

Prova che B può sempre costringere la partita a finire, indipendentemente dalla strategia di A.

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Find all real-valued functions satisfying a given functional equation

Find all functions $f$ defined on the real numbers taking real values such that for any real numbers $x,y$, $f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^{2}f(y)+f(y^2)$ holds.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni a valore reale che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali assumendo valori reali in modo tale che per qualsiasi numero reale $x,y$, $f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^{2}f(y)+f(y^2)$ si trova.

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Four points, equal inradii of all four triangles implies congruence

Let there be four points in the plane, no three of which are collinear. If the inradii of all four triangles formed by choosing three of these four points as vertices are all equal, prove that all four triangles are congruent to one another.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro punti, uguali a tutti e quattro i triangoli implica congruenza

Lasciate che ci siano quattro punti nel piano, nessuno dei quali sia collineare. Se l’inradii di tutti e quattro i triangoli formati scegliendo tre di questi quattro punti come vertici sono tutti uguali, dimostri che tutti e quattro i triangoli sono congruenti tra loro.

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